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.)]TJ./F91 8.966
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the)-217(for)20(
egoing)-218(r)20
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)6(er)6(oth)-225
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)10(inally)85(,)
-185(w)6(e)-184(
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)-184(r)20(elati
onship)-185(betw
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[-184(equations)
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F134 9.9626 Tf 8
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./F153 9.9626 Tf
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.9738 Tf 3.278 0
 Td [(3)]TJ./F15
3 8.9664 Tf 14.1
57 -7.619 Td [(.
)]TJ./F91 8.9664
 Tf 3.344 0 Td [
(T)]TJ./F134 8.9
664 Tf 8.341 0 T
d [(D)]TJ./F91 8
.9664 Tf 8.986 0
 Td [(T)]TJ./F91
 6.9738 Tf 5.434
 -1.345 Td [(c)]
TJ./F88 8.9664 T
f 3.741 1.345 Td
 [(,)]TJ./F91 8.
9664 Tf 3.372 0 
Td [(B)]TJ./F134
 8.9664 Tf 7.696
 0 Td [(!)]TJ./F
88 8.9664 Tf 11.
846 0 Td [(0)]TJ
./F153 8.9664 Tf
 4.752 0 Td [(/)
]TJ./F88 8.9664 
Tf 3.345 0 Td [(
;)-9074((35))]TJ
./F88 9.9626 Tf 
-302.172 -27.007
 Td [(compar)20(
e)-225(with)]TJ.
1 1 0 0 k 1 1 0 
0 K [-225(equati
on)-225((12.5.24
))]TJ.0 g 0 G [(
.)-225(F)36(or)-
225(the)-225(beh
avior)-225(of)]T
J./F153 9.9626 T
f 238.147 0 Td [
(\37)]TJ./F88 7.
5716 Tf 5.858 -1
.528 Td [(0)]TJ.
/F88 9.9626 Tf 4
.511 1.528 Td [(
,)-225(see)-225(
P)12(r)6(oblem)-
225(12.16.)]TJ.-
234.07 -12.952 T
d [(I)18(n)-306(
passing,)-306(w)
6(e)-305(note)-3
06(that,)-306(ac
cor)20(ding)-306
(to)]TJ.1 1 0 0 
k 1 1 0 0 K [-30
5(equation)-306(
(12))]TJ.0 g 0 G
 [(,)-306(the)-3
06(tr)10(ansitio
n)-306(temper)10
(atur)20(e)-305(
for)-306(a)]TJ.-
14.446 -12.951 T
d [(lattice)-228
(with)]TJ./F91 9
.9626 Tf 52.369 
0 Td [(q)]TJ./F1
34 9.9626 Tf 7.8
62 0 Td [(D)]TJ.
/F88 9.9626 Tf 9
.985 0 Td [(2)-2
28(is)-227(z)6(e
r)6(o)40(,)-228(
which)-228(essen
tially)-228(mean
s)-227(that)-228
(a)-228(one-dime
nsional)-228(I)1
8(sing)-227(chai
n)]TJ./F91 9.962
6 Tf 311.892 0 T
d [(does)]TJ.-38
2.108 -12.951 Td
 [(not)]TJ./F88 
9.9626 Tf 17.997
 0 Td [(under)6(
go)-247(a)-248(p
hase)-247(tr)10(
ansition.)-248(T
his)-247(r)20(es
ult)-248(is)-247
(in)-248(complet
e)-247(agr)20(ee
ment)-247(with)-
248(the)-247(one
)-248(follo)30(w
-)]TJ.-17.997 -1
2.952 Td [(ing)-
312(fr)6(om)-311
(an)-312(exact)-
312(tr)20(eatmen
t)-311(of)-312(t
he)-312(one-dime
nsional)-311(lat
tice;)-312(see)-
312(S)12(ection)
-312(13.2.)-312(
I)18(n)-311(fact
,)-312(for)]TJ.0
 -12.951 Td [(a)
-343(lattice)-34
2(with)]TJ./F91 
9.9626 Tf 63.282
 0 Td [(q)]TJ./F
134 9.9626 Tf 7.
862 0 Td [(D)]TJ
./F88 9.9626 Tf 
9.985 0 Td [(2,)
-343(any)-342(r)
20(esults)-343(f
ollo)30(wing)-34
3(fr)6(om)-342(t
he)-343(B)6(ethe
)-343(appr)6(o)1
8(ximation)-342(
ar)20(e)-343(com
pletely)]TJ.-81.
129 -12.952 Td [
(identical)-278(
with)-278(the)-2
78(corr)20(espon
ding)-278(exact)
-278(r)20(esults
)-278(\(see)-279
(P)12(r)6(oblem)
-278(13.3\);)-27
8(on)-278(the)-2
78(other)-278(ha
nd,)-278(the)]TJ
.0 -12.951 Td [(
B)12(r)10(agg\22
6W)10(illiams)-2
25(appr)6(o)18(x
imation)-225(is)
-225(least)-225(
r)20(eliable)-22
5(when)]TJ./F91 
9.9626 Tf 237.22
1 0 Td [(q)]TJ./
F134 9.9626 Tf 7
.862 0 Td [(D)]T
J./F88 9.9626 Tf
 9.985 0 Td [(2.
)]TJ.-240.622 -1
2.952 Td [(That)
]TJ./F91 9.9626 
Tf 23.318 0 Td [
(T)]TJ./F91 7.57
16 Tf 6.037 -1.4
94 Td [(c)]TJ./F
88 9.9626 Tf 6.4
65 1.494 Td [(fo
r)]TJ./F91 9.962
6 Tf 15.248 0 Td
 [(q)]TJ./F134 9
.9626 Tf 7.863 0
 Td [(D)]TJ./F88
 9.9626 Tf 9.984
 0 Td [(2)-246(i
s)-245(z)6(er)6(
o)-246(\(r)10(at
her)-245(than)-2
46(2)]TJ./F91 9.
9626 Tf 101.236 
0 Td [(J)]TJ./F1
53 9.9626 Tf 4.3
44 0 Td [(=)]TJ.
/F91 9.9626 Tf 4
.682 0 Td [(k)]T
J./F88 9.9626 Tf
 5.649 0 Td [(\)
)-246(is)-245(in
)-246(line)-245(
with)-246(the)-2
45(fact)-246(tha
t,)-245(for)-246
(all)]TJ./F91 9.
9626 Tf 156.922 
0 Td [(q)]TJ./F8
8 9.9626 Tf 5.64
9 0 Td [(,)-246(
the)-245(\2rst)]
TJ.-361.843 -12.
951 Td [(appr)6(
o)18(ximation)-2
75(yields)-275(a
)-274(tr)10(ansi
tion)-275(temper
)10(atur)20(e)-2
75(closer)-275(t
o)-274(the)-275(
corr)20(ect)-275
(v)6(alue)-274(o
f)]TJ./F91 9.962
6 Tf 344.141 0 T
d [(T)]TJ./F91 7
.5716 Tf 6.037 -
1.494 Td [(c)]TJ
./F88 9.9626 Tf 
6.757 1.494 Td [
(than)-275(does)
]TJ.-356.935 -12
.951 Td [(the)-3
09(z)6(er)6(oth)
-309(appr)6(o)18
(ximation.)-310(
The)-309(same)-3
09(is)-309(tr)-8
(ue)-309(of)-309
(the)-310(amplit
udes)-309(that)-
309(deter)-8(min
e)-309(the)-309(
quan-)]TJ.0 -12.
952 Td [(titativ
)5(e)-297(behavi
or)-298(of)-297(
the)-297(v)6(ar)
-8(ious)-298(phy
sical)-297(quant
ities)-297(near)
]TJ./F91 9.9626 
Tf 254.752 0 Td 
[(T)]TJ./F134 9.
9626 Tf 9.268 0 
Td [(D)]TJ./F91 
9.9626 Tf 9.985 
0 Td [(T)]TJ./F9
1 7.5716 Tf 6.03
7 -1.494 Td [(c)
]TJ./F88 9.9626 
Tf 4.019 1.494 T
d [(,)-297(thoug
h)-298(the)-297(
exponents)-297(i
n)]TJ.-284.061 -
12.951 Td [(the)
-292(v)6(ar)-8(i
ous)-292(po)30(w
)6(er)-292(laws)
-291(go)30(v)5(e
r)-8(ning)-292(t
his)-292(behavio
r)-292(r)20(emai
n)-292(the)-291(
same;)-292(compa
r)20(e)20(,)-292
(for)-292(instan
ce)20(,)]TJ.1 1 
0 0 k 1 1 0 0 K 
0 -12.952 Td [(e
quation)-348((16
))]TJ.0 g 0 G [-
347(with)]TJ.1 1
 0 0 k 1 1 0 0 K
 [-348((12.5.14)
)]TJ.0 g 0 G [(,
)]TJ.1 1 0 0 k 1
 1 0 0 K [-348(e
quation)-347((35
))]TJ.0 g 0 G [-
348(with)]TJ.1 1
 0 0 k 1 1 0 0 K
 [-347((24))]TJ.
0 g 0 G [-348(as
)-348(w)6(ell)-3
47(as)-348(the)-
347(behavior)-34
8(of)-348(the)-3
47(spe-)]TJ.0 -1
2.951 Td [(ci\2c
)-312(heat.)-313
(I)18(n)-312(fac
t,)-313(one)-312
(\2nds)-312(that
)-313(successiv)
5(e)-312(appr)6(
o)18(ximations)-
312(of)-312(the)
-313(mean)-312(\
2eld)-312(appr)6
(oach,)]TJ.0 -12
.952 Td [(while)
-300(continuing)
-300(to)-300(imp
r)6(o)30(v)5(e)-
300(the)-300(the
or)20(etical)-30
0(v)6(alue)-300(
of)]TJ./F91 9.96
26 Tf 240.761 0 
Td [(T)]TJ./F91 
7.5716 Tf 6.038 
-1.494 Td [(c)]T
J./F91 9.9626 Tf
 7.008 1.494 Td 
[(and)]TJ./F88 9
.9626 Tf 20.832 
0 Td [(the)-300(
quantitativ)5(e)
-300(behavior)-3
00(of)]TJ.-274.6
39 -12.951 Td [(
the)-343(v)6(ar)
-8(ious)-344(phy
sical)-343(quant
ities)-344(\(as)
-343(giv)5(en)-3
44(b)25(y)-343(t
he)-344(amplitud
es\),)]TJ./F91 9
.9626 Tf 281.168
 0 Td [(do)-343(
not)]TJ./F88 9.9
626 Tf 33.573 0 
Td [(modify)-343
(their)-344(qual
i-)]TJ.-314.741 
-12.951 Td [(tat
iv)5(e)-407(beha
vior)-407(\(as)-
407(deter)-8(min
ed)-407(b)25(y)-
407(the)-407(exp
onents\).)-408(F
)36(or)-406(an)-
407(account)-407
(of)-407(the)-40
7(higher)20(-or)
20(der)]TJ.0 -12
.952 Td [(appr)6
(o)18(ximations)
10(,)-225(see)]T
J.0 0 0 1 k 0 0 
0 1 K [-225(Domb
)]TJ.0 g 0 G [-2
25(\()]TJ.0 0 0 
1 k 0 0 0 1 K [(
1960)]TJ.0 g 0 G
 [(\).)]TJ.14.44
6 -12.951 Td [(O
)5(ne)-322(impor
)-8(tant)-323(vi
r)-8(tue)-322(of
)-323(the)-322(B
)6(ethe)-322(app
r)6(o)18(ximatio
n)-323(is)-322(t
hat)-323(it)-322
(br)-8(ings)-322
(out)-323(the)-3
22(r)6(ole)-323(
of)-322(the)]TJ.
-14.446 -12.952 
Td [(dimensional
ity)-292(of)-292
(the)-292(lattic
e)-292(in)-292(b
r)-8(inging)-291
(about)-292(a)-2
92(phase)-292(tr
)10(ansition)-29
2(in)-292(the)-2
92(system.)-292(
The)-292(fact)]T
J.0 -12.951 Td [
(that)]TJ./F91 9
.9626 Tf 20.321 
0 Td [(T)]TJ./F9
1 7.5716 Tf 6.03
7 -1.495 Td [(c)
]TJ./F134 9.9626
 Tf 6.233 1.495 
Td [(D)]TJ./F88 
9.9626 Tf 9.985 
0 Td [(0)-222(fo
r)]TJ./F91 9.962
6 Tf 22.499 0 Td
 [(q)]TJ./F134 9
.9626 Tf 7.863 0
 Td [(D)]TJ./F88
 9.9626 Tf 9.985
 0 Td [(2)-222(a
nd)-221(ther)20(
eon)-222(it)-222
(incr)20(eases)-
221(steadily)-22
2(with)]TJ./F91 
9.9626 Tf 176.33
7 0 Td [(q)]TJ./
F88 9.9626 Tf 7.
857 0 Td [(leads
)-222(one)-221(t
o)-222(infer)-22
2(that,)-221(whi
le)-222(a)]TJ.-2
67.117 -12.952 T
d [(linear)-213(
I)18(sing)-214(c
hain)-213(does)-
214(not)-213(und
er)6(go)-213(pha
se)-214(tr)10(an
sition)-213(at)-
214(any)-213(\2n
ite)]TJ./F91 9.9
626 Tf 290.722 0
 Td [(T)]TJ./F88
 9.9626 Tf 7.054
 0 Td [(,)-213(h
igher)-214(dimen
sionality)]TJ.-2
97.776 -12.951 T
d [(does)-239(pr
)6(omote)-240(th
e)-239(phenomeno
n.)-239(O)5(ne)-
240(may)85(,)-23
9(in)-239(fact,)
-240(ar)6(gue)-2
39(that)-239(the
)-240(absence)-2
39(of)-239(a)-24
0(phase)-239(tr)
10(an-)]TJ.0 -12
.951 Td [(sition
)-232(in)-231(a)
-232(one-dimensi
onal)-232(chain)
-232(is)-231(ess
entially)-232(du
e)-232(to)-232(t
he)-231(fact)-23
2(that,)-232(the
)-231(inter)10(a
ctions)-232(bein
g)]TJ.0 -12.952 
Td [(sev)5(er)20
(ely)-231(shor)-
8(t-r)10(anged,)
-231(\223communi
cation\224)-231(
betw)6(een)-231(
any)-231(two)-23
1(par)-8(ts)-231
(of)-231(the)-23
1(chain)-231(can
)-231(be)-231(co
m-)]TJ.0 -12.951
 Td [(pletely)-2
60(disr)-8(upted
)-261(b)25(y)-26
0(a)-260(single)
-260(defect)-261
(in-betw)6(een.)
-260(The)-260(si
tuation)-261(r)2
0(emains)-260(vi
r)-8(tually)-260
(unalter)20(ed)]
TJ.0 -12.952 Td 
[(ev)5(en)-250(i
f)-249(the)-250(
r)10(ange)-249(o
f)-250(inter)10(
actions)-249(is)
-250(allo)30(w)6
(ed)-249(to)-250
(incr)20(ease)-2
49(\227)-250(so)
-249(long)-250(a
s)-249(it)-250(r
)20(emains)-249(
\2nite)20(.)-250
(O)5(nly)]TJ.0 -
12.951 Td [(when
)-319(inter)10(a
ctions)-319(beco
me)-320(tr)-8(ul
y)-319(long-r)10
(anged,)-319(wit
h)]TJ./F91 9.962
6 Tf 233.379 0 T
d [(J)]TJ./F91 7
.5716 Tf 3.507 -
1.717 Td [(ij)]T
J./F134 9.9626 T
f 7.611 1.717 Td
 [(\30)-222(j)]T
J./F91 9.9626 Tf
 12.834 0 Td [(i
)]TJ./F134 9.962
6 Tf 4.928 0 Td 
[(\0)]TJ./F91 9.
9626 Tf 9.431 0 
Td [(j)]TJ./F134
 9.9626 Tf 3.288
 0 Td [(j)]TJ./F
134 7.5716 Tf 2.
849 3.616 Td [(\
0)]TJ./F153 7.57
16 Tf 5.906 0 Td
 [(.)]TJ./F88 7.
5716 Tf 2.824 0 
Td [(1)]TJ./F134
 7.5716 Tf 4.013
 0 Td [(C)]TJ./F
153 7.5716 Tf 5.
906 0 Td [(\33)-
130(/)]TJ./F153 
9.9626 Tf 8.35 -
3.616 Td [(.\33)
-352(>)]TJ./F88 
9.9626 Tf 22.53 
0 Td [(0)]TJ./F1
53 9.9626 Tf 5.2
8 0 Td [(/)]TJ./
F88 9.9626 Tf 3.
716 0 Td [(,)-31
9(does)-320(a)-3
19(phase)]TJ.-33
6.352 -12.952 Td
 [(tr)10(ansitio
n)-281(at)-281(a
)-281(\2nite)]TJ
./F91 9.9626 Tf 
92.807 0 Td [(T)
]TJ./F88 9.9626 
Tf 9.854 0 Td [(
become)-281(poss
ible)-281(\227)-
281(but)-281(onl
y)-282(if)]TJ./F
153 9.9626 Tf 14
1.337 0 Td [(\33
)-352(<)]TJ./F88
 9.9626 Tf 18.81
3 0 Td [(1;)-281
(for)]TJ./F153 9
.9626 Tf 26.325 
0 Td [(\33)-352(
>)]TJ./F88 9.962
6 Tf 18.814 0 Td
 [(1,)-281(w)6(e
)-281(ar)20(e)-2
81(back)-281(to)
-282(the)]TJ.0 g
 0 G 0 g 0 G ET.
EMC.