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32 37 37 36  20 54 63 20  30 2e 37 37  35 20 30 20 
54 64 0a 28  3d 34 29 54  6a 0a 2f 54  31 5f 35 20 
31 20 54 66  0a 30 20 54  63 20 31 2e  34 36 32 20 
30 20 54 64  0a 5b 28 2e  29 2d 32 31  32 28 54 68 
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4d 43 20 0a
/Part <</MCID 0 
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 5.9776 83.952 8
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5(rim)-250(Size:
)-249(8in)-250(x
)-250(10in)]TJ.0
.0001 Tc 70.059 
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8(c02.te)15(x)-1
000(V)-1(2)-250(
-)-250(10/06/201
6)-1000(12:34pm)
-1000(P)16(age)-
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.BT./T1_1 1 Tf.9
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.f.BT./T1_1 1 Tf
.9.9626 0 0 9.96
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trategies)-277(f
or)-277(Investig
ating)-278(Probl
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.3.16)Tj./T1_5 1
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be)-569(ordered?
)-569(In)-568(o)
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-231(it)-233(pos
sible)-232(t)2(o
)-232(de\223ne)-
233(a)-233(no)8(
tion)-232(of)-23
2(\215ineq)13(ua
lity\216)-234(s)
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c 0 -1.223 TD.[(
an)24(y)-185(tw)
26(o)-185(comple
)21(x)-185(numbe
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)Tj./T1_6 1 Tf.0
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\005)Tj./T1_7 1 
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)Tj./T1_6 1 Tf.0
.0602 Tc 0.907 0
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./T1_5 1 Tf.-0.0
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-185(compared)]T
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can)-232(be)-232
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-232(or)-231(one
)-232(is)-231(\2
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J.-0.0002 Tc T*.
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e)21(y)-267(are)
-267(bo)8(t)-8(h
)-266(eq)13(ual?
)-268(\(Using)-2
66(t)-8(he)-267(
nor)-20(m)-267(f
unction)]TJ./T1_
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6)-218(f)32(or)-
216(t)-8(his)-21
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)-23(ts)-217(eac
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e)21(x)-217(num-
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.[(ber)-445(into
)-446(a)-445(rea
l)-446(number)-4
46(and)-446(henc
e)-446(eludes)-4
46(t)-8(he)-446(
q)13(ues)7(tion)
-446(of)]TJ.T*.[
(whe)9(t)-8(her)
-251(an)24(y)-25
0(tw)26(o)-251(c
omple)21(x)-251(
numbers)-251(can
)-251(be)-251(co
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2(v)24(e)-185(t)
-8(hat)-186(if)]
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004)Tj./T1_5 1 T
f.-0.0003 Tc 0.6
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5(rational)-186(
and)]TJ./T1_6 1 
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5 1 Tf.-0.0002 T
c 0.655 0 Td.[(i
s)-184(ir)-27(ra
tional,)-186(t)-
8(hen)]TJ./T1_6 
1 Tf.0 Tc 6.892 
0 Td.(\004)Tj./T
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 Td.(+)Tj./T1_6 
1 Tf.0.906 0 Td.
(\007)Tj./T1_5 1
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.[(is)-250(ir)-2
7(rational.)]TJ.
/T1_4 1 Tf.-0.00
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j./T1_5 1 Tf.0 T
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)24(r)-24(ue)-27
6(or)-277(f)26(a
lse)-276(and)-27
7(wh)20(y)8(:)-2
77(If)]TJ./T1_6 
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.(\004)Tj./T1_5 
1 Tf.-0.0002 Tc 
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7(ir)-27(r)2(ati
onal,)-277(t)-8(
hen)]TJ./T1_6 1 
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0 8.9664 159.219
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ional.)]TJ./T1_4
 1 Tf.-0.0001 Tc
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)22(v)24(e)-291(
t)-8(he)-291(s)8
(t)-10(atements)
-291(made)-292(i
n)-290(t)-8(he)-
291(discussion)-
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)]TJ.-0.0002 Tc 
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.[(g)-10(r)-24(u
ence)-251(no)8(t
)-10(ation)-250(
on)-251(pag)15(e
)-251(41.)]TJ./T
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/T1_5 1 Tf.-0.00
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.[(Pr)6(o)22(v)2
4(e)-274(t)-8(he
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22(wing)-275(g)1
5(eneralization)
-275(of)-274(Ex)
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3.4)]TJ.-0.0001 
Tc -3.027 -1.223
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g)15(e)-251(41:)
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.0001 Tc 2.444 -
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.(\f)Tj./T1_9 1 
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v)20(e)-277(int)
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t)]TJ./T1_6 1 Tf
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)]TJ.0 Tc -15.00
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)15(t)-307(of)-3
07(positiv)20(e)
-307(int)10(eg)3
3(er)17(s)-309(l
ess)-307(t)4(han
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el)10(y)-253(pr)
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.(\f)Tj./T1_9 1 
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,)-253(i.e.,)-25
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/T1_9 1 Tf.(.)Tj
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308(e)20(x)10(a)
-1(mple,)-309(i)
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)]TJ./T1_6 1 Tf.
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={)278(1)]TJ./T1
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-307(The)-306(\2
15multi-)]TJ.-17
.252 -1.223 Td.[
(plicativ)24(e)-
185(in)31(v)24(e
rse\216)-184(mod
ulo)-186(12)-185
(of)-185(eac)16(
h)-186(element)]
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001 Tc 0.904 0 T
d.[(tur)-21(ns)-
184(out)]TJ.-0.0
011 Tc -20.555 -
1.222 Td.[(to)-2
51(be)]TJ./T1_6 
1 Tf.0 Tc 2.219 
0 Td.(\b)Tj./T1_
5 1 Tf.(:)Tj./T1
_7 1 Tf.1.078 0 
Td.(5)Tj./T1_11 
1 Tf.0.723 0 Td.
(\002)Tj./T1_7 1
 Tf.0.508 0 Td.(
5)Tj./T1_10 1 Tf
.0.778 0 Td.(\00
6)Tj./T1_7 1 Tf.
-0.0001 Tc 0.963
 0 Td.[(1)-445(\
(mod)-333(12\))]
TJ./T1_6 1 Tf.0 
Tc (,)Tj./T1_7 1
 Tf.5.138 0 Td.(
7)Tj./T1_11 1 Tf
.0.723 0 Td.(\00
2)Tj./T1_7 1 Tf.
0.508 0 Td.(7)Tj
./T1_10 1 Tf.0.7
78 0 Td.(\006)Tj
./T1_7 1 Tf.-0.0
001 Tc 0.963 0 T
d.[(1)-445(\(mod
)-333(12\))]TJ./
T1_5 1 Tf.-0.000
2 Tc [(,)-250(e)
9(tc.)]TJ./T1_4 
1 Tf.-0.0001 Tc 
-14.406 -1.895 T
d.(2.3.21)Tj./T1
_5 1 Tf.-0.0003 
Tc 3.056 0 Td.[(
There)-209(are)-
208(in\223nitel)
21(y)-209(man)24
(y)-209(pr)-20(i
mes.)-208(Of)-20
8(t)-8(he)-209(m
an)24(y)-209(pr)
6(oof)16(s)]TJ.-
3.027 -1.223 Td.
[(of)-487(t)-8(h
is)-489(impor)-2
4(t)-10(ant)-488
(f)25(act,)-488(
perhaps)-489(t)-
8(he)-489(oldes)
7(t)-488(w)28(as
)-489(kno)22(wn)
-488(to)]TJ.0 Tc
 0 -1.222 TD.[(t
)-8(he)-503(anci
ent)-504(Greeks)
-503(and)-503(wr
)-19(itten)-504(
do)22(wn)-503(b)
20(y)-503(Euclid
.)-503(It)-503(i
s)-502(a)]TJ.-0.
0001 Tc 0 -1.223
 TD.[(classic)-4
67(ar)16(gument)
-468(b)20(y)-469
(contradiction.)
-469(W)61(e)-468
(s)8(t)-10(ar)-2
3(t)-467(b)20(y)
-469(assuming)]T
J.-0.0004 Tc 0 -
1.222 TD.[(t)-8(
hat)-416(t)-8(he
re)-416(are)-416
(onl)21(y)-416(\
223nitel)21(y)-4
16(man)24(y)-417
(pr)-20(imes)]TJ
./T1_6 1 Tf.0 Tc
 17.149 0 Td.(\0
24)Tj./T1_7 1 Tf
.5.9776 0 0 5.97
76 307.323 347.5
921 Tm.(1)Tj./T1
_6 1 Tf.0.1666 T
c 8.9664 0 0 8.9
664 310.815 349.
842 Tm.(,\024)Tj
./T1_7 1 Tf.0 Tc
 5.9776 0 0 5.97
76 318.933 347.5
921 Tm.(2)Tj./T1
_6 1 Tf.0.1666 T
c 8.9664 0 0 8.9
664 322.425 349.
842 Tm.(,\024)Tj
./T1_7 1 Tf.0 Tc
 5.9776 0 0 5.97
76 330.543 347.5
921 Tm.(3)Tj./T1
_6 1 Tf.8.9664 0
 0 8.9664 334.02
6 349.842 Tm.(,)
Tj./T1_7 1 Tf.0.
418 0 Td.(\203)T
j./T1_6 1 Tf.0.1
666 Tc 1.166 0 T
d.(,\024)Tj.0 Tc
 5.9776 0 0 5.97
76 356.346 347.5
921 Tm.(&)Tj./T1
_5 1 Tf.8.9664 0
 0 8.9664 362.47
5 349.842 Tm.(.)
Tj.-0.0001 Tc -2
3.789 -1.223 Td.
[(N)13(o)22(w)-2
66(\(t)-8(he)-26
5(ing)15(enious)
-267(cr)-24(ux)-
265(mo)22(v)24(e
!\))-266(conside
r)-266(t)-8(he)-
265(number)]TJ./
T1_6 1 Tf.0 Tc 2
1.784 0 Td.(")Tj
./T1_7 1 Tf.-0.0
001 Tc 1.059 0 T
d.(\004=)Tj.0 Tc
 -22.843 -1.223 
Td.(\()Tj./T1_6 
1 Tf.(\024)Tj./T
1_7 1 Tf.5.9776 
0 0 5.9776 156.5
46 325.6771 Tm.(
1)Tj./T1_6 1 Tf.
8.9664 0 0 8.966
4 160.029 327.91
8 Tm.(\024)Tj./T
1_7 1 Tf.5.9776 
0 0 5.9776 164.4
12 325.6771 Tm.(
2)Tj./T1_6 1 Tf.
8.9664 0 0 8.966
4 167.895 327.91
8 Tm.(\024)Tj./T
1_7 1 Tf.5.9776 
0 0 5.9776 172.2
78 325.6771 Tm.(
3)Tj.0.2223 Tc 8
.9664 0 0 8.9664
 177.264 327.918
 Tm.(\267\267\26
7)Tj./T1_6 1 Tf.
0 Tc 1.361 0 Td.
(\024)Tj.5.9776 
0 0 5.9776 193.8
51 325.6771 Tm.(
&)Tj./T1_7 1 Tf.
0.2223 Tc 8.9664
 0 0 8.9664 199.
98 327.918 Tm.(\
)+1)Tj./T1_5 1 T
f.0 Tc 1.962 0 T
d.(.)Tj.-0.0002 
Tc -5.962 -1.444
 Td.[(Comple)9(t
e)-251(t)-8(he)-
250(pr)6(oof!)]T
J./T1_4 1 Tf.-0.
0001 Tc -1.694 -
1.894 Td.(2.3.22
)Tj./T1_5 1 Tf.0
 Tc 3.056 0 Td.[
(\(Putnam)-347(1
995\))-348(Le)9(
t)]TJ./T1_6 1 Tf
.8.089 0 Td.(\03
5)Tj./T1_5 1 Tf.
-0.0002 Tc 1.068
 0 Td.[(be)-347(
a)-347(s)-1(e)9(
t)-347(of)-348(r
eal)-347(numbers
)-348(t)-8(hat)]
TJ.-0.0001 Tc -1
2.184 -1.223 Td.
[(is)-348(closed
)-348(under)-349
(multiplication)
-349(\(t)-8(hat)
-348(is,)-347(if
)]TJ./T1_6 1 Tf.
0 Tc 16.916 0 Td
.(\004)Tj./T1_5 
1 Tf.-0.0002 Tc 
0.85 0 Td.(and)T
j./T1_6 1 Tf.0 T
c 1.792 0 Td.(\0
07)Tj./T1_5 1 Tf
.-0.0011 Tc 0.81
8 0 Td.[(are)-34
9(i)-1(n)]TJ./T1
_6 1 Tf.0 Tc 2.6
93 0 Td.(\035)Tj
./T1_5 1 Tf.0.72
1 0 Td.(,)Tj.0.0
081 Tc -23.789 -
1.223 Td.[(th)8(
e)8(n)-297(s)8(o
)-298(i)8(s)]TJ.
/T1_6 1 Tf.-0.00
01 Tc 4.202 0 Td
.(\004\007)Tj./T
1_5 1 Tf.0.0003 
Tc [(\).)-306(Le
)10(t)]TJ./T1_6 
1 Tf.0 Tc 3.49 0
 Td.(\027)Tj./T1
_5 1 Tf.-0.0002 
Tc 1.016 0 Td.(a
nd)Tj./T1_6 1 Tf
.0 Tc 1.75 0 Td.
(#)Tj./T1_5 1 Tf
.0.0001 Tc 1.12 
0 Td.[(be)-306(d
isjoint)-306(sub
se)10(ts)-304(of
)]TJ./T1_6 1 Tf.
0 Tc 8.88 0 Td.(
\035)Tj./T1_5 1 
Tf.1.026 0 Td.(w
hose)Tj.-0.0001 
Tc -21.484 -1.22
2 Td.[(union)-21
4(is)]TJ./T1_6 1
 Tf.0 Tc 3.372 0
 Td.(\035)Tj./T1
_5 1 Tf.-0.0002 
Tc 0.721 0 Td.[(
.)-213(Giv)24(en
)-215(t)-8(hat)-
214(t)-8(he)-215
(pr)6(oduct)-214
(of)-214(an)24(y
)]TJ./T1_9 1 Tf.
-0.0021 Tc 12.20
5 0 Td.[(thr)29(
e)-2(e)]TJ./T1_5
 1 Tf.0 Tc 2.234
 0 Td.[(\(no)8(t
)-213(necessar)2
9(-)]TJ.-0.0001 
Tc -18.532 -1.22
3 Td.[(il)21(y)-
230(dis)8(tinct\
))-231(elements)
-231(of)]TJ./T1_
6 1 Tf.0 Tc 9.61
5 0 Td.(\027)Tj.
/T1_5 1 Tf.0.941
 0 Td.[(is)-230(
in)]TJ./T1_6 1 T
f.1.906 0 Td.(\0
27)Tj./T1_5 1 Tf
.-0.0002 Tc 0.94
1 0 Td.[(and)-23
1(t)-8(hat)-231(
t)-8(he)-231(pr)
6(oduct)-231(of)
-231(an)24(y)]TJ
.-0.0004 Tc -13.
402 -1.222 Td.[(
t)-8(hree)-228(e
lements)-231(of)
]TJ./T1_6 1 Tf.0
 Tc 7.078 0 Td.(
#)Tj./T1_5 1 Tf.
1.043 0 Td.[(is)
-228(in)]TJ./T1_
6 1 Tf.1.902 0 T
d.(#)Tj./T1_5 1 
Tf.-0.0002 Tc 0.
815 0 Td.[(,)-22
8(s)-1(ho)22(w)-
229(t)-8(hat)-22
9(at)-228(leas)7
(t)-229(one)-229
(of)-228(t)-8(he
)-229(tw)26(o)]T
J.0.0002 Tc -10.
838 -1.223 Td.[(
subse)10(ts)]TJ.
/T1_6 1 Tf.0.159
7 Tc 3.13 0 Td.[
(\027,)-7(#)]TJ.
/T1_5 1 Tf.-0.00
01 Tc 2.191 0 Td
.[(is)-250(close
d)-250(under)-25
1(multiplication
.)]TJ./T1_4 1 Tf
.-5.349 -1.895 T
d.(2.3.23)Tj./T1
_5 1 Tf.-0.0002 
Tc 3.056 0 Td.[(
If)-404(y)18(ou)
-405(ha)32(v)24(
en)40(\220)42(t)
-406(w)26(or)7(k
)13(ed)-406(on)-
405(it)-405(alre
ady)53(,)-406(lo
ok)-405(at)-405(
Pr)6(ob-)]TJ.-0.
0001 Tc -3.027 -
1.222 Td.[(lem)-
222(2.2.13)-223(
on)-223(pag)15(e
)-223(35.)-223(T
he)-222(cor)-26(
rect)-223(answ)1
8(er)-223(is)]TJ
./T1_7 1 Tf.0 Tc
 17.959 0 Td.(\(
)Tj./T1_6 1 Tf.(
\013)Tj./T1_7 1 
Tf.5.9776 0 0 5.
9776 317.637 207
.4261 Tm.(2)Tj.8
.9664 0 0 8.9664
 323.109 204.285
1 Tm.(+)Tj./T1_6
 1 Tf.0.907 0 Td
.(\013)Tj./T1_7 
1 Tf.0.2214 Tc 0
.72 0 Td.[(+2)22
2(\))221(\003)22
1(2)]TJ./T1_5 1 
Tf.0 Tc 2.762 0 
Td.(.)Tj.-0.0001
 Tc -23.788 -1.2
23 Td.[(Pr)6(o)2
2(v)24(e)-250(t)
-8(his)-250(b)20
(y)-250(inductio
n.)]TJ./T1_4 1 T
f.26.899 56.399 
Td.(2.3.24)Tj./T
1_5 1 Tf.0.4987 
Tc 3.056 0 Td.[(
P)499(r)504(o)52
1(v)523(et)491(h
)499(a)499(tas)4
98(e)508(tw)499(
i)499(t)491(h)]T
J./T1_6 1 Tf.0 T
c (\013)Tj./T1_5
 1 Tf.-0.0002 Tc
 10.611 0 Td.[(e
lements)-499(has
)]TJ./T1_7 1 Tf.
0 Tc 5.885 0 Td.
(2)Tj./T1_6 1 Tf
.5.9776 0 0 5.97
76 570.15 702.15
6 Tm.(\013)Tj./T
1_5 1 Tf.0.0003 
Tc 8.9664 0 0 8.
9664 578.088 699
.015 Tm.[(subse)
10(ts,)]TJ.-0.00
04 Tc -20.908 -1
.223 Td.[(includ
ing)-319(t)-8(he
)-320(empty)-319
(se)9(t)-320(and
)-319(t)-8(he)-3
19(s)-1(e)9(t)-3
20(itself.)-318(
For)-320(e)21(x)
11(ample,)-320(t
)-8(he)]TJ.0.000
5 Tc T*.[(se)10(
t)]TJ./T1_7 1 Tf
.0 Tc 1.352 0 Td
.({)Tj./T1_6 1 T
f.-0.0002 Tc [(\
004,)-167(\007,)
-167(\005)]TJ./T
1_7 1 Tf.0 Tc 2.
749 0 Td.(})Tj./
T1_5 1 Tf.0.731 
0 Td.[(has)-250(
t)-8(he)-251(eig
ht)-250(subse)9(
ts)]TJ./T1_7 1 T
f.-1.933 -2.367 
Td.(\013)Tj./T1_
6 1 Tf.(,)Tj./T1
_7 1 Tf.0.94 0 T
d.({)Tj./T1_6 1 
Tf.(\004)Tj./T1_
7 1 Tf.(})Tj./T1
_6 1 Tf.(,)Tj./T
1_7 1 Tf.1.879 0
 Td.({)Tj./T1_6 
1 Tf.(\007)Tj./T
1_7 1 Tf.(})Tj./
T1_6 1 Tf.(,)Tj.
/T1_7 1 Tf.1.846
 0 Td.({)Tj./T1_
6 1 Tf.(\005)Tj.
/T1_7 1 Tf.0.944
 0 Td.(})Tj./T1_
6 1 Tf.(,)Tj./T1
_7 1 Tf.0.897 0 
Td.({)Tj./T1_6 1
 Tf.-0.0001 Tc [
(\004,)-168(\007
)]TJ./T1_7 1 Tf.
0 Tc (})Tj./T1_6
 1 Tf.(,)Tj./T1_
7 1 Tf.2.765 0 T
d.({)Tj./T1_6 1 
Tf.-0.0001 Tc [(
\004,)-168(\005)
]TJ./T1_7 1 Tf.0
 Tc 1.864 0 Td.(
})Tj./T1_6 1 Tf.
(,)Tj./T1_7 1 Tf
.0.896 0 Td.({)T
j./T1_6 1 Tf.-0.
0002 Tc [(\007,)
-168(\005)]TJ./T
1_7 1 Tf.0 Tc 1.
832 0 Td.(})Tj./
T1_6 1 Tf.(,)Tj.
/T1_7 1 Tf.0.896
 0 Td.({)Tj./T1_
6 1 Tf.-0.0002 T
c [(\004,)-168(\
007,)-167(\005)]
TJ./T1_7 1 Tf.0 
Tc 2.75 0 Td.(})
Tj./T1_6 1 Tf.(.
)Tj./T1_4 1 Tf.-
0.0001 Tc -20.43
8 -2.655 Td.(2.3
.25)Tj./T1_5 1 T
f.0 Tc 3.056 0 T
d.[(Pr)6(o)22(v)
24(e)-251(t)-8(h
e)-250(f)32(or)-
20(mula)-250(f)3
2(or)-250(t)-8(h
e)-251(sum)-250(
of)-250(a)-250(g
)15(eome)9(tr)-1
9(ic)-251(ser)-1
9(ies:)]TJ./T1_6
 1 Tf.2.036 -2.6
35 Td.(\004)Tj.5
.9776 0 0 5.9776
 440.514 612.03 
Tm.(\013)Tj./T1_
7 1 Tf.0.0002 Tc
 (\2121)Tj.0 Tc 
8.9664 0 0 8.966
4 453.06 608.448
1 Tm.(+)Tj./T1_6
 1 Tf.0.907 0 Td
.(\004)Tj.5.9776
 0 0 5.9776 465.
696 612.03 Tm.(\
013)Tj./T1_7 1 T
f.0.0002 Tc (\21
22)Tj.0.2223 Tc 
8.9664 0 0 8.966
4 478.242 608.44
81 Tm.[(+\267\26
7\267+1)-55(=)]T
J./T1_8 1 Tf.0 T
c 4.972 1.108 Td
.(\f)Tj./T1_6 1 
Tf.0.722 -0.529 
Td.(\004)Tj.5.97
76 0 0 5.9776 53
3.79 616.782 Tm.
(\013)Tj./T1_7 1
 Tf.0.2224 Tc 8.
9664 0 0 8.9664 
539.2529 613.641
1 Tm.(\2121)Tj.E
T.529.29 610.392
 22.581 0.594 re
.f.BT./T1_6 1 Tf
.0 Tc 8.9664 0 0
 8.9664 531.027 
602.166 Tm.(\004
)Tj./T1_7 1 Tf.0
.2224 Tc 0.724 0
 Td.(\2121)Tj./T
1_8 1 Tf.0 Tc 1.
734 1.809 Td.(\r
)Tj./T1_6 1 Tf.0
.608 -1.108 Td.(
.)Tj./T1_4 1 Tf.
-0.0001 Tc -18.7
54 -2.836 Td.(2.
3.26)Tj./T1_5 1 
Tf.0 Tc 3.056 0 
Td.[(Pr)6(o)22(v
)24(e)-481(t)-8(
hat)-482(t)-8(he
)-480(absolute)-
481(v)20(alue)-4
82(of)-481(t)-8(
he)-481(sum)-481
(of)-481(se)19(v
)28(-)]TJ.-0.000
4 Tc -3.027 -1.2
23 Td.[(eral)-38
2(real)-383(or)-
381(comple)21(x)
-384(numbers)-38
2(is)-381(at)-38
3(mos)7(t)-381(e
q)13(ual)-383(to
)-383(t)-8(he)-3
81(s)-1(um)]TJ.0
 Tc T*.[(of)-567
(t)-8(he)-569(ab
solute)-568(v)20
(alues)-570(of)-
567(t)-8(he)-569
(numbers.)-568(N
)13(o)8(te:)-568
(y)18(ou)-569(wi
ll)]TJ.0.0081 Tc
 0 -1.223 TD.[(n
)8(e)8(e)8(d)-53
0(\223)8(r)8(s)1
6(t)-529(t)10(o)
-529(v)32(e)8(r)
-11(i)8(f)8(y)-5
30(th)8(e)-530(t
)8(r)-16(u)8(th)
-529(o)8(f)-529(
th)8(e)]TJ./T1_9
 1 Tf.-0.0002 Tc
 16.111 0 Td.[(t
r)-9(iang)34(le)
-538(inequality)
]TJ./T1_5 1 Tf.0
 Tc (,)Tj.-0.000
1 Tc -16.111 -1.
223 Td.[(whic)16
(h)-277(s)8(t)-1
0(ates)-277(t)-8
(hat)]TJ./T1_8 1
 Tf.0 Tc 6.989 0
 Td.(\020)Tj./T1
_6 1 Tf.(\004)Tj
./T1_7 1 Tf.1.04
4 0 Td.(+)Tj./T1
_6 1 Tf.0.907 0 
Td.(\007)Tj./T1_
8 1 Tf.(\020)Tj.
/T1_10 1 Tf.1.06
8 0 Td.(\002)Tj.
/T1_8 1 Tf.0.963
 0 Td.(\020)Tj./
T1_6 1 Tf.(\004)
Tj./T1_8 1 Tf.(\
020)Tj./T1_7 1 T
f.1.364 0 Td.(+)
Tj./T1_8 1 Tf.0.
907 0 Td.(\020)T
j./T1_6 1 Tf.(\0
07)Tj./T1_8 1 Tf
.(\020)Tj./T1_5 
1 Tf.-0.0005 Tc 
1.386 0 Td.[(f)3
1(or)-277(an)24(
y)-277(real)-278
(or)-278(comple)
21(x)]TJ.0 Tc -1
4.629 -1.222 Td.
(numbers)Tj./T1_
6 1 Tf.-0.0001 T
c 3.694 0 Td.[(\
004,)-167(\007)]
TJ./T1_5 1 Tf.0 
Tc (.)Tj./T1_4 1
 Tf.-0.0001 Tc -
3.722 -1.961 Td.
(2.3.27)Tj./T1_5
 1 Tf.-0.0002 Tc
 3.056 0 Td.[(Sh
o)22(w)-402(t)-8
(hat)]TJ./T1_7 1
 Tf.0 Tc 4.567 0
 Td.(7)Tj./T1_6 
1 Tf.5.9776 0 0 
5.9776 463.194 5
13.786 Tm.(\013)
Tj./T1_7 1 Tf.0.
2224 Tc 8.9664 0
 0 8.9664 468.65
7 510.6451 Tm.(\
2121)Tj./T1_5 1 
Tf.0 Tc 1.808 0 
Td.[(is)-402(div
isible)-401(b)20
(y)-401(6,)-401(
f)32(or)-401(all
)-402(positiv)24
(e)]TJ.-10.511 -
1.223 Td.[(integ
)15(ers)]TJ./T1_
6 1 Tf.3.401 0 T
d.(\013)Tj./T1_5
 1 Tf.(.)Tj./T1_
4 1 Tf.-0.0001 T
c -3.429 -1.96 T
d.(2.3.28)Tj./T1
_5 1 Tf.3.056 0 
Td.[(\(Ger)-20(m
an)24(y)-388(199
5\))-389(Le)9(t)
]TJ./T1_6 1 Tf.0
 Tc 8.87 0 Td.(\
b)Tj./T1_5 1 Tf.
-0.0002 Tc 0.937
 0 Td.[(be)-388(
a)-388(r)2(eal)-
388(number)-389(
s)-1(uc)16(h)-38
7(t)-8(hat)]TJ./
T1_6 1 Tf.0 Tc -
12.835 -1.223 Td
.(\b)Tj./T1_7 1 
Tf.0.772 0 Td.(+
)Tj./T1_6 1 Tf.0
.907 0 Td.(\b)Tj
./T1_7 1 Tf.0.00
02 Tc 5.9776 0 0
 5.9776 410.607 
474.2851 Tm.(\21
21)Tj./T1_5 1 Tf
.-0.0001 Tc 8.96
64 0 0 8.9664 42
1.245 471.144 Tm
.[(is)-341(an)-3
41(integ)15(er)4
8(.)-341(Pr)6(o)
22(v)24(e)-341(t
)-8(hat)]TJ./T1_
6 1 Tf.0 Tc 10.0
69 0 Td.(\b)Tj.5
.9776 0 0 5.9776
 516.456 474.285
1 Tm.(\013)Tj./T
1_7 1 Tf.8.9664 
0 0 8.9664 521.9
189 471.144 Tm.(
+)Tj./T1_6 1 Tf.
0.907 0 Td.(\b)T
j./T1_7 1 Tf.5.9
776 0 0 5.9776 5
34.987 474.2851 
Tm.(\212)Tj./T1_
6 1 Tf.(\013)Tj.
/T1_5 1 Tf.-0.00
01 Tc 8.9664 0 0
 8.9664 545.607 
471.144 Tm.[(is)
-341(an)-341(int
eg)15(er)26(,)-3
41(f)32(or)]TJ.0
 Tc -17.286 -1.2
23 Td.[(all)-250
(positiv)24(e)-2
50(integ)15(ers)
]TJ./T1_6 1 Tf.8
.044 0 Td.(\013)
Tj./T1_5 1 Tf.(.
)Tj./T1_4 1 Tf.-
0.0001 Tc -8.072
 -1.96 Td.(2.3.2
9)Tj./T1_5 1 Tf.
0.0001 Tc 3.056 
0 Td.[(Pr)6(o)22
(v)24(e)]TJ./T1_
9 1 Tf.-0.0001 T
c 2.522 0 Td.[(B
er)-17(noulli\22
0)51(s)-239(Ineq
uality)]TJ./T1_5
 1 Tf.8.758 0 Td
.[(,)-241(whic)1
6(h)-240(s)8(t)-
10(ates)-239(t)-
8(hat)-240(if)]T
J./T1_6 1 Tf.0.2
771 Tc 8.22 0 Td
.(\b>)Tj./T1_7 1
 Tf.-0.0004 Tc -
22.527 -1.223 Td
.(\2121)Tj./T1_5
 1 Tf.0 Tc (,)Tj
./T1_6 1 Tf.1.68
4 0 Td.(\b)Tj./T
1_10 1 Tf.0.828 
0 Td.(\004)Tj./T
1_7 1 Tf.0.963 0
 Td.(0)Tj./T1_5 
1 Tf.-0.0002 Tc 
0.75 0 Td.(and)T
j./T1_6 1 Tf.0 T
c 1.694 0 Td.(\0
13)Tj./T1_5 1 Tf
.-0.0001 Tc 0.74
7 0 Td.[(is)-250
(a)-250(positiv)
24(e)-251(integ)
15(er)-250(g)-10
(r)2(eater)-251(
t)-8(han)-251(1,
)-250(t)-8(hen)]
TJ./T1_7 1 Tf.0.
0003 Tc 1.653 -2
.367 Td.[(\(1)-2
22(+)]TJ./T1_6 1
 Tf.0 Tc 1.963 0
 Td.(\b)Tj./T1_7
 1 Tf.(\))Tj./T1
_6 1 Tf.5.9776 0
 0 5.9776 490.73
39 414.012 Tm.(\
013)Tj.8.9664 0 
0 8.9664 496.683
 410.4211 Tm.(>)
Tj./T1_7 1 Tf.0.
2217 Tc 0.964 0 
Td.(1+)Tj./T1_6 
1 Tf.0 Tc 1.629 
0 Td.(\013\b.)Tj
./T1_4 1 Tf.-0.0
001 Tc -14.45 -2
.655 Td.(2.3.30)
Tj./T1_5 1 Tf.3.
056 0 Td.[(Af)-1
0(ter)-284(s)8(t
udying)-284(Pr)6
(oblem)-284(2.2.
11)-284(on)-284(
pag)15(e)-285(34
,)-284(y)18(ou)-
284(ma)27(y)]TJ.
-0.0002 Tc -3.02
7 -1.223 Td.[(ha
)32(v)24(e)-184(
concluded)-185(t
)-8(hat)]TJ./T1_
6 1 Tf.0 Tc 7.99
9 0 Td.(\017)Tj.
/T1_7 1 Tf.0.675
 0 Td.(\()Tj./T1
_6 1 Tf.(\013)Tj
./T1_7 1 Tf.(\))
Tj./T1_5 1 Tf.-0
.0001 Tc 1.345 0
 Td.[(is)-183(eq
)13(ual)-184(t)2
(o)-184(t)-8(he)
-182(number)-184
(of)-184(ones)-1
83(in)-183(t)-8(
he)]TJ./T1_9 1 T
f.-10.02 -1.222 
Td.[(binar)-32(y
)]TJ./T1_5 1 Tf.
-0.0002 Tc 2.817
 0 Td.[(\(base-2
\))-174(represen
t)-10(ation)-175
(of)]TJ./T1_6 1 
Tf.0 Tc 10.302 0
 Td.(\013)Tj./T1
_5 1 Tf.-0.0014 
Tc [(.)-176([)-2
(For)-175(e)20(x
)10(a)-1(mple,)]
TJ./T1_6 1 Tf.0 
Tc 6.589 0 Td.(\
017)Tj./T1_7 1 T
f.0.675 0 Td.[(\
(13\))-277(=)-27
9(3)]TJ./T1_5 1 
Tf.(,)Tj.-0.0001
 Tc -20.383 -1.2
23 Td.[(since)-3
88(13)-388(is)-3
89(1101)-388(in)
-388(binar)-21(y
)71(.])-390(Pr)6
(o)22(v)24(e)-38
8(t)-8(his)-389(
c)16(haracter)-1
9(ization)-390(o
f)]TJ./T1_6 1 Tf
.0 Tc T*.(\017)T
j./T1_7 1 Tf.0.6
75 0 Td.(\()Tj./
T1_6 1 Tf.(\013)
Tj./T1_7 1 Tf.(\
))Tj./T1_5 1 Tf.
1.412 0 Td.[(usi
ng)-250(inductio
n.)]TJ./T1_4 1 T
f.-0.0001 Tc -2.
116 -1.96 Td.(2.
3.31)Tj./T1_5 1 
Tf.-0.0002 Tc 3.
056 0 Td.[(\(Ba)
27(y)-339(Area)-
340(Mat)-8(hemat
ical)-341(Ol)21(
ympiad,)-341(200
6\))-340(Suppose
)]TJ.0.0081 Tc -
3.027 -1.223 Td.
[(th)8(a)8(t)]TJ
./T1_6 1 Tf.0 Tc
 1.743 0 Td.(\01
3)Tj./T1_5 1 Tf.
-0.0003 Tc 0.733
 0 Td.[(sq)13(ua
res)-236(of)-235
(an)-236(in\223n
ite)-236(sq)13(u
are)-235(g)-10(r
)-20(id)-235(are
)-236(colored)-2
36(g)-10(r)1(a)2
7(y)53(,)-236(an
d)]TJ.-2.475 -1.
223 Td.[(t)-8(he
)-207(r)2(es)7(t
)-207(are)-208(c
olored)-208(whit
e.)-207(A)13(t)-
208(eac)16(h)-20
8(s)7(tep,)-207(
a)-208(ne)19(w)-
208(g)-10(r)-20(
id)-207(of)-207(
sq)13(uares)]TJ.
-0.0002 Tc 0 -1.
222 TD.[(is)-309
(obt)-10(ained)-
310(based)-309(o
n)-309(t)-8(he)-
309(pre)19(vious
)-309(one,)-310(
as)-309(f)32(oll
o)22(w)23(s)-1(.
)-309(F)5(or)-31
0(eac)16(h)]TJ.0
 -1.223 TD.[(loc
ation)-223(in)-2
22(t)-8(he)-222(
g)-10(r)-19(id,)
-222(e)21(x)11(a
mine)-223(t)-8(h
at)-223(sq)13(ua
re,)-222(t)-8(he
)-222(sq)13(uare
)-222(immedi-)]T
J.-0.0003 Tc 0 -
1.222 TD.[(atel)
21(y)-245(abo)22
(v)24(e,)-245(an
d)-245(t)-8(he)-
245(s)-1(q)13(ua
re)-244(immediat
el)21(y)-246(t)2
(o)-244(t)-8(he)
-244(r)-20(ight.
)-245(I)-1(f)-24
3(t)-8(here)]TJ.
-0.0005 Tc 0 -1.
223 TD.[(are)-27
2(tw)26(o)-272(o
r)-272(t)-9(hree
)-272(g)-10(ra)2
7(y)-273(s)-1(q)
13(uares)-272(am
ong)-272(t)-9(he
se)-272(t)-9(hre
e,)-273(t)-9(hen
)-272(in)-271(t)
-9(he)]TJ.-0.000
2 Tc T*.[(ne)21(
xt)-267(g)-10(r)
-19(id,)-267(col
or)-267(t)-8(hat
)-267(location)-
268(g)-10(ra)27(
y)14(;)-267(o)8(
t)-8(her)-19(wis
e,)-267(color)-2
67(it)-267(white
.)]TJ.0 -1.222 T
D.[(Pr)6(o)22(v)
24(e)-219(t)-8(h
at)-219(af)-10(t
er)-219(at)-219(
mos)7(t)]TJ./T1_
6 1 Tf.0 Tc 9.38
3 0 Td.(\013)Tj.
/T1_5 1 Tf.-0.00
02 Tc 0.716 0 Td
.[(s)7(teps)-218
(all)-219(t)-8(h
e)-220(s)-1(q)13
(uares)-218(in)-
219(t)-8(he)-219
(g)-10(r)-19(id)
-219(will)]TJ.-0
.0001 Tc -10.099
 -1.223 Td.[(be)
-250(white.)]TJ.
-0.0003 Tc 1.666
 -1.512 Td.[(Bel
o)22(w)-212(is)-
213(an)-212(e)21
(x)11(ample)-213
(wit)-8(h)]TJ./T
1_6 1 Tf.0 Tc 10
.397 0 Td.(\013)
Tj./T1_7 1 Tf.0.
2776 Tc 0.775 0 
Td.(=4)Tj./T1_5 
1 Tf.0 Tc 1.462 
0 Td.[(.)-212(Th
e)-211(\223rs)8(
t)-211(g)-10(r)-
19(id)-212(sho)2
2(w)23(s)-211(t)
-8(he)]TJ.-0.000
1 Tc -14.301 -1.
222 Td.[(initial
)-251(con\223gur
ation,)-253(and)
-252(t)-8(he)-25
2(second)-252(g)
-10(r)-19(id)-25
1(sho)22(w)23(s)
-251(t)-8(he)-25
2(con\223gu-)]TJ
.-0.0003 Tc 0 -1
.223 TD.[(ration
)-250(af)-11(ter
)-250(one)-251(s
)7(tep.)]TJ.ET.E
MC..