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(is)Tj.0.0001 Tc
 -39.804 -1.2 Td
.[(satis\223ed)-
250(b)20(y)]TJ./
T1_7 1 Tf.0 Tc 4
.76 0 Td.(\006)T
j./T1_6 1 Tf.0.2
22 Tc 0.72 0 Td.
(+1)Tj./T1_4 1 T
f.-0.0004 Tc 1.6
57 0 Td.[(di\002
erent)-251(order
ed)-251(pairs)]T
J./T1_6 1 Tf.0 T
c 9.124 0 Td.(\(
)Tj./T1_7 1 Tf.0
.0003 Tc [(\002,
)-166(\003)]TJ./
T1_6 1 Tf.0 Tc 1
.722 0 Td.(\))Tj
./T1_4 1 Tf.-0.0
004 Tc [(,)-250(
namel)20(y)53(,)
]TJ./T1_6 1 Tf.0
.0003 Tc -5.078 
-2.028 Td.(\(0)T
j./T1_7 1 Tf.0.1
665 Tc 0.833 0 T
d.(,\006)Tj./T1_
6 1 Tf.0 Tc 0.91
3 0 Td.(\))Tj./T
1_7 1 Tf.(,)Tj./
T1_6 1 Tf.0.0004
 Tc 0.75 0 Td.(\
(1)Tj./T1_7 1 Tf
.0.1665 Tc 0.833
 0 Td.(,\006)Tj.
/T1_6 1 Tf.0.222
 Tc 1.137 0 Td.[
(\2121)222(\))]T
J./T1_7 1 Tf.0 T
c 1.74 0 Td.(,)T
j./T1_6 1 Tf.0.0
003 Tc 0.416 0 T
d.(\(2)Tj./T1_7 
1 Tf.0.1665 Tc 0
.833 0 Td.(,\006
)Tj./T1_6 1 Tf.0
.222 Tc 1.137 0 
Td.[(\2122)222(\
))]TJ./T1_7 1 Tf
.0 Tc 1.74 0 Td.
(,)Tj./T1_6 1 Tf
.0.416 0 Td.(\20
3)Tj./T1_7 1 Tf.
1.166 0 Td.(,)Tj
./T1_6 1 Tf.0.41
6 0 Td.(\()Tj./T
1_7 1 Tf.-0.0001
 Tc (\006,)Tj./T
1_6 1 Tf.-0.0004
 Tc 1.247 0 Td.(
0\))Tj./T1_7 1 T
f.0 Tc 0.833 0 T
d.(.)Tj./T1_4 1 
Tf.-0.0002 Tc -2
7.315 -2.028 Td.
[(So)-173(w)18(e
)-172(can)-173(p
ar)-23(tition)-1
72(t)-9(he)-172(
solutions)-172(o
f)]TJ./T1_7 1 Tf
.0 Tc 13.883 0 T
d.(\002)Tj./T1_6
 1 Tf.0.725 0 Td
.(+)Tj./T1_7 1 T
f.0.907 0 Td.(\0
03)Tj./T1_6 1 Tf
.0.692 0 Td.(+)T
j./T1_7 1 Tf.0.9
07 0 Td.(\031)Tj
./T1_6 1 Tf.0.27
8 Tc 0.743 0 Td.
[(=5)278(0)]TJ./
T1_4 1 Tf.-0.000
4 Tc 2.136 0 Td.
[(into)-172(t)-9
(he)-172(disjoin
t)-172(cases)-17
3(where)]TJ./T1_
7 1 Tf.0 Tc 11.1
96 0 Td.(\031)Tj
./T1_6 1 Tf.0.27
8 Tc 0.743 0 Td.
(=0)Tj./T1_7 1 T
f.0.1665 Tc 1.46
3 0 Td.(,\031)Tj
./T1_6 1 Tf.0.27
71 Tc 1.16 0 Td.
(=1)Tj./T1_7 1 T
f.0.1665 Tc 1.46
2 0 Td.(,\031)Tj
./T1_6 1 Tf.0.27
8 Tc 1.16 0 Td.(
=2)Tj./T1_7 1 Tf
.0 Tc 1.463 0 Td
.(,)Tj./T1_6 1 T
f.0.416 0 Td.(\2
03)Tj./T1_7 1 Tf
.1.166 0 Td.(,)T
j.-40.22 -1.201 
Td.(\031)Tj./T1_
6 1 Tf.0.2771 Tc
 0.743 0 Td.[(=5
)278(0)]TJ./T1_4
 1 Tf.-0.0005 Tc
 1.961 0 Td.[(.)
-274(F)5(or)-273
(e)21(x)11(ample
,)-274(if)]TJ./T
1_7 1 Tf.0 Tc 6.
936 0 Td.(\031)T
j./T1_6 1 Tf.0.2
771 Tc 0.743 0 T
d.[(=1)278(7)]TJ
./T1_4 1 Tf.-0.0
004 Tc 1.961 0 T
d.[(,)-273(t)-9(
hen)]TJ./T1_7 1 
Tf.0 Tc 2.525 0 
Td.(\002)Tj./T1_
6 1 Tf.0.724 0 T
d.(+)Tj./T1_7 1 
Tf.0.908 0 Td.(\
003)Tj./T1_6 1 T
f.0.278 Tc 0.747
 0 Td.[(=3)278(3
)]TJ./T1_4 1 Tf.
-0.0003 Tc 2.235
 0 Td.[(so)-271(
t)-9(here)-273(w
ill)-272(be)-272
(34)-273(di\002e
rent)-272(ordere
d)-273(tr)-20(ip
les)]TJ./T1_6 1 
Tf.0 Tc 17.516 0
 Td.(\()Tj./T1_7
 1 Tf.0.0001 Tc 
[(\002,)-166(\00
3,)]TJ./T1_6 1 T
f.-0.0004 Tc 2.1
38 0 Td.(17\))Tj
./T1_4 1 Tf.0 Tc
 -39.137 -1.2 Td
.[(t)-8(hat)-250
(satisfy)]TJ./T1
_7 1 Tf.4.619 0 
Td.(\002)Tj./T1_
6 1 Tf.0.725 0 T
d.(+)Tj./T1_7 1 
Tf.0.907 0 Td.(\
003)Tj./T1_6 1 T
f.0.693 0 Td.(+)
Tj./T1_7 1 Tf.0.
907 0 Td.(\031)T
j./T1_6 1 Tf.0.2
78 Tc 0.743 0 Td
.[(=5)278(0)]TJ.
/T1_4 1 Tf.-0.00
05 Tc 1.962 0 Td
.[(.)-251(Our)-2
51(answ)18(er)-2
52(i)-1(s)-250(t
)-9(heref)31(ore
)]TJ./T1_6 1 Tf.
0.2223 Tc 3.343 
-2.319 Td.[(1+2+
3+\267\267\267+5
)223(1)-55(=)]TJ
.-0.0004 Tc 9.57
3 0.58 Td.(51)Tj
./T1_8 1 Tf.0 Tc
 1.222 0 Td.(\00
2)Tj./T1_6 1 Tf.
-0.0004 Tc 0.508
 0 Td.(52)Tj.ET.
409.905 533.226 
27.207 0.666 re.
f.BT./T1_6 1 Tf.
0 Tc 9.9626 0 0 
9.9626 421.011 5
24.0911 Tm.(2)Tj
./T1_7 1 Tf.1.73
5 0.7 Td.(.)Tj./
T1_4 1 Tf.-0.000
2 Tc -24.821 -2.
203 Td.[(The)-22
1(pr)6(oblem)-22
1(w)28(as)-221(s
)-1(ol)20(v)25(e
d)-221(easil)20(
y)-220(b)20(y)-2
20(par)-23(titio
ning,)-222(but)-
222(encoding)-22
2(also)-220(w)26
(or)7(k)-5(s.)-2
21(T)32(o)-220(s
ee)-220(ho)22(w)
50(,)-221(le)9(t
)-221(us)-220(re
place)]TJ.-0.000
3 Tc -1.5 -1.2 T
d.[(50)-323(wit)
-9(h)-322(a)-322
(s)-1(maller)-32
3(number)26(,)-3
24(s)-1(a)27(y)5
3(,)-324(11,)-32
3(and)-323(recal
l)-323(ho)22(w)-
323(w)18(e)-323(
\223rs)8(t)-321(
lear)-21(ned)-32
4(about)-324(add
ition)-324(in)-3
22(\223rs)8(t)-3
21(or)-323(s)-1(
econd)]TJ.-0.000
2 Tc 0 -1.201 TD
.[(g)-10(r)1(ade
.)-252(Y)67(ou)-
251(practiced)-2
51(sums)-251(lik
)13(e)-250(\215)
]TJ./T1_6 1 Tf.0
.2224 Tc 13.034 
0 Td.[(3+6+2)-55
(=)-56(1)223(1)]
TJ./T1_4 1 Tf.-0
.0004 Tc 5.999 0
 Td.[(\216)-251(
b)20(y)-250(dra)
34(wing)-252(seq
)13(uences)-253(
of)-251(do)8(ts:
)]TJ./T1_6 1 Tf.
0.2222 Tc -7.523
 -2.028 Td.[(\00
6\006\006+\006\0
06\006\006\006\0
06+\006\006)-105
5(=)-1056(\006\0
06\006\006\006\0
06\006\006\006\0
06\006)]TJ./T1_7
 1 Tf.0 Tc 17.19
9 0 Td.(.)Tj./T1
_4 1 Tf.-0.0003 
Tc -28.709 -2.02
8 Td.[(Eac)16(h)
-255(ordered)-25
5(tr)-20(iple)]T
J./T1_6 1 Tf.0 T
c 7.922 0 Td.(\(
)Tj./T1_7 1 Tf.0
.0001 Tc [(\002,
)-166(\003,)-166
(\031)]TJ./T1_6 
1 Tf.0 Tc 2.603 
0 Td.(\))Tj./T1_
4 1 Tf.-0.0003 T
c 0.587 0 Td.[(o
f)-254(non-neg)1
1(ativ)25(e)-255
(integ)16(ers)-2
54(t)-9(hat)-254
(sum)-253(t)1(o)
-253(11)-254(can
)-254(be)-254(t)
-9(hought)-255(o
f)-254(as)-254(a
n)-254(allocatio
n)]TJ.-0.0002 Tc
 -11.112 -1.2 Td
.[(of)-294(11)-2
94(do)8(ts,)-294
(s)-1(eparated)-
295(b)20(y)-293(
tw)26(o)-294(plu
s)-294(s)-1(igns
.)-294(The)-294(
tr)-19(iple)]TJ.
/T1_6 1 Tf.0.000
4 Tc 20.563 0 Td
.(\(3)Tj./T1_7 1
 Tf.0 Tc 0.833 0
 Td.(,)Tj./T1_6 
1 Tf.0.416 0 Td.
(6)Tj./T1_7 1 Tf
.(,)Tj./T1_6 1 T
f.-0.0004 Tc 0.9
16 0 Td.(2\))Tj.
/T1_4 1 Tf.1.128
 0 Td.[(can)-294
(be)-294(encoded
)-296(b)20(y)-29
4(t)-9(he)-293(s
)8(tr)-20(ing)]T
J./T1_6 1 Tf.0.2
223 Tc 11.924 0 
Td.(\006\006\006
+\006\006\006\00
6)Tj.-35.78 -1.2
01 Td.(\006\006+
\006\006)Tj./T1_
4 1 Tf.-0.0003 T
c 2.974 0 Td.[(.
)-272(Zer)6(o)-2
73(is)-272(no)8(
t)-272(a)-272(pr
)6(oblem;)-273(w
)18(e)-273(encod
e)-274(it)-272(w
it)-9(h)-272(no)
-273(do)8(ts.)-2
72(Hence)]TJ./T1
_6 1 Tf.0.2222 T
c 23.435 0 Td.(+
+\006\006\006\00
6\006\006\006\00
6\006\006\006)Tj
./T1_4 1 Tf.-0.0
006 Tc 8.159 0 T
d.[(cor)-27(resp
onds)-274(to)]TJ
./T1_6 1 Tf.0.00
04 Tc -34.567 -1
.2 Td.(\(0)Tj./T
1_7 1 Tf.0 Tc 0.
833 0 Td.(,)Tj./
T1_6 1 Tf.0.416 
0 Td.(0)Tj./T1_7
 1 Tf.(,)Tj./T1_
6 1 Tf.-0.0004 T
c 0.916 0 Td.(11
\))Tj./T1_4 1 Tf
.1.639 0 Td.(and
)Tj./T1_6 1 Tf.0
.2222 Tc 1.748 0
 Td.(\006\006\00
6\006\006++\006\
006\006\006\006\
006)Tj./T1_4 1 T
f.-0.0006 Tc 8.1
92 0 Td.[(cor)-2
7(responds)-306(
to)]TJ./T1_6 1 T
f.0.0003 Tc 6.24
1 0 Td.(\(5)Tj./
T1_7 1 Tf.0 Tc 0
.833 0 Td.(,)Tj.
/T1_6 1 Tf.0.416
 0 Td.(0)Tj./T1_
7 1 Tf.(,)Tj./T1
_6 1 Tf.-0.0004 
Tc 0.916 0 Td.(6
\))Tj./T1_4 1 Tf
.0.833 0 Td.[(.)
-306(This)-305(m
e)9(t)-9(hod)-30
6(uniq)13(uel)20
(y)-305(encodes)
-308(eac)16(h)-3
06(tr)-20(iple)]
TJ.-0.0001 Tc -2
2.983 -1.218 Td.
[(wit)-8(h)-368(
a)-368(s)8(tr)-1
9(ing)-367(of)-3
69(13)-368(symbo
ls)-369(cont)-10
(aining)-370(tw)
26(o)]TJ./T1_6 1
 Tf.0 Tc 18.338 
0 Td.(+)Tj./T1_4
 1 Tf.-0.0003 Tc
 1.052 0 Td.[(sy
mbols)-369(and)-
369(11)]TJ./T1_6
 1 Tf.0 Tc 6.883
 0 Td.(\006)Tj./
T1_4 1 Tf.-0.000
4 Tc 0.718 0 Td.
[(symbols.)-368(
There)-369(are)]
TJ./T1_9 1 Tf.0 
Tc 8.237 0.799 T
d.(\003)Tj./T1_6
 1 Tf.-0.0001 Tc
 7.472 0 0 7.472
 531.693 401.574
 Tm.(13)Tj.0 Tc 
0.25 -1.279 Td.(
2)Tj./T1_9 1 Tf.
9.9626 0 0 9.962
6 539.163 404.76
01 Tm.(\004)Tj./
T1_4 1 Tf.-0.027
9 Tc 0.836 -0.79
9 Td.[(way)-15(s
)-397(o)-27(f)]T
J.-0.0001 Tc -37
.282 -1.201 Td.[
(counting)-284(t
)-8(hese)-281(s)
8(tr)-19(ings)-2
82(\(f)31(or)-28
1(eac)17(h)-283(
s)8(tr)-19(ing)-
281(is)-281(uniq
)13(uel)20(y)-28
3(de)9(ter)-20(m
ined)-283(b)20(y
)-282(whic)17(h)
-282(2)-282(of)-
282(t)-8(he)-281
(13)-282(possibl
e)-282(slo)9(ts)
-281(w)18(e)]TJ.
-0.0003 Tc 0 -1.
2 TD.[(place)-25
2(t)-9(he)]TJ./T
1_10 1 Tf.0 Tc 3
.84 0 Td.(+)Tj./
T1_4 1 Tf.0.85 0
 Td.(symbol\).)T
j.-0.0002 Tc -3.
19 -1.2 Td.[(F)6
(inall)20(y)54(,
)-252(r)1(eplaci
ng)-251(11)-251(
wit)-9(h)-250(50
,)-251(w)18(e)-2
51(see)-250(t)-9
(hat)-251(t)-9(h
e)-251(answ)18(e
r)-251(is)]TJ./T
1_9 1 Tf.0 Tc 15
.13 -0.816 Td.(\
005)Tj./T1_6 1 T
f.-0.0004 Tc 0.7
5 -0.834 Td.(52)
Tj.0 Tc 0.249 -1
.28 Td.(2)Tj./T1
_9 1 Tf.0.751 2.
114 Td.(\006)Tj.
/T1_6 1 Tf.1.027
 -1.414 Td.(=)Tj
.-0.0004 Tc 1.08
3 0.58 Td.(52)Tj
./T1_8 1 Tf.0 Tc
 1.222 0 Td.(\00
2)Tj./T1_6 1 Tf.
-0.0004 Tc 0.508
 0 Td.(51)Tj.ET.
q.1 0 0 1 380.20
50018 340.878006
 cm.0 0 m.27.207
 0 l.27.207 0.66
6 l.0 0.666 l.f.
Q.BT./T1_6 1 Tf.
0 Tc 9.9626 0 0 
9.9626 391.311 3
31.743 Tm.(2)Tj.
/T1_4 1 Tf.1.735
 0.7 Td.(.)Tj.ET
.574.272 338.718
 4.986 4.491 re.
f.BT./T1_4 1 Tf.
-0.0003 Tc 9.962
6 0 0 9.9626 191
.016 311.8171 Tm
.[(This)-251(is)
-250(of)-251(cou
rse)-250(jus)8(t
)-251(one)-251(e
)21(x)11(ample)-
251(of)-251(a)-2
51(g)16(eneral)-
252(tool,)-251(t
)-9(he)]TJ./T1_1
1 1 Tf.-0.0001 T
c 22.359 0 Td.[(
balls)-250(in)-2
50(ur)-17(ns)]TJ
./T1_4 1 Tf.-0.0
003 Tc 5.269 0 T
d.[(f)31(or)-20(
mula:)]TJ./T1_11
 1 Tf.-26.627 -1
.917 Td.[(The)-1
78(number)-179(o
f)-178(di\002er)
30(ent)-178(w)18
(a)-2(y)13(s)-17
8(w)21(e)-178(ca
n)-177(place)]TJ
./T1_7 1 Tf.0 Tc
 16.757 0 Td.(\0
03)Tj./T1_12 1 T
f.-0.0002 Tc 0.6
47 0 Td.(indisti
nguishable)Tj./T
1_11 1 Tf.0.0001
 Tc 7.289 0 Td.[
(balls)-176(int)
8(o)]TJ./T1_7 1 
Tf.0 Tc 3.848 0 
Td.(\034)Tj./T1_
12 1 Tf.-0.0002 
Tc 0.651 0 Td.(d
istinguishable)T
j./T1_11 1 Tf.-2
9.192 -1.201 Td.
[(ur)-17(ns)-250
(is)]TJ./T1_9 1 
Tf.0 Tc 11.786 -
0.076 Td.(\005)T
j./T1_7 1 Tf.0.7
51 -0.834 Td.(\0
03)Tj./T1_6 1 Tf
.0.692 0 Td.(+)T
j./T1_7 1 Tf.0.9
07 0 Td.(\034)Tj
./T1_6 1 Tf.0.22
2 Tc 0.696 0 Td.
(\2121)Tj./T1_7 
1 Tf.0 Tc -0.679
 -1.28 Td.(\003)
Tj./T1_9 1 Tf.2.
086 2.114 Td.(\0
06)Tj./T1_6 1 Tf
.1.028 -1.414 Td
.(=)Tj./T1_9 1 T
f.0.963 1.414 Td
.(\005)Tj./T1_7 
1 Tf.0.75 -0.834
 Td.(\003)Tj./T1
_6 1 Tf.0.692 0 
Td.(+)Tj./T1_7 1
 Tf.0.908 0 Td.(
\034)Tj./T1_6 1 
Tf.0.2229 Tc 0.6
96 0 Td.(\2121)T
j./T1_7 1 Tf.0 T
c -1.496 -1.28 T
d.(\034)Tj./T1_6
 1 Tf.0.222 Tc 0
.696 0 Td.(\2121
)Tj./T1_9 1 Tf.0
 Tc 2.207 2.114 
Td.(\006)Tj./T1_
7 1 Tf.0.75 -1.4
14 Td.(.)Tj./T1_
4 1 Tf.-0.0002 T
c -24.433 -2.372
 Td.[(The)-241(b
alls)-240(in)-24
0(ur)-21(ns)-241
(f)31(or)-20(mul
a)-240(is)-240(a
mazingl)20(y)-24
1(useful,)-241(a
nd)-241(tur)-21(
ns)-241(up)-240(
in)-240(man)25(y
)-242(une)21(xpe
cted)-243(places
.)-242(Le)9(t)-2
41(us)-240(use)]
TJ.-0.0003 Tc -1
.5 -1.201 Td.[(i
t,)-262(along)-2
65(wit)-9(h)-262
(t)-9(he)-264(pi
g)16(eonhole)-26
5(pr)-20(inciple
)-264(\()-1(Sect
ion)-264(3.3\),)
-263(to)-263(sol
)20(v)25(e)-263(
Ex)11(ample)-265
(6.1.1)-264(on)-
263(pag)16(e)-26
5(189.)-264(R)14
(ecall)-264(t)-9
(hat)]TJ.-0.0002
 Tc T*.[(t)-9(hi
s)-326(pr)6(oble
m)-328(ask)13(ed
)-327(whe)9(t)-9
(her)-328(t)-9(h
ere)-326(e)21(xi
s)8(t)-326(10,00
0)-328(10-digit)
-327(numbers)-32
8(divisible)-326
(b)20(y)-327(7,)
-326(all)-327(of
)-327(whic)17(h)
-327(can)-327(be
)]TJ.-0.0003 Tc 
0 -1.201 TD.[(ob
t)-10(ained)-252
(fr)6(om)-251(on
e)-251(ano)8(t)-
9(her)-252(b)20(
y)-251(a)-250(r)
1(eorder)-20(ing
)-251(of)-251(t)
-9(heir)-250(dig
its.)]TJ./T1_5 1
 Tf.-0.0002 Tc 1
.5 -1.731 Td.(So
lution:)Tj./T1_4
 1 Tf.4.231 0 Td
.[(Ignore)-341(t
)-9(he)-341(issu
e)-340(of)-341(d
ivisibility)-339
(b)20(y)-341(7)-
341(f)31(or)-340
(a)-341(moment,)
-342(and)-342(co
ncentrate)-343(o
n)-341(unders)8(
t)-10(anding)]TJ
.-0.0003 Tc -5.7
31 -1.2 Td.[(se)
9(ts)-320(of)-32
1(numbers)-322(t
)-9(hat)-321(\21
5can)-322(be)-32
1(obt)-10(ained)
-322(fr)6(om)-32
1(one)-321(ano)8
(t)-9(her)-322(b
)20(y)-321(a)-32
1(r)1(eorder)-20
(ing)-321(of)-32
1(t)-9(heir)-320
(digits.)37(\216
)-321(Le)9(t)-32
2(us)-321(call)]
TJ.ET.EMC..