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20 30 20 30  20 31 20 4b  20 5b 28 31  39 35 35 29 
5d 54 4a 0a  30 20 67 20  30 20 47 20  5b 28 5c 29 
2c 29 2d 32  38 32 28 69  6e 29 2d 32  38 33 28 77 
68 69 63 68  29 2d 32 38  33 28 63 6f  6d 62 69 6e 
61 74 6f 72  29 2d 38 28  69 61 6c 29  2d 32 38 32 
28 61 72 29  36 28 67 75  6d 65 6e 74  73 29 2d 32 
38 33 28 77  29 36 28 65  72 29 32 30  28 65 29 2d 
32 38 33 28  75 73 65 64  29 2d 32 38  32 28 74 6f 
29 2d 32 38  33 28 65 78  70 72 29 32  30 28 65 73 
73 29 2d 32  38 33 28 74  68 65 29 2d  32 38 32 28 
70 61 72 29  2d 38 28 74  69 74 69 6f  6e 29 2d 32 
38 33 28 66  75 6e 63 2d  29 5d 54 4a  0a 30 20 2d 
31 32 2e 39  35 32 20 54  64 20 5b 28  74 69 6f 6e 
29 2d 33 31  30 28 6f 66  29 2d 33 31  30 28 74 68 
65 29 2d 33  31 30 28 73  79 73 74 65  6d 29 2d 33 
31 31 28 61  73 29 2d 33  31 30 28 74  68 65 29 2d 
33 31 30 28  64 65 74 65  72 29 2d 38  28 6d 69 6e 
61 6e 74 29  2d 33 31 30  28 6f 66 29  2d 33 31 30 
28 61 29 2d  33 31 30 28  63 65 72 29  2d 38 28 74 
61 69 6e 29  2d 33 31 31  28 6d 61 74  72 29 2d 38 
28 69 78 29  5d 54 4a 0a  2f 46 39 38  20 39 2e 39 
36 32 36 20  54 66 20 32  36 33 2e 34  31 20 30 20 
54 64 20 5b  28 41 29 5d  54 4a 0a 2f  46 39 35 20 
39 2e 39 36  32 36 20 54  66 20 36 2e  32 31 37 20 
30 20 54 64  20 5b 28 2e  29 2d 33 31  31 28 54 68 
69 73 29 2d  33 31 30 28  6d 65 74 68  6f 64 29 2d 
33 31 30 28  74 68 72 29  36 28 6f 29  33 30 28 77 
73 29 2d 33  31 30 28 73  70 65 63 69  61 6c 29 5d 
54 4a 0a 30  20 67 20 30  20 47 20 30  20 67 20 30 
20 47 20 45  54 0a 45 4d  43 0a
./Part << /MCID 
0>> BDC.0 0 0 1 
k 0 0 0 1 K 0 g 
0 G 0 g 0 G BT./
F95 9.9626 Tf 60
.1 630.688 Td [(
488)]TJ./F98 9.9
626 Tf 25.803 0 
Td [(Chapter)-27
2(13)]TJ./F95 26
.8991 Tf 51.526 
1.993 Td [(.)]TJ
./F95 9.9626 Tf 
9.37 -1.993 Td [
(P)6(hase)-225(T
)82(r)10(ansitio
ns:)-279(E)6(xac
t)-225(\(or)-225
(Almost)-225(E)6
(xact\))-225(R)2
0(esults)-225(fo
r)-225(V)60(ar)-
8(ious)-225(M)30
(odels)]TJ.0 g 0
 G -86.699 -39.6
85 Td [(speci\2c
)-245(heat,)-244
(see)]TJ.1 1 0 0
 k 1 1 0 0 K [-2
45(equations)-24
5((15b))]TJ.0 g 
0 G [-244(and)]T
J.1 1 0 0 k 1 1 
0 0 K [-245((19b
))]TJ.0 g 0 G [-
245(\227)-244(fo
r)]TJ./F98 9.962
6 Tf 225.276 0 T
d [(n)]TJ./F67 9
.9626 Tf 8.371 0
 Td [(\25)]TJ./F
95 9.9626 Tf 9.7
26 0 Td [(2,)-24
5(the)-244(appr)
6(oach)-245(is)-
245(essentially)
-244(linear)]TJ.
-243.373 -12.951
 Td [(in)]TJ./F9
8 9.9626 Tf 11.2
57 0 Td [(T)]TJ.
/F95 9.9626 Tf 7
.054 0 Td [(,)-2
20(leading)-220(
to)-220(a)]TJ./F
98 9.9626 Tf 59.
108 0 Td [(\2nit
e)]TJ./F95 9.962
6 Tf 25.465 0 Td
 [(speci\2c)-220
(heat;)-220(see)
]TJ.1 1 0 0 k 1 
1 0 0 K [-220(eq
uations)-220((15
a))]TJ.0 g 0 G [
-220(and)]TJ.1 1
 0 0 k 1 1 0 0 K
 [-220((19a))]TJ
.0 g 0 G [(.)-22
0(This)-220(last
)-220(r)20(esult
)-220(violates)]
TJ.-102.884 -12.
952 Td [(the)-34
5(thir)20(d)-344
(law)-345(of)-34
5(ther)-8(modyna
mics)10(,)-344(a
ccor)20(ding)-34
5(to)-345(which)
-344(the)-345(sp
eci\2c)-344(heat
)-345(of)-345(a)
-344(r)20(eal)-3
45(system)]TJ.0 
-12.951 Td [(mus
t)-235(go)-235(t
o)-236(z)6(er)6(
o)-235(as)]TJ./F
98 9.9626 Tf 83.
789 0 Td [(T)]TJ
./F67 9.9626 Tf 
9.267 0 Td [(!)]
TJ./F95 9.9626 T
f 13.163 0 Td [(
0.)-235(The)-236
(r)20(esolution)
-235(of)-235(thi
s)-235(dilemma)-
236(lies)-235(in
)-235(the)-235(f
act)-236(that)-2
35(the)-235(lo)3
0(w-lying)]TJ.-1
06.219 -12.952 T
d [(states)-309(
of)-310(a)-309(s
ystem)-310(with)
]TJ./F98 9.9626 
Tf 106.919 0 Td 
[(continuous)]TJ
./F95 9.9626 Tf 
53.235 0 Td [(sy
mmetr)-18(y)]TJ.
/F129 9.9626 Tf 
48.502 0 Td [(.)
]TJ./F98 9.9626 
Tf 3.716 0 Td [(
n)]TJ./F67 9.962
6 Tf 8.371 0 Td 
[(\25)]TJ./F95 9
.9626 Tf 9.726 0
 Td [(2)]TJ./F12
9 9.9626 Tf 5.28
 0 Td [(/)]TJ./F
95 9.9626 Tf 6.7
99 0 Td [(ar)20(
e)-309(dominated
)-310(b)25(y)-30
9(long-wav)5(ele
ngth)]TJ.-242.54
8 -12.951 Td [(e
x)12(citations)1
0(,)-318(kno)30(
wn)-318(as)]TJ./
F98 9.9626 Tf 10
1.154 0 Td [(G)-
10(oldstone)-318
(modes)]TJ./F95 
9.9626 Tf 76.54 
0 Td [(,)-318(wh
ich)-318(in)-317
(the)-318(case)-
318(of)-318(a)-3
17(magnetic)-318
(system)-318(ass
ume)]TJ.-177.694
 -12.952 Td [(th
e)-321(for)-8(m)
-322(of)-321(\22
3spin)-322(wav)5
(es)10(,\224)-32
1(char)10(acter)
-8(iz)6(ed)-321(
b)25(y)-322(a)-3
21(par)-8(ticle-
like)-322(spectr
)-8(um:)]TJ./F12
9 9.9626 Tf 313.
378 0 Td [(!)-76
(.)]TJ./F98 9.96
26 Tf 10.999 0 T
d [(k)]TJ./F129 
9.9626 Tf 5.649 
0 Td [(/)]TJ./F6
7 9.9626 Tf 5.93
 0 Td [(\30)]TJ.
/F98 9.9626 Tf 9
.985 0 Td [(k)]T
J./F95 7.5716 Tf
 5.648 3.617 Td 
[(2)]TJ./F95 9.9
626 Tf 4.511 -3.
617 Td [(.)-322(
The)-321(v)5(er)
-18(y)]TJ.-356.1
 -12.951 Td [(lo
)30(w-temper)10(
atur)20(e)-335(b
ehavior)-335(of)
-335(the)-335(sy
stem)-335(is)-33
5(pr)-8(imar)-8(
ily)-336(go)30(v
)5(er)-8(ned)-33
5(b)25(y)-335(th
ese)-335(modes)1
0(,)-335(and)-33
5(the)]TJ.0 -12.
951 Td [(ther)-8
(mal)-225(ener)6
(gy)-225(associa
ted)-225(with)-2
25(them)-225(is)
-225(giv)5(en)-2
25(b)25(y)]TJ./F
98 8.9664 Tf 100
.46 -26.914 Td [
(U)]TJ./F95 6.97
38 Tf 7.12 -1.89
2 Td [(ther)-8(m
a1)]TJ./F67 8.96
64 Tf 29.256 1.8
92 Td [(\30)]TJ.
/F110 8.9664 Tf 
8.986 12.203 Td 
[(Z)]TJ./F119 8.
9664 Tf 39.203 -
5.918 Td [(\176)
]TJ./F129 8.9664
 Tf 5.675 0 Td [
(!)]TJ.ET.q.1 0 
0 1 216.955 462.
72 cm [] 0 d 0 J
 0.412 w 0 0 m 6
8.068 0 l S.Q.BT
./F95 8.9664 Tf 
216.955 454.112 
Td [(exp)]TJ./F1
29 8.9664 Tf 14.
418 0 Td [(.)]TJ
./F119 8.9664 Tf
 3.344 0 Td [(\1
76)]TJ./F129 8.9
664 Tf 5.675 0 T
d [(!)-33(=)]TJ.
/F98 8.9664 Tf 1
0.383 0 Td [(k)]
TJ./F98 6.9738 T
f 4.887 -1.565 T
d [(B)]TJ./F98 8
.9664 Tf 4.933 1
.565 Td [(T)]TJ.
/F129 8.9664 Tf 
6.349 0 Td [(/)]
TJ./F67 8.9664 T
f 4.838 0 Td [(\
0)]TJ./F95 8.966
4 Tf 8.489 0 Td 
[(1)]TJ./F98 8.9
664 Tf 5.947 6.3
66 Td [(k)]TJ./F
98 6.9738 Tf 5.0
84 3.703 Td [(d)
]TJ./F67 6.9738 
Tf 4.268 0 Td [(
\0)]TJ./F95 6.97
38 Tf 5.44 0 Td 
[(1)]TJ./F98 8.9
664 Tf 4.194 -3.
703 Td [(dk)]TJ.
/F67 8.9664 Tf 1
2.34 0 Td [(\30)
]TJ./F98 8.9664 
Tf 8.986 0 Td [(
T)]TJ./F129 6.97
38 Tf 6.348 3.70
3 Td [(.)]TJ./F9
8 6.9738 Tf 2.60
1 0 Td [(d)]TJ./
F67 6.9738 Tf 4.
268 0 Td [(C)]TJ
./F95 6.9738 Tf 
5.44 0 Td [(2)]T
J./F129 6.9738 T
f 3.696 0 Td [(/
=)]TJ./F95 6.973
8 Tf 5.879 0 Td 
[(2)]TJ./F95 8.9
664 Tf 4.194 -3.
703 Td [(;)-9444
((25))]TJ./F95 9
.9626 Tf -298.85
7 -29.703 Td [(t
his)-377(r)20(es
ults)-377(in)-37
7(a)-378(speci\2
c)-377(heat)]TJ.
/F67 9.9626 Tf 1
34.802 0 Td [(\3
0)]TJ./F98 9.962
6 Tf 8.878 0 Td 
[(T)]TJ./F98 7.5
716 Tf 7.053 3.6
16 Td [(d)]TJ./F
129 7.5716 Tf 4.
634 0 Td [(=)]TJ
./F95 7.5716 Tf 
3.559 0 Td [(2)]
TJ./F95 9.9626 T
f 4.511 -3.616 T
d [(,)-377(which
)-377(indeed)-37
7(is)-378(consis
tent)-377(with)-
377(the)-377(thi
r)20(d)-377(law)
80(.)-378(F)36(o
r)]TJ.-163.436 -
12.952 Td [(a)-3
17(gener)10(al)-
317(account)-317
(of)-317(the)-31
7(G)-5(oldstone)
-316(ex)12(citat
ions)10(,)-317(s
ee)]TJ.0 0 0 1 k
 0 0 0 1 K [-317
(H)26(uang)]TJ.0
 g 0 G [-317(\()
]TJ.0 0 0 1 k 0 
0 0 1 K [(1987)]
TJ.0 g 0 G [(\);
)-317(for)-317(t
heir)-317(r)6(ol
e)-317(as)-317(\
223spin)]TJ.0 -1
2.951 Td [(wav)5
(es\224)-225(in)
-225(a)-225(magn
etic)-225(system
,)-225(see)]TJ.0
 0 0 1 k 0 0 0 1
 K [-225(P)6(lis
chke)-225(and)-2
25(B)6(er)6(gers
en)]TJ.0 g 0 G [
-225(\()]TJ.0 0 
0 1 k 0 0 0 1 K 
[(1989)]TJ.0 g 0
 G [(\).)]TJ.14.
445 -12.952 Td [
(F)36(or)-323(fu
r)-8(ther)-322(i
nfor)-8(mation)-
323(on)-323(one-
dimensional)-322
(models)10(,)-32
3(see)]TJ.0 0 0 
1 k 0 0 0 1 K [-
323(Lieb)-322(an
d)-323(M)12(atti
s)]TJ.0 g 0 G [-
322(\()]TJ.0 0 0
 1 k 0 0 0 1 K [
(1966)]TJ.0 g 0 
G [(\))-323(and)
]TJ.0 0 0 1 k 0 
0 0 1 K -14.445 
-12.951 Td [(Tho
mpson)]TJ.0 g 0 
G [-225(\()]TJ.0
 0 0 1 k 0 0 0 1
 K [(1972a)]TJ.0
 g 0 G [(,)]TJ.0
 0 0 1 k 0 0 0 1
 K [(b)]TJ.0 g 0
 G [(\).)]TJ./F9
9 15.4421 Tf 0 -
41.017 Td [(13.4
)-677(The)-278(I
sing)-278(model)
-278(in)-278(two
)-278(dimensions
)]TJ./F95 9.9626
 Tf 0 -18.929 Td
 [(As)-402(state
d)-402(earlier)6
0(,)]TJ.0 0 0 1 
k 0 0 0 1 K [-40
3(I)18(sing)]TJ.
0 g 0 G [-402(\(
)]TJ.0 0 0 1 k 0
 0 0 1 K [(1925)
]TJ.0 g 0 G [(\)
)-402(himself)-4
02(carr)-8(ied)-
402(out)-402(a)-
402(combinator)-
8(ial)-403(analy
sis)-402(of)-402
(the)-402(one-)]
TJ.0 -12.952 Td 
[(dimensional)-1
94(model)-195(an
d)-194(found)-19
4(that)-195(ther
)20(e)-194(was)-
194(no)-195(phas
e)-194(tr)10(ans
ition)-195(at)-1
94(a)-194(\2nite
)-195(temper)10(
atur)20(e)]TJ./F
98 9.9626 Tf 392
 0 Td [(T)]TJ./F
95 9.9626 Tf 7.0
53 0 Td [(.)]TJ.
-399.053 -12.951
 Td [(This)-294(
led)-295(him)-29
4(to)-295(conclu
de)20(,)-295(err
)6(oneously)-294
(though,)-295(th
at)-294(his)-295
(model)-294(woul
d)-295(not)-294(
exhibit)-295(a)-
294(phase)]TJ.0 
-12.951 Td [(tr)
10(ansition)-300
(in)-299(higher)
-300(dimensions)
-300(either)60(.
)-300(I)18(n)-29
9(fact,)-300(it)
-300(was)-300(th
is)-299(\223supp
osed)-300(failur
)20(e\224)-300(o
f)-299(the)-300(
I)18(sing)]TJ.0 
-12.952 Td [(mod
el)-213(that)-21
2(motiv)6(ated)-
213(H)30(eisenbe
r)6(g)-213(to)-2
12(dev)5(elop)40
(,)-213(in)-213(
1928,)-212(the)-
213(theor)-18(y)
-213(of)-212(fer
r)6(omagnetism)-
213(based)]TJ.0 
-12.951 Td [(on)
-335(a)-335(mor)
20(e)-335(sophis
ticated)-335(int
er)10(action)-33
4(among)-335(the
)-335(spins;)-33
5(compar)20(e)-3
35(the)-335(H)30
(eisenber)6(g)-3
35(inter)10(ac-)
]TJ.0 -12.952 Td
 [(tion)-295((12
.3.6))-294(with)
-295(the)-294(I)
18(sing)-295(int
er)10(action)-29
5((12.3.7).)-295
(I)24(t)-294(was
)-295(only)-295(
after)-294(some)
-295(exploitatio
n)-294(of)-295(t
he)]TJ.0 -12.951
 Td [(H)30(eisen
ber)6(g)-225(mod
el)-225(that)-22
5(people)-225(r)
20(etur)-8(ned)-
225(to)-225(inv)
5(estigate)-225(
the)-225(pr)6(op
er)-8(ties)-225(
of)-225(the)-225
(I)18(sing)-225(
model.)]TJ.14.44
5 -12.952 Td [(T
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01(exact,)-300(q
uantitativ)5(e)-
301(r)20(esult)-
300(for)-300(the
)-301(two-dimens
ional)-300(I)18(
sing)-300(model)
-301(was)-300(ob
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45 -12.951 Td [(
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0 0 1 K [(1941)]
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-313(who)-312(su
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located)-313(the
)-312(cr)-8(itic
al)-313(temper)1
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(of)-313(the)]TJ
.0 -12.951 Td [(
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(e)-273(follo)30
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k 0 0 0 1 K [-27
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.0 g 0 G [-272(\
()]TJ.0 0 0 1 k 
0 0 0 1 K [(1944
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273(an)-272(expl
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 -12.952 Td [(fr
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)6(gy)-348(in)-3
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47(\2eld)-348(an
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b)25(y)-348(esta
blished)-348(the
)-348(pr)20(ecis
e)-347(natur)20(
e)-348(of)-348(t
he)-348(speci\2c
-heat)]TJ.0 -12.
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45(These)-344(au
thors)-345(emplo
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J.0 -12.951 Td [
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)-238(Although)-
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(dif\2culties)-2
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238(softened)-23
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.0 -12.951 Td [(
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ufman)-206(and)-
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TJ.0 g 0 G [-206
(\()]TJ.0 0 0 1 
k 0 0 0 1 K [(19
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(\),)-206(it)-20
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J.0 -12.951 Td [
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20(.)]TJ.14.445 
-12.952 Td [(O)5
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,)-282(in)-283(w
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283(used)-282(to
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par)-8(tition)-2
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(a)-310(cer)-8(t
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is)-310(method)-
310(thr)6(o)30(w
s)-310(special)]
TJ.0 g 0 G 0 g 0
.G.ET.EMC.