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in)-225(two)-225
(dimensions)-100
0(491)]TJ.0 g 0 
G -190.207 -39.6
85 Td [(which)-2
39(agr)20(ees)-2
39(with)-239(our
)-239(pr)20(evio
us)-238(r)20(esu
lt)]TJ.1 1 0 0 k
 1 1 0 0 K [-239
((13.2.27))]TJ.0
 g 0 G [(.)-239(
I)18(n)-239(the)
-239(case)-239(o
f)-239(a)]TJ./F9
8 9.9626 Tf 283.
881 0 Td [(close
d)]TJ./F95 9.962
6 Tf 29.409 0 Td
 [(chain,)-239(w
)6(e)-239(do)-23
9(hav)5(e)-239(a
)]TJ.-313.29 -12
.951 Td [(closed
)-225(gr)10(aph)
-225(\227)-225(t
he)-225(one)-225
(with)]TJ./F98 9
.9626 Tf 130.231
 0 Td [(r)]TJ./F
67 9.9626 Tf 6.6
87 0 Td [(D)]TJ.
/F98 9.9626 Tf 9
.985 0 Td [(N)]T
J./F95 9.9626 Tf
 8.518 0 Td [(;)
-225(w)6(e)-225(
no)30(w)-225(get
)-225(\(with)]TJ
./F89 9.9626 Tf 
83.068 0 Td [(N)
]TJ./F67 9.9626 
Tf 14.708 0 Td [
(D)]TJ./F98 9.96
26 Tf 9.984 0 Td
 [(N)]TJ./F95 9.
9626 Tf 8.518 0 
Td [(\))]TJ./F98
 8.9664 Tf -193.
043 -23.942 Td [
(Q)]TJ./F129 8.9
664 Tf 6.761 0 T
d [(.)]TJ./F98 8
.9664 Tf 3.344 0
 Td [(N)]TJ./F95
 8.9664 Tf 7.666
 0 Td [(,)]TJ./F
98 8.9664 Tf 3.3
73 0 Td [(T)]TJ.
/F129 8.9664 Tf 
6.348 0 Td [(/)]
TJ./F67 8.9664 T
f 5.337 0 Td [(D
)]TJ./F95 8.9664
 Tf 8.986 0 Td [
(2)]TJ./F98 6.97
38 Tf 4.752 3.70
3 Td [(N)]TJ./F1
29 8.9664 Tf 6.4
61 -3.703 Td [(.
)]TJ./F95 8.9664
 Tf 3.345 0 Td [
(cosh)]TJ./F98 8
.9664 Tf 19.969 
0 Td [(K)]TJ./F1
29 8.9664 Tf 7.0
47 0 Td [(/)]TJ.
/F98 6.9738 Tf 3
.345 3.703 Td [(
N)]TJ./F95 8.966
4 Tf 6.46 -3.703
 Td [([1)]TJ./F6
7 8.9664 Tf 9.20
6 0 Td [(C)]TJ./
F98 8.9664 Tf 8.
488 0 Td [(v)]TJ
./F98 6.9738 Tf 
4.734 3.703 Td [
(N)]TJ./F95 8.96
64 Tf 6.461 -3.7
03 Td [(])]TJ./F
67 8.9664 Tf 4.9
51 0 Td [(D)]TJ.
/F95 8.9664 Tf 8
.987 0 Td [(2)]T
J./F98 6.9738 Tf
 4.752 3.703 Td 
[(N)]TJ./F95 8.9
664 Tf 6.461 -3.
703 Td [([)]TJ./
F129 8.9664 Tf 2
.959 0 Td [(.)]T
J./F95 8.9664 Tf
 3.344 0 Td [(co
sh)]TJ./F98 8.96
64 Tf 19.969 0 T
d [(K)]TJ./F129 
8.9664 Tf 7.048 
0 Td [(/)]TJ./F9
8 6.9738 Tf 3.34
4 3.703 Td [(N)]
TJ./F67 8.9664 T
f 7.955 -3.703 T
d [(C)]TJ./F129 
8.9664 Tf 8.488 
0 Td [(.)]TJ./F9
5 8.9664 Tf 3.34
5 0 Td [(sinh)]T
J./F98 8.9664 Tf
 18.507 0 Td [(K
)]TJ./F129 8.966
4 Tf 7.048 0 Td 
[(/)]TJ./F98 6.9
738 Tf 3.344 3.7
03 Td [(N)]TJ./F
95 8.9664 Tf 6.4
61 -3.703 Td [(]
,)-7542((7))]TJ.
/F95 9.9626 Tf -
317.702 -23.942 
Td [(which)-225(
agr)20(ees)-225(
with)-225(expr)2
0(ession)]TJ.1 1
 0 0 k 1 1 0 0 K
 [-225((13.2.5))
]TJ.0 g 0 G [(,)
-225(with)]TJ./F
129 9.9626 Tf 19
4.072 0 Td [(.\2
5)]TJ./F95 7.571
6 Tf 9.165 -1.52
8 Td [(1)]TJ./F1
29 9.9626 Tf 4.5
11 1.528 Td [(/)
]TJ./F98 7.5716 
Tf 3.717 -1.615 
Td [(B)]TJ./F67 
7.5716 Tf 4.815 
0 Td [(D)]TJ./F9
5 7.5716 Tf 5.90
6 0 Td [(0)]TJ./
F67 9.9626 Tf 6.
725 1.615 Td [(D
)]TJ./F95 9.9626
 Tf 9.985 0 Td [
(2)-111(cosh)]TJ
./F98 9.9626 Tf 
28.575 0 Td [(K)
]TJ./F95 9.9626 
Tf 10.072 0 Td [
(and)]TJ./F129 9
.9626 Tf 19.576 
0 Td [(.\25)]TJ.
/F95 7.5716 Tf 9
.166 -1.528 Td [
(2)]TJ./F129 9.9
626 Tf 4.511 1.5
28 Td [(/)]TJ./F
98 7.5716 Tf 3.7
16 -1.615 Td [(B
)]TJ./F67 7.5716
 Tf 4.816 0 Td [
(D)]TJ./F95 7.57
16 Tf 5.905 0 Td
 [(0)]TJ./F67 9.
9626 Tf 6.725 1.
615 Td [(D)]TJ./
F95 9.9626 Tf 9.
985 0 Td [(2)-11
1(sinh)]TJ./F98 
9.9626 Tf 26.951
 0 Td [(K)]TJ./F
95 9.9626 Tf 7.8
31 0 Td [(.)]TJ.
/F261 10.9589 Tf
 -376.725 -24.97
 Td [(Low-temper
ature)-278(expan
sion)]TJ./F95 9.
9626 Tf 0 -13.05
1 Td [(W)65(e)-3
84(star)-8(t)-38
4(with)-384(the)
-384(obser)-18(v
)6(ation)-384(th
at)-384(the)-384
(gr)6(ound)-384(
state)-383(of)-3
84(the)-384(syst
em)-384(consists
)-384(of)-384(al
l)-384(spins)]TJ
.0 -12.952 Td [(
aligned)-314(in)
-314(the)-314(sa
me)-314(dir)20(e
ction,)-314(with
)-315(the)-314(t
otal)-314(ener)6
(gy)]TJ./F98 9.9
626 Tf 238.144 0
 Td [(E)]TJ./F95
 7.5716 Tf 5.938
 -1.528 Td [(0)]
TJ./F67 9.9626 T
f 6.725 1.528 Td
 [(D)-222(\0)]TJ
./F98 9.9626 Tf 
17.755 0 Td [(J)
]TJ./F89 9.9626 
Tf 4.344 0 Td [(
N)]TJ./F95 9.962
6 Tf 12.493 0 Td
 [(.)-315(As)-31
4(one)-314(spin)
-314(is)-314(\3i
pped,)]TJ./F98 9
.9626 Tf 110.646
 0 Td [(q)]TJ.-3
96.045 -12.951 T
d [(unlike)]TJ./
F95 9.9626 Tf 30
.485 0 Td [(near
)20(est-neighbor
)-203(pairs)-203
(ar)20(e)-203(cr
)20(eated)-203(a
t)-203(the)-203(
expense)-203(of)
]TJ./F98 9.9626 
Tf 232.927 0 Td 
[(like)]TJ./F95 
9.9626 Tf 18.351
 0 Td [(ones)10(
,)-203(and)-203(
the)-203(ener)6(
gy)-203(of)-203(
the)]TJ.-281.763
 -12.952 Td [(sy
stem)-236(incr)2
0(eases)-235(b)2
5(y)-236(an)-236
(amount)-236(2)]
TJ./F98 9.9626 T
f 148.231 0 Td [
(qJ)]TJ./F95 9.9
626 Tf 9.913 0 T
d [(.)-236(I)24(
t)-236(seems)-23
5(appr)6(opr)-8(
iate)20(,)-236(t
her)20(efor)20(e
)20(,)-236(that)
-236(the)-235(H)
24(amiltonian)]T
J.-158.144 -12.9
51 Td [(of)-246(
the)-247(system)
-246(be)-247(wr)
-8(itten)-246(in
)-247(ter)-8(ms)
-246(of)-246(the
)-247(number)60(
,)]TJ./F98 9.962
6 Tf 220.296 0 T
d [(N)]TJ./F67 7
.5716 Tf 7.602 -
1.495 Td [(C\0)]
TJ./F95 9.9626 T
f 12.31 1.495 Td
 [(,)-246(of)-24
7(unlike)-246(ne
ar)20(est-neighb
or)-247(pairs)-2
46(in)]TJ.-240.2
08 -12.952 Td [(
the)-225(lattice
)20(,)-225(that)
-225(is)10(,)]TJ
./F98 8.9664 Tf 
95.383 -23.942 T
d [(H)]TJ./F129 
8.9664 Tf 7.684 
0 Td [(.)]TJ./F9
8 8.9664 Tf 3.34
4 0 Td [(N)]TJ./
F67 6.9738 Tf 6.
842 -1.345 Td [(
C\0)]TJ./F129 8.
9664 Tf 11.377 1
.345 Td [(/)]TJ.
/F67 8.9664 Tf 5
.337 0 Td [(D)-2
22(\0)]TJ./F98 8
.9664 Tf 15.98 0
 Td [(J)]TJ./F12
9 8.9664 Tf 3.90
9 0 Td [(.)]TJ./
F98 8.9664 Tf 3.
345 0 Td [(N)]TJ
./F67 6.9738 Tf 
6.841 -1.345 Td 
[(CC)]TJ./F67 8.
9664 Tf 12.872 1
.345 Td [(C)]TJ.
/F98 8.9664 Tf 8
.488 0 Td [(N)]T
J./F67 6.9738 Tf
 6.841 -1.345 Td
 [(\0\0)]TJ./F67
 8.9664 Tf 12.87
2 1.345 Td [(\0)
]TJ./F98 8.9664 
Tf 8.488 0 Td [(
N)]TJ./F67 6.973
8 Tf 6.842 -1.34
5 Td [(C\0)]TJ./
F129 8.9664 Tf 1
1.377 1.345 Td [
(/)]TJ./F67 8.96
64 Tf 5.337 0 Td
 [(D)-222(\0)]TJ
./F98 8.9664 Tf 
15.98 0 Td [(J)]
TJ./F129 8.9664 
Tf 3.909 0 Td [(
.)]TJ./F89 8.966
4 Tf 3.345 0 Td 
[(N)]TJ./F67 8.9
664 Tf 12.738 0 
Td [(\0)]TJ./F95
 8.9664 Tf 8.488
 0 Td [(2)]TJ./F
98 8.9664 Tf 4.7
52 0 Td [(N)]TJ.
/F67 6.9738 Tf 6
.842 -1.345 Td [
(C\0)]TJ./F129 8
.9664 Tf 11.377 
1.345 Td [(/)]TJ
./F95 8.9664 Tf 
3.344 0 Td [(.)-
9408((8))]TJ./F9
5 9.9626 Tf -303
.934 -23.942 Td 
[(The)-225(par)-
8(tition)-225(fu
nction)-225(of)-
225(the)-225(sys
tem)-225(may)-22
5(then)-225(be)-
225(wr)-8(itten)
-225(as)]TJ./F98
 8.9664 Tf 116.2
33 -23.942 Td [(
Q)]TJ./F129 8.96
64 Tf 6.761 0 Td
 [(.)]TJ./F98 8.
9664 Tf 3.345 0 
Td [(N)]TJ./F95 
8.9664 Tf 7.666 
0 Td [(,)]TJ./F9
8 8.9664 Tf 3.37
2 0 Td [(T)]TJ./
F129 8.9664 Tf 6
.348 0 Td [(/)]T
J./F67 8.9664 Tf
 5.337 0 Td [(D)
]TJ./F98 8.9664 
Tf 8.987 0 Td [(
e)]TJ./F98 6.973
8 Tf 4.223 3.703
 Td [(K)]TJ./F12
4 6.9738 Tf 5.48
1 0 Td [(N)]TJ./
F110 8.9664 Tf 1
1.084 4.815 Td [
(X)]TJ./F98 6.97
38 Tf 4.778 -18.
829 Td [(r)]TJ./
F98 8.9664 Tf 8.
906 10.311 Td [(
m)]TJ./F129 8.96
64 Tf 8.177 0 Td
 [(.)]TJ./F98 8.
9664 Tf 3.344 0 
Td [(r)]TJ./F129
 8.9664 Tf 4.026
 0 Td [(/)]TJ./F
98 8.9664 Tf 3.3
45 0 Td [(e)]TJ.
/F67 6.9738 Tf 4
.223 3.703 Td [(
\0)]TJ./F95 6.97
38 Tf 5.439 0 Td
 [(2)]TJ./F98 6.
9738 Tf 3.697 0 
Td [(K)12(r)]TJ.
/F95 8.9664 Tf 1
7.045 -3.703 Td 
[([)]TJ./F98 8.9
664 Tf 2.958 0 T
d [(m)]TJ./F129 
8.9664 Tf 8.178 
0 Td [(.)]TJ./F9
5 8.9664 Tf 3.34
4 0 Td [(0)]TJ./
F129 8.9664 Tf 4
.752 0 Td [(/)]T
J./F67 8.9664 Tf
 5.337 0 Td [(D)
]TJ./F95 8.9664 
Tf 8.987 0 Td [(
1],)-11733((9))]
TJ./F95 9.9626 T
f -275.373 -30.8
06 Td [(wher)20(
e)]TJ./F98 9.962
6 Tf 29.625 0 Td
 [(m)]TJ./F129 9
.9626 Tf 9.086 0
 Td [(.)]TJ./F98
 9.9626 Tf 3.716
 0 Td [(r)]TJ./F
129 9.9626 Tf 4.
473 0 Td [(/)]TJ
./F95 9.9626 Tf 
5.725 0 Td [(den
otes)-202(the)-2
01(\223number)-2
02(of)-202(disti
nct)-201(ways)-2
02(in)-202(which
)-201(the)]TJ./F
98 9.9626 Tf 225
.961 0 Td [(N)]T
J./F95 9.9626 Tf
 10.527 0 Td [(s
pins)-202(of)-20
1(the)-202(latti
ce)-202(can)-201
(be)]TJ.-289.113
 -12.951 Td [(so
)-223(arr)10(ang
ed)-222(as)-223(
to)-223(yield)]T
J./F98 9.9626 Tf
 102.213 0 Td [(
r)]TJ./F95 9.962
6 Tf 6.692 0 Td 
[(unlike)-223(ne
ar)20(est-neighb
or)-223(pairs)20
(.\224)-222(I)24
(t)-223(is)-223(
ob)35(vious)-222
(that)-223(the)-
223(\2rst)-223(n
onz)6(er)6(o)]TJ
.-108.905 -12.95
1 Td [(ter)-8(m)
-225(in)]TJ.1 1 
0 0 k 1 1 0 0 K 
[-225((9))]TJ.0 
g 0 G [(,)-225(a
fter)-225(the)-2
25(one)-225(with
)]TJ./F98 9.9626
 Tf 133.818 0 Td
 [(r)]TJ./F67 9.
9626 Tf 6.687 0 
Td [(D)]TJ./F95 
9.9626 Tf 9.985 
0 Td [(0,)-225(w
ould)-225(be)-22
5(the)-225(one)-
225(with)]TJ./F9
8 9.9626 Tf 112.
278 0 Td [(r)]TJ
./F67 9.9626 Tf 
6.688 0 Td [(D)]
TJ./F98 9.9626 T
f 9.984 0 Td [(q
)]TJ./F95 9.9626
 Tf 5.649 0 Td [
(.)]TJ.-270.643 
-12.952 Td [(A)-
614(gr)10(aphica
l)-614(r)20(epr)
20(esentation)-6
15(of)-614(the)-
615(number)]TJ./
F98 9.9626 Tf 21
1.188 0 Td [(m)]
TJ./F129 9.9626 
Tf 9.086 0 Td [(
.)]TJ./F98 9.962
6 Tf 3.716 0 Td 
[(r)]TJ./F129 9.
9626 Tf 4.473 0 
Td [(/)]TJ./F95 
9.9626 Tf 9.837 
0 Td [(is)-614(s
tr)10(aightfor)-
18(war)20(d.)-61
7(R)20(eferr)-8(
ing)-615(to)]TJ.
1 1 0 0 k 1 1 0 
0 K -252.746 -12
.951 Td [(F)10(i
gur)20(e)-249(13
.9)]TJ.0 g 0 G [
(,)-249(which)-2
49(per)-8(tains)
-249(to)-249(a)-
249(squar)20(e)-
249(lattice)20(,
)-249(w)6(e)-248
(see)-249(that)-
249(each)-249(te
r)-8(m)-249(in)-
249(expansion)]T
J.1 1 0 0 k 1 1 
0 0 K [-249((9))
]TJ.0 g 0 G [-24
9(can)]TJ.0 -12.
952 Td [(be)-312
(associated)-312
(with)-311(a)-31
2(closed)-312(gr
)10(aph)-312(tha
t)-312(cor)20(do
ns)-311(off)-312
(r)20(egion(s))-
312(of)-312(\223
up\224)-312(spin
s)-311(fr)6(om)-
312(those)-312(o
f)]TJ.0 -12.951 
Td [(\223do)30(w
n\224)-320(spins
)10(,)-320(the)-
320(per)-8(imete
r)-320(of)-320(t
he)-321(gr)10(ap
h)-320(being)-32
0(pr)20(ecisely)
-320(the)-320(nu
mber)-320(of)-32
0(unlike)-320(ne
ar)20(est-)]TJ.0
 -12.952 Td [(ne
ighbor)-296(pair
s)-297(in)-296(t
he)-297(lattice)
-296(for)-296(th
at)-297(par)-8(t
icular)-296(con\
2gur)10(ation.)-
297(O)6(ur)-296(
pr)6(oblem)-297(
then)-296(r)20(e
duces)]TJ.0 -12.
951 Td [(to)-224
(one)-225(of)-22
4(enumer)10(atin
g)-224(closed)-2
24(gr)10(aphs)10
(,)-225(of)-224(
appr)6(opr)-8(ia
te)-224(per)-8(i
meters)10(,)-225
(that)-224(can)-
224(be)-224(dr)1
0(awn)-225(on)-2
24(the)]TJ.0 -12
.951 Td [(giv)5(
en)-225(lattice)
20(.)]TJ.0 g 0 G
 ET./Span << /Al
t (Image of Figu
re 13.9) /Lang (
en-us)>> BDC.0 g
 0 G 1 0 0 1 119
.77 82.923 cm q.
1 0 0 1 0 0 cm q
.1 0 0 1 0 0 cm 
/Im10 Do.Q.Q.0 g
 0 G EMC.1 0 0 1
 -119.77 -82.923
 cm BT./F174 7.4
72 Tf 78.207 64.
642 Td [(FIGURE)
-278(13.9)]TJ./F
99 7.472 Tf 45.6
76 0 Td [(Graphs
)-278(cordoning)
-278(of)18(f)-27
8(regions)-278(o
f)-278(\223up\22
4)-278(spins)-27
8(from)-278(thos
e)-278(of)-278(\
223down\224)-278
(spins,)-278(wit
h)]TJ./F98 7.472
 Tf 271.8 0 Td [
(r)]TJ./F214 7.4
72 Tf 5.432 0 Td
 [(unlike)]TJ./F
99 7.472 Tf -322
.908 -9.963 Td [
(nearest-neighbo
r)-278(pairs.)]T
J.0 g 0 G 0 g 0 
G 0 g 0 G ET.EMC
.