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6f 29 2d 32  31 38 28 74  29 2d 39 28  68 65 29 2d 
32 31 38 28  74 77 29 32  36 28 6f 29  2d 32 31 38 
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/Part <</MCID 0 
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)-249(8in)-250(x
)-250(10in)]TJ.0
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8(c03.te)15(x)-1
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-)-250(10/06/201
6)-1000(12:34pm)
-1000(P)16(age)-
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.405 18.009 re.f
.BT./T1_1 1 Tf.9
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f.9.9626 0 0 9.9
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.f.BT./T1_1 1 Tf
.9.9626 0 0 9.96
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-277(Solving)-27
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(beha)32(vior)26
(,)-201(but)-200
(unf)31(or)-23(t
unatel)20(y)53(,
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-199(are)-200(on
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.[(of)-200(t)-9(
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)-199(seems.)-20
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(can)-251(reduce
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50(number)-252(o
f)-251(pig)15(eo
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ed)-253(b)20(y)]
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)Tj./T1_5 1 Tf.9
.9626 0 0 9.9626
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(\203)Tj./T1_5 1
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)Tj./T1_4 1 Tf.-
0.0004 Tc 9.9626
 0 0 9.9626 319.
626 674.598 Tm.[
(.)-250(There)-2
51(are)-250(tw)2
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-234(t)-9(he)-23
4(pig)16(eons)-2
35(has)-234(a)-2
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w)18(e)-234(are)
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\(Wh)20(y?\))]TJ
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-291(t)-9(he)-29
1(pig)16(eons)-2
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-291(so)-290(no)
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)-291(ha)32(v)25
(e)-292(jus)8(t)
]TJ./T1_5 1 Tf.0
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\020)Tj./T1_7 1 
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.719 0 Td.[(pig)
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)26(o)-223(of)-2
24(t)-9(hem)-223
(mus)8(t)-224(ha
)32(v)25(e)-224(
t)-9(he)-223(s)-
1(ame)-223(r)1(e
mainder)26(,)-22
5(s)-1(o)-223(t)
-9(heir)-223(di\
002erence,)-225(
a)-223(s)-1(um)-
223(of)-224(se)1
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-0.0001 Tc -2.93
7 -1.2 Td.[(of)-
251(t)-8(he)-250
(or)-19(iginal)-
251(numbers,)-25
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251(a)-250(multi
ple)-251(of)]TJ.
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250(and)-251(w)1
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)21(xt)-294(e)21
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pr)6(oblem,)-295
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remar)7(k)-1(abl
e)-294(because)]
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(he)-251(di\003c
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9(t)-250(t)-8(he
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(ple)-252(3.3.7)
]TJ./T1_4 1 Tf.-
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Choose)-228(an)2
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+1)222(\))]TJ./T
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-element)-229(su
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.(\020)Tj./T1_7 
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Tc 1.5 -2.37 Td.
[(In)11(v)20(e)1
(s)6(tig)30(atio
n:)]TJ./T1_4 1 T
f.-0.0003 Tc 5.6
84 0 Td.[(The)-1
95(languag)16(e)
-198(of)-195(t)-
9(he)-194(pr)6(o
blem)-196(leads)
-196(us)-195(to)
-194(tr)-21(y)-1
94(t)-9(he)-194(
pig)16(eonhole)-
198(pr)-20(incip
le,)-196(\223xin
g)-195(t)-9(he)]
TJ./T1_5 1 Tf.0 
Tc 31.16 0 Td.(\
020)Tj./T1_7 1 T
f.0.222 Tc 0.719
 0 Td.(+1)Tj./T1
_4 1 Tf.-0.0003 
Tc -39.063 -1.2 
Td.[(numbers)-25
1(in)-249(t)-9(h
e)-248(c)16(hose
n)-251(subse)9(t
)-250(as)-249(t)
-9(he)-249(pig)1
6(eons.)-251(W)5
9(e)-249(need)-2
50(to)-248(creat
e)-250(at)-249(m
os)8(t)]TJ./T1_5
 1 Tf.0 Tc 28.63
2 0 Td.(\020)Tj.
/T1_4 1 Tf.-0.00
04 Tc 0.745 0 Td
.[(pig)15(eonhol
es,)-253(s)-1(in
ce)-249(t)-9(her
e)-249(are)]TJ./
T1_5 1 Tf.0 Tc -
29.377 -1.2 Td.(
\020)Tj./T1_7 1 
Tf.0.2229 Tc 0.7
19 0 Td.(+1)Tj./
T1_4 1 Tf.-0.000
2 Tc 1.62 0 Td.[
(pig)16(eons.)-2
14(And)-213(w)18
(e)-213(w)28(ant
)-214(our)-213(p
ig)16(eonholes)-
216(c)17(hosen)-
214(so)-212(t)-9
(hat)-213(if)-21
3(tw)26(o)-212(n
umbers)-215(inha
bit)-214(t)-9(he
)-212(same)-213(
hole,)-214(t)-9(
hen)]TJ.-2.339 -
1.201 Td.[(one)-
258(of)-258(t)-9
(hem)-257(mus)8(
t)-258(divide)-2
57(t)-9(he)-257(
o)8(t)-9(her)47(
.)-258(Eac)17(h)
-259(pig)16(eonh
ole,)-261(t)-9(h
en,)-258(is)-257
(a)-257(s)-1(e)9
(t)-257(of)-257(
integ)16(ers)-25
9(wit)-9(h)-256(
t)-9(he)-257(pr)
6(oper)-23(ty)-2
59(t)-9(hat)-258
(if)]TJ./T1_5 1 
Tf.0 Tc 0 -1.2 T
D.(\025)Tj./T1_4
 1 Tf.-0.0004 Tc
 0.752 0 Td.(and
)Tj./T1_5 1 Tf.0
 Tc 1.694 0 Td.(
\026)Tj./T1_4 1 
Tf.-0.0002 Tc 0.
72 0 Td.[(are)-2
50(an)25(y)-252(
tw)26(o)-250(ele
ments)-252(of)-2
51(t)-9(he)-250(
se)9(t,)-251(eit
)-9(her)]TJ./T1_
5 1 Tf.0 Tc 15.3
68 0 Td.(\025)Tj
./T1_4 1 Tf.0.75
2 0 Td.[(is)-250
(a)-250(multiple
)-251(of)]TJ./T1
_5 1 Tf.6.278 0 
Td.(\026)Tj./T1_
4 1 Tf.-0.0004 T
c 0.72 0 Td.(or)
Tj./T1_5 1 Tf.0 
Tc 1.082 0 Td.(\
026)Tj./T1_4 1 T
f.0.72 0 Td.[(is
)-251(a)-250(mul
tiple)-250(of)]T
J./T1_5 1 Tf.6.2
78 0 Td.(\025)Tj
./T1_4 1 Tf.(.)T
j.-0.0003 Tc -32
.865 -1.2 Td.[(L
e)9(t)29(\220)48
(s)-320(tr)-21(y
)-320(to)-321(co
ns)8(tr)-25(uct)
-321(suc)16(h)-3
21(a)-321(s)-1(e
)9(t.)-320(I)-1(
f)-319(t)-9(he)-
321(se)9(t)-321(
cont)-10(ains)-3
22(7,)-320(t)-9(
hen)-321(all)-32
0(t)-9(he)-321(o
)8(t)-9(her)-322
(numbers)-321(mu
s)8(t)-321(be)-3
21(eit)-9(her)]T
J.-0.0002 Tc -1.
5 -1.201 Td.[(f)
26(actors)-264(o
f)-264(7)-264(or
)-264(multiples)
-264(of)-264(7.)
-264(Le)9(t)29(\
220)48(s)-263(sa
)27(y)-264(t)-9(
he)-264(ne)21(xt
)-265(number)-26
5(in)-264(t)-9(h
e)-264(s)-1(e)9(
t)-264(is)-263(2
1.)-265(Then)-26
4(t)-9(he)-263(o
)8(t)-9(her)-265
(numbers)-265(no
)22(w)]TJ.T*.[(m
us)8(t)-326(be)-
326(eit)-9(her)-
326(multiples)-3
26(of)-326(21)-3
26(or)-326(f)26(
actors)-326(of)-
326(7,)-326(e)9(
tc.)-326(So)-326
(if)-325(7)-325(
is)-325(t)-9(he)
-326(s)-1(malles
)8(t)-325(number
)-328(in)-325(t)
-9(he)-325(s)-1(
e)9(t,)-326(t)-9
(he)-325(se)9(t)
]TJ.-0.0001 Tc 0
 -1.201 TD.[(w)2
6(ould)-262(be)-
260(a)-261(lis)8
(t)-259(of)-261(
numbers)-261(of)
-261(t)-8(he)-26
0(f)31(ollo)22(w
ing)-260(f)31(or
)-20(m:)]TJ./T1_
7 1 Tf.0 Tc 20.0
61 0 Td.(7)Tj./T
1_5 1 Tf.(,)Tj./
T1_7 1 Tf.0.916 
0 Td.(7)Tj./T1_5
 1 Tf.0.0003 Tc 
(\025,)Tj./T1_7 
1 Tf.0 Tc 1.418 
0 Td.(7)Tj./T1_5
 1 Tf.0.0001 Tc 
(\025\026,)Tj./T
1_7 1 Tf.0 Tc 1.
888 0 Td.(7)Tj./
T1_5 1 Tf.0.0001
 Tc [(\025\026\0
27)-49(,)]TJ./T1
_7 1 Tf.0 Tc 2.3
52 0 Td.(7)Tj./T
1_5 1 Tf.0.0001 
Tc [(\025\026\02
7)-49(\t)-60(,)]
TJ./T1_7 1 Tf.0 
Tc 2.944 0 Td.(\
203)Tj./T1_4 1 T
f.-0.0008 Tc [(,
)-265(w)-1(here)
]TJ./T1_5 1 Tf.0
.0001 Tc 4.215 0
 Td.[(\025,)-166
(\026,)-166(\027
)-49(,)-166(\t)]
TJ./T1_4 1 Tf.0.
2613 Tc 3.278 0 
Td.[(,e)271(t)26
1(c)262(.a)262(r
)263(e)]TJ.0 Tc 
-37.073 -1.2 Td.
[(positiv)25(e)-
251(integ)16(ers
.)]TJ.-0.0002 Tc
 1.5 -1.2 Td.[(O
ur)-298(t)-10(as
k)-5(,)-297(t)-9
(hen,)-299(is)-2
97(to)-297(par)-
23(tition)-298(t
)-9(he)-297(se)9
(t)]TJ./T1_7 1 T
f.-0.0003 Tc 14.
975 0 Td.({1)Tj.
/T1_5 1 Tf.0 Tc 
(,)Tj./T1_7 1 Tf
.1.396 0 Td.(2)T
j./T1_5 1 Tf.(,)
Tj./T1_7 1 Tf.0.
916 0 Td.(\203)T
j./T1_5 1 Tf.1.1
66 0 Td.(,)Tj./T
1_7 1 Tf.0.416 0
 Td.(2)Tj./T1_5 
1 Tf.(\020)Tj./T
1_7 1 Tf.(})Tj./
T1_4 1 Tf.-0.000
6 Tc 1.776 0 Td.
[(into)-297(at)-
298(mos)7(t)]TJ.
/T1_5 1 Tf.0 Tc 
5.104 0 Td.(\020
)Tj./T1_4 1 Tf.-
0.0001 Tc 0.794 
0 Td.[(disjoint)
-297(subse)9(ts)
-298(wit)-8(h)-2
97(t)-8(he)-297(
abo)22(v)25(e)]T
J.-0.0003 Tc -28
.044 -1.201 Td.[
(pr)6(oper)-23(t
y)72(.)-371(This
)-369(is)-368(no
)8(t)-369(easy)1
4(;)-369(t)-9(he
)-368(bes)8(t)-3
69(t)-9(hing)-36
8(to)-367(do)-36
9(at)-369(t)-9(h
is)-367(point)-3
70(is)-368(e)21(
xper)-20(iment)-
370(wit)-9(h)-36
8(small)-368(v)2
0(alues)-370(of)
]TJ./T1_5 1 Tf.0
 Tc 39.724 0 Td.
(\020)Tj./T1_4 1
 Tf.(.)Tj.-0.006
1 Tc -39.724 -1.
2 Td.[(Fo)-6(r)-
301(e)15(x)5(a)-
6(mp)-6(l)-6(e)-
6(,)-300(l)-6(et
)]TJ./T1_5 1 Tf.
0 Tc 6.858 0 Td.
(\020)Tj./T1_7 1
 Tf.0.278 Tc 0.7
74 0 Td.(=5)Tj./
T1_4 1 Tf.0 Tc 1
.463 0 Td.[(.)-2
94(Le)10(t)30(\2
20)48(s)-292(tr)
-21(y)-293(t)2(o
)-292(par)-23(ti
tion)]TJ./T1_7 1
 Tf.-0.0003 Tc 9
.002 0 Td.({1)Tj
./T1_5 1 Tf.0 Tc
 (,)Tj./T1_7 1 T
f.1.396 0 Td.(2)
Tj./T1_5 1 Tf.(,
)Tj./T1_7 1 Tf.0
.916 0 Td.(3)Tj.
/T1_5 1 Tf.(,)Tj
./T1_7 1 Tf.0.91
6 0 Td.(4)Tj./T1
_5 1 Tf.(,)Tj./T
1_7 1 Tf.0.916 0
 Td.(5)Tj./T1_5 
1 Tf.(,)Tj./T1_7
 1 Tf.0.916 0 Td
.(6)Tj./T1_5 1 T
f.(,)Tj./T1_7 1 
Tf.0.916 0 Td.(7
)Tj./T1_5 1 Tf.(
,)Tj./T1_7 1 Tf.
0.916 0 Td.(8)Tj
./T1_5 1 Tf.(,)T
j./T1_7 1 Tf.0.9
16 0 Td.(9)Tj./T
1_5 1 Tf.(,)Tj./
T1_7 1 Tf.-0.000
4 Tc 0.915 0 Td.
(10})Tj./T1_4 1 
Tf.-0.0002 Tc 1.
779 0 Td.[(into)
-293(\223v)25(e)
-293(disjoint)-2
94(s)-1(ubse)9(t
s)-293(wit)-9(h)
]TJ.-0.0003 Tc -
28.599 -1.2 Td.[
(t)-9(he)-249(s)
-1(pecial)-249(p
r)6(oper)-23(ty)
72(.)-252(Eac)16
(h)-249(s)-1(e)9
(t)-249(has)-249
(a)-249(s)-1(mal
les)8(t)-248(ele
ment,)-250(s)-1(
o)-248(w)18(e)-2
49(need)-249(to)
-248(pic)22(k)-2
49(\223v)25(e)-2
49(s)-1(uc)16(h)
-249(\215seeds.)
37(\216)-249(In)
-248(s)8(tr)-20(
iving)]TJ.T*.[(f
)31(or)-229(a)-2
29(g)15(eneral)-
231(me)9(t)-9(ho
d\204one)-232(t)
-9(hat)-229(can)
-230(be)-230(use
d)-229(f)31(or)-
229(o)8(t)-9(her
)-230(v)20(alues
)-230(of)]TJ./T1
_5 1 Tf.0 Tc 24.
924 0 Td.(\020)T
j./T1_4 1 Tf.-0.
0003 Tc [(\204t)
-9(he)-229(onl)2
0(y)-229(\215nat
ural\216)-230(co
llection)-230(of
)-230(\223)-1(v)
25(e)]TJ.-0.0001
 Tc -24.924 -1.2
 Td.[(seeds)-282
(is)]TJ./T1_7 1 
Tf.0 Tc 3.396 0 
Td.(1)Tj./T1_5 1
 Tf.(,)Tj./T1_7 
1 Tf.0.916 0 Td.
(3)Tj./T1_5 1 Tf
.(,)Tj./T1_7 1 T
f.0.916 0 Td.(5)
Tj./T1_5 1 Tf.(,
)Tj./T1_7 1 Tf.0
.916 0 Td.(7)Tj.
/T1_5 1 Tf.(,)Tj
./T1_7 1 Tf.0.91
6 0 Td.(9)Tj./T1
_4 1 Tf.[(.)-284
(\(The)-281(lis)
8(t)]TJ./T1_7 1 
Tf.4.698 0 Td.(2
)Tj./T1_5 1 Tf.(
,)Tj./T1_7 1 Tf.
0.916 0 Td.(4)Tj
./T1_5 1 Tf.(,)T
j./T1_7 1 Tf.0.9
16 0 Td.(6)Tj./T
1_5 1 Tf.(,)Tj./
T1_7 1 Tf.0.916 
0 Td.(8)Tj./T1_5
 1 Tf.(,)Tj./T1_
7 1 Tf.-0.0004 T
c 0.916 0 Td.(10
)Tj./T1_4 1 Tf.1
.284 0 Td.[(does
n)40(\220)41(t)-
282(i)-1(nclude)
-283(1,)-282(and
)-282(1)-282(has
)-283(to)-281(be
)-282(t)-9(he)-2
82(minimum)-282(
element)-283(of)
]TJ.-0.0002 Tc -
16.706 -1.2 Td.[
(one)-251(of)-25
1(t)-9(he)-251(s
)-1(e)9(ts,)-250
(so)-249(t)-9(hi
s)-251(lis)8(t)-
249(is)-250(no)8
(t)-252(a)-250(\
215natural\216)-
252(candidate)-2
52(f)31(or)-250(
our)-252(seeds.\
))]TJ.-0.0003 Tc
 1.5 -1.201 Td.[
(N)13(o)8(tice)-
256(t)-9(hat)-25
8(eac)16(h)-258(
s)-1(eed)-257(is
)-256(odd.)-258(
T)32(o)-256(g)16
(e)9(t)-258(t)-9
(he)-256(remaini
ng)-258(numbers,
)-257(w)18(e)-25
7(jus)8(t)-257(h
a)32(v)25(e)-257
(to)-256(multipl
)20(y)-256(t)-9(
he)-257(seeds)-2
57(b)20(y)]TJ.-0
.0002 Tc -1.5 -1
.2 Td.[(2.)-230(
But)-230(t)-9(ha
t)-230(w)26(on)4
0(\220)41(t)-229
(q)13(uite)-229(
w)26(or)7(k)-5(,
)-230(as)-230(w)
18(e)-229(will)-
229(no)8(t)-230(
g)16(e)9(t)-231(
all)-229(t)-9(he
)-229(numbers.)-
231(If)-228(w)18
(e)-229(k)13(eep
)-230(on)-230(mu
ltipl)20(ying,)-
230(t)-9(hough,)
-231(w)18(e)]TJ.
0 -1.2 TD.[(g)16
(e)9(t)-252(t)-9
(he)-250(par)-23
(tition)]TJ./T1_
7 1 Tf.-0.0003 T
c 11.029 -1.201 
Td.({1)Tj./T1_5 
1 Tf.0 Tc (,)Tj.
/T1_7 1 Tf.1.396
 0 Td.(2)Tj./T1_
5 1 Tf.(,)Tj./T1
_7 1 Tf.0.916 0 
Td.(4)Tj./T1_5 1
 Tf.(,)Tj./T1_7 
1 Tf.-0.0004 Tc 
0.916 0 Td.[(8};
)-1170({3)]TJ./T
1_5 1 Tf.0 Tc (,
)Tj./T1_7 1 Tf.-
0.0004 Tc 3.822 
0 Td.[(6};)-1170
({5)]TJ./T1_5 1 
Tf.0 Tc (,)Tj./T
1_7 1 Tf.-0.0004
 Tc 3.822 0 Td.[
(10};)-1169({7};
)-1168({9})]TJ./
T1_5 1 Tf.0 Tc (
.)Tj./T1_4 1 Tf.
-0.0002 Tc -21.9
01 -1.777 Td.[(T
his)-251(se)9(t)
-251(of)-251(pig
)16(eonholes)-25
3(does)-252(t)-9
(he)-250(tr)-19(
ic)22(k)1(.)-250
(I)-1(f)-250(w)1
8(e)-250(c)17(ho
ose)-253(an)25(y
)-251(six)-250(n
umbers)-252(fr)6
(om)]TJ./T1_7 1 
Tf.-0.0003 Tc 17
.422 -2.163 Td.(
{1)Tj./T1_5 1 Tf
.0 Tc (,)Tj./T1_
7 1 Tf.1.396 0 T
d.(2)Tj./T1_5 1 
Tf.(,)Tj./T1_7 1
 Tf.0.916 0 Td.(
\203)Tj./T1_5 1 
Tf.1.166 0 Td.(,
)Tj./T1_7 1 Tf.-
0.0004 Tc 0.416 
0 Td.(10})Tj./T1
_5 1 Tf.0 Tc (,)
Tj./T1_4 1 Tf.-0
.0002 Tc -21.316
 -2.162 Td.[(t)-
9(hen)-191(tw)26
(o)-191(of)-190(
t)-9(hem)-191(mu
s)8(t)-191(be)-1
91(cont)-10(aine
d)-192(in)-190(o
ne)-192(of)-190(
t)-9(he)-191(abo
)22(v)25(e)-192(
\223v)25(e)-191(
s)-1(e)9(ts.)-19
0(Some)-191(of)-
191(t)-9(he)-191
(se)9(ts)-190(\(
in)-189(t)-9(his
)-191(case,)-191
(jus)8(t)-191(tw
)26(o\))]TJ.-0.0
003 Tc 0 -1.201 
TD.[(cont)-10(ai
n)-219(jus)8(t)-
218(one)-219(ele
ment,)-219(s)-1(
o)-218(t)-9(he)-
218(tw)26(o)-218
(numbers)-219(t)
-9(hat)-218(\215
cohabit\216)-220
(a)-218(s)-1(e)9
(t)-218(canno)8(
t)-220(lie)-218(
in)-218(t)-9(hes
e)-218(s)-1(e)9(
ts.)-218(Theref)
31(ore)-218(t)-9
(he)]TJ.ET.176.0
67 196.086 161.2
8 0.405 re.f.BT.
/T1_4 1 Tf.0 Tc 
5.9776 0 0 5.977
6 190.512 189.46
2 Tm.(4)Tj.7.970
1 0 0 7.9701 194
.004 186.672 Tm.
[(Erd\004s,)-365
(who)-365(died)-
365(in)-365(1996
)-364(at)-366(t)
-8(he)-364(ag)14
(e)-364(of)-365(
83,)-364(w)29(as
)-365(t)-8(he)-3
66(mos)8(t)-364(
pr)6(oli\223c)-3
64(mat)-8(hemati
cian)-366(of)-36
5(moder)-22(n)-3
64(times,)-367(h
a)32(ving)-364(a
ut)-8(hored)-365
(or)]TJ.-0.0003 
Tc -2.251 -1.187
 Td.[(co-aut)-8(
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