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)-248(if)-248(y)
18(ou)-248(are)-
248(presented)-2
49(wit)-9(h)-247
(an)-248(e)19(v)
24(en)-249(numbe
r)25(,)-250(y)18
(ou)-249(can)-24
8(alw)28(a)27(y)
13(s)-249(presen
t)-249(y)18(our)
-249(opponent)-2
51(wit)-9(h)-247
(an)-249(odd)]TJ
.0 -1.201 TD.[(n
umber)-238(\(if)
-235(necessar)-2
1(y)53(,)-237(b)
20(y)-237(s)-1(u
btracting)-237(1
\),)-235(whereas
)-237(if)-235(y)
18(ou)-237(are)-
236(presented)-2
37(wit)-9(h)-236
(an)-237(odd)-23
7(number)26(,)-2
38(all)-235(divi
sors)]TJ.0 -1.2 
TD.[(are)-273(od
d,)-273(so)-272(
y)18(ou)-274(mus
)7(t)-273(hand)-
274(y)18(our)-27
4(opponent)-275(
an)-273(e)19(v)2
4(en)-274(number
)47(.)-274(I)-1(
n)-272(s)-1(um:)
-273(t)-9(he)-27
3(winning)-273(s
)7(t)-1(rategy)-
273(is)-272(to)-
272(present)]TJ.
T*.[(y)18(our)-3
03(opponent)-306
(wit)-9(h)-302(a
n)-302(odd)-302(
number)26(,)-304
(whic)16(h)-303(
f)31(orces)-301(
t)-9(he)-302(pla
)27(y)-302(until
)-303(y)18(ou)-3
02(\223)-1(nall)
20(y)-302(presen
t)-302(her)-303(
wit)-9(h)-302(t)
-9(he)-302(odd)]
TJ.0 -1.201 TD.[
(number)-253(1,)
-251(and)-251(wi
n.)]TJ./T1_6 1 T
f.-0.0001 Tc 0.2
5 -2.13 Td.(4.4.
4)Tj./T1_4 1 Tf.
-0.0002 Tc 2.5 0
 Td.[(R)14(e)19(
visit)-267(P)-1(
r)6(oblem)-268(3
.1.20)-268(on)-2
67(pag)16(e)-269
(69.)-268(This)-
268(is)-266(no)8
(t)-269(a)-267(\
223nite)-266(g)1
1(ame)-268(as)-2
68(t)-9(here)-26
6(are)-267(in\22
3nitel)20(y)-267
(man)25(y)-268(g
)11(ame)]TJ.-2.7
5 -1.2 Td.[(con\
223gurations.)-2
42(Ho)22(w)18(e)
19(v)25(er)26(,)
-242(w)18(e)-240
(can)-241(call)-
241(a)-239(g)11(
ame)-241(s)8(t)-
10(ate)-240(\215
g)-10(r)1(een\21
6)-242(if)-239(i
t)-240(is)-240(r
adiall)20(y)-239
(symme)9(tr)-19(
ic,)-241(and)-24
1(\215red\216)-2
41(if)-239(no)8(
t.)]TJ.-0.0001 T
c 0 -1.2 TD.[(Pl
a)27(y)23(er)]TJ
./T1_5 1 Tf.0 Tc
 2.851 0 Td.(\00
4)Tj./T1_4 1 Tf.
-0.0002 Tc 1.062
 0 Td.[(wins)-34
6(wit)-9(h)-344(
t)-9(he)-346(ini
tial)-345(mo)22(
v)25(e)-347(of)-
346(placing)-347
(a)-345(penn)25(
y)-348(in)-345(t
)-9(he)-345(cent
er)26(,)-346(a)-
346(g)-10(r)1(ee
n)-346(mo)22(v)2
5(e.)-346(I)-1(f
)-345(pla)27(y)2
3(er)]TJ./T1_5 1
 Tf.0 Tc 34.809 
0 Td.(\005)Tj./T
1_4 1 Tf.0.0002 
Tc 1.081 0 Td.(i
s)Tj.-0.0004 Tc 
-39.804 -1.201 T
d.[(able)-286(t)
1(o)-284(mo)22(v
)24(e\204t)-9(he
)-287(board)-286
(ma)27(y)-285(be
)-286(too)-285(c
r)6(o)22(wded,)-
287(e)19(v)24(en
)-287(af)-11(ter
)-285(one)-286(p
enn)24(y)-287(i)
-1(s)-285(placed
\204t)-9(hen)-28
8(she)-285(i)-1(
s)-285(c)16(hang
ing)]TJ.-0.0002 
Tc T*.[(t)-9(he)
-314(s)-1(ymme)9
(tr)-19(ical)-31
4(g)11(ame)-315(
s)8(t)-10(ate)-3
13(t)1(o)-312(a)
-314(non-symme)9
(tr)-19(ical)-31
5(\(red\))-314(s
)8(t)-10(ate.)-3
14(Pla)27(y)23(e
r)]TJ./T1_5 1 Tf
.0 Tc 27.846 0 T
d.(\004)Tj./T1_4
 1 Tf.-0.0004 Tc
 1.031 0 Td.[(re
sponds)-315(b)20
(y)-313(placing)
-315(a)-313(penn
)24(y)]TJ.-28.87
7 -1.2 Td.[(radi
all)20(y)-230(sy
mme)9(tr)-20(ic)
-230(to)]TJ./T1_
5 1 Tf.0 Tc 8.72
9 0 Td.(\005)Tj.
/T1_4 1 Tf.-0.00
03 Tc 0.735 0 Td
.[(\220)48(s)-23
0(mos)8(t)-230(r
ecent)-231(mo)22
(v)25(e.)-232(P)
-1(r)6(o)22(v)25
(e)-230(r)-20(ig
or)6(ousl)20(y)-
230(\(use)-230(i
nduction)-231(an
d)-231(e)21(xtre
mal)-230(ar)16(g
uments\))]TJ.-0.
0001 Tc -9.465 -
1.201 Td.[(t)-8(
hat)-258(t)-8(hi
s)-257(patter)-2
1(n)-258(continu
es;)-260(i.e.,)]
TJ./T1_5 1 Tf.0 
Tc 12.628 0 Td.(
\004)Tj./T1_4 1 
Tf.-0.0004 Tc 0.
974 0 Td.(can)Tj
./T1_7 1 Tf.0.00
03 Tc 1.645 0 Td
.[(alw)19(a)-2(y
)13(s)]TJ./T1_4 
1 Tf.-0.0007 Tc 
3.008 0 Td.[(res
pond)-259(to)]TJ
./T1_5 1 Tf.0 Tc
 4.455 0 Td.(\00
5)Tj./T1_4 1 Tf.
-0.0004 Tc 0.735
 0 Td.[(\220)48(
s)-257(pre)19(vi
ous)-259(mo)22(v
)24(e.)-259(Sinc
e)-259(t)-9(he)-
257(board)-258(i
)-1(s)-257(\223)
-1(nite,)]TJ.-23
.446 -1.2 Td.[(t
)-9(hat)-251(mea
ns)-252(t)-9(hat
)-251(e)19(v)25(
entuall)20(y)]TJ
./T1_5 1 Tf.0 Tc
 10.674 0 Td.(\0
05)Tj./T1_4 1 Tf
.-0.0002 Tc 0.98
6 0 Td.[(will)-2
51(be)-250(unabl
e)-252(t)1(o)-25
0(mo)22(v)25(e.)
]TJ.-10.159 -2.4
89 Td.[(Man)25(y
)-288(g)11(ames)
-288(will)-286(y
ield)-287(t)1(o)
-286(t)-9(he)-28
7(ideas)-288(of)
-287(w)26(or)7(k
ing)-288(bac)22(
kw)28(ard)-288(\
()-1(penultimate
)-288(s)8(tep!\)
,)-286(sy)13(s)8
(tematicall)20(y
)-287(col-)]TJ.-
0.0003 Tc -1.5 -
1.2 Td.[(or)-20(
ing)-251(g)11(am
e)-251(s)8(t)-10
(ates,)-250(and)
-251(looking)-25
1(f)31(or)-250(g
)11(ames)-251(s)
8(t)-10(ates)-25
1(t)-9(hat)-251(
obe)21(y)-251(t)
-9(he)-250(duali
ty)-250(pr)-20(i
nciple)-251(on)-
251(139.)-251(He
re)-250(are)-250
(a)-250(f)34(e)1
9(w)]TJ.0 -1.201
 TD.[(more)-251(
c)16(hallenging)
-253(ones.)]TJ./
T1_6 1 Tf.-0.000
1 Tc 0.25 -2.489
 Td.(4.4.5)Tj./T
1_7 1 Tf.-0.0004
 Tc 2.5 0 Td.[(D
on)28(\220)34(t)
-192(Be)-191(Gr)
30(eedy)]TJ./T1_
4 1 Tf.-0.0001 T
c [(.)-192(S)11(
t)-10(ar)-23(t)-
190(wit)-8(h)-19
0(some)-190(penn
ies.)-192(The)-1
91(\223rs)8(t)-1
89(pla)27(y)23(e
r)-191(can)-191(
t)-10(ak)13(e)-1
90(an)25(y)-191(
positiv)25(e)-19
1(number)-192(a)
34(w)28(a)27(y)-
192(as)]TJ.-0.00
02 Tc -2.75 -1.2
 Td.[(long)-262(
as)-261(he)-262(
or)-261(she)-261
(doesn)40(\220)4
1(t)-261(t)-10(a
k)13(e)-262(all)
-261(t)-9(he)-26
1(pennies.)-262(
Af)-10(ter)-261(
t)-9(hat,)-261(y
)18(ou)-262(mus)
8(t)-261(t)-10(a
k)13(e)-262(a)-2
60(positiv)25(e)
-262(number)-262
(of)-261(pennies
,)]TJ.-0.0004 Tc
 0 -1.2 TD.[(but
)-314(y)18(ou)-3
14(ma)27(y)-314(
no)8(t)-314(t)-1
1(ak)13(e)-313(m
ore)-313(pennies
)-315(t)-9(han)-
314(y)18(our)-31
4(opponent)-317(
jus)7(t)-313(too
k.)-314(F)5(or)-
314(e)21(x)11(am
ple,)-315(if)-31
3(y)18(ou)-313(s
)7(t)-11(ar)-23(
t)-314(wit)-9(h)
-312(20)]TJ.0 -1
.201 TD.[(pennie
s,)-212(and)-210
(pla)27(y)23(er)
-211(A)-210(t)-1
0(ak)13(es)-211(
5,)-210(lea)32(v
ing)-210(15,)-21
1(t)-9(hen)-210(
pla)27(y)23(er)-
211(B)-210(can)-
210(t)-10(ak)13(
e)-210(a)34(w)28
(a)27(y)]TJ./T1_
8 1 Tf.0 Tc 27.7
37 0 Td.(1)Tj./T
1_5 1 Tf.(,)Tj./
T1_8 1 Tf.0.916 
0 Td.(2)Tj./T1_5
 1 Tf.(,)Tj./T1_
8 1 Tf.0.916 0 T
d.(3)Tj./T1_5 1 
Tf.(,)Tj./T1_8 1
 Tf.0.916 0 Td.(
4)Tj./T1_5 1 Tf.
(,)Tj./T1_4 1 Tf
.-0.0005 Tc 0.96
2 0 Td.[(or)-210
(5,)-210(but)-21
0(no)8(t)-211(6)
-211(or)-210(mor
e.)]TJ.-0.0003 T
c -31.447 -1.2 T
d.[(N)13(o)8(te)
-278(t)-9(hat)-2
79(t)-9(his)-278
(g)11(ame)-279(i
s)-278(no)8(t)-2
79(impar)-23(tia
l:)-278(a)-278(p
la)27(y)23(er)17
(\220)48(s)-279(
c)16(hoice)-280(
of)-278(mo)22(v)
25(es)-280(depen
ds)-281(on)-278(
what)-280(t)-9(h
e)-277(pre)19(vi
ous)-280(pla)27(
y)23(er)]TJ.0 -1
.2 TD.[(did,)-25
1(no)8(t)-252(ju
s)8(t)-250(on)-2
51(t)-9(he)-250(
cur)-27(rent)-25
2(g)11(ame)-251(
position.)]TJ./T
1_6 1 Tf.-0.0001
 Tc 0.25 -2.13 T
d.(4.4.6)Tj./T1_
7 1 Tf.-0.0004 T
c 2.5 0 Td.[(Don
)28(\220)34(t)-2
16(Be)-214(Doubl
)9(y)-216(Gr)30(
eedy)]TJ./T1_4 1
 Tf.[(.)-215(Thi
s)-215(is)-214(j
us)8(t)-214(lik)
13(e)-214(Don)40
(\220)41(t)-214(
Be)-215(Greedy)5
3(,)-215(onl)20(
y)-214(no)22(w)-
215(t)-9(he)-214
(r)-25(ule)-214(
is)-214(t)-9(hat
)-215(y)18(ou)-2
15(canno)8(t)]TJ
.-0.0007 Tc -2.7
5 -1.201 Td.[(t)
-11(ak)12(e)-185
(more)-185(t)-9(
han)]TJ./T1_7 1 
Tf.-0.0001 Tc 5.
999 0 Td.(twice)
Tj./T1_4 1 Tf.-0
.0004 Tc 2.296 0
 Td.[(what)-186(
y)18(our)-186(op
ponent)-188(jus)
7(t)-185(took.)-
185(So)-185(i)-1
(f)-185(pla)27(y
)23(er)-186(A)-1
84(t)-11(ak)13(e
s)-186(5,)-185(p
la)27(y)23(er)-1
86(B)-185(can)-1
85(t)-11(ak)13(e
)-185(an)24(y)-1
86(number)]TJ.-8
.295 -1.2 Td.[(b
e)9(tw)18(een)-2
53(1)-250(and)-2
51(10,)-251(incl
usiv)25(e.)-253(
A)12(g)11(ain,)-
251(t)-9(his)-25
0(is)-250(no)8(t
)-252(an)-250(im
par)-23(tial)-25
2(g)11(ame.)]TJ.
/T1_6 1 Tf.-0.00
01 Tc 0.25 -2.41
5 Td.(4.4.7)Tj./
T1_7 1 Tf.2.5 0 
Td.(Nim)Tj./T1_4
 1 Tf.-0.0003 Tc
 [(.)-303(S)11(t
)-10(ar)-23(t)-3
02(wit)-9(h)-302
(se)19(v)25(eral
)-303(piles)-302
(of)-303(beans.)
-303(A)-303(leg)
11(al)-302(mo)22
(v)25(e)-303(con
sis)8(ts)-303(of
)-302(remo)22(vi
ng)-303(one)-302
(or)-303(more)-3
02(beans)]TJ.0 T
c -2.75 -1.2 Td.
[(fr)6(om)-250(a
)-251(pile.)]TJ.
-0.0001 Tc 0.59 
-2.445 Td.[(\(a\
))-501(V)70(er)-
19(ify)-229(t)-8
(hat)-230(t)-8(h
is)-230(g)11(ame
)-231(is)]TJ./T1
_7 1 Tf.-0.0203 
Tc 11.101 0 Td.[
(ve)-20(r)-51(y)
]TJ./T1_4 1 Tf.-
0.0003 Tc 1.962 
0 Td.[(easy)-230
(t)1(o)-229(pla)
27(y)-231(if)-23
0(y)18(ou)-230(s
)8(t)-10(ar)-23(
t)-230(wit)-9(h)
-230(jus)8(t)-23
0(one)-230(pile,
)-231(f)31(or)-2
29(e)21(x)11(amp
le,)-232(of)-230
(17)-231(beans.)
]TJ.-0.0001 Tc -
13.119 -1.965 Td
.[(\(b\))-501(Li
k)13(e)19(wise,)
-251(if)-250(t)-
8(he)-250(g)11(a
me)-251(s)8(t)-1
0(ar)-23(ts)-251
(wit)-8(h)-249(t
w)26(o)-251(pile
s,)-250(t)-8(he)
-251(g)11(ame)-2
51(is)-250(q)13(
uite)-250(easy)-
251(t)2(o)-250(a
nal)20(yze.)-252
(Do)-250(it!)]TJ
.-0.0004 Tc 0.05
6 -1.965 Td.[(\(
c\))-501(But)-25
8(what)-259(if)-
257(w)18(e)-258(
s)7(t)-11(ar)-23
(t)-257(wit)-9(h
)-257(t)-9(hree)
-258(or)-258(mor
e)-257(piles?)-2
58(F)5(or)-258(e
)21(x)11(ample,)
-260(ho)22(w)-25
8(do)-258(w)18(e
)-258(pla)27(y)-
258(t)-9(he)-258
(g)11(ame)-258(i
)-1(f)-257(i)-1(
t)-258(s)7(t)-11
(ar)-23(t)-1(s)]
TJ.1.611 -1.2 Td
.[(wit)-9(h)-249
(t)-9(hree)-251(
piles)-250(of)-2
51(17,)-252(11,)
-251(and)-251(8)
-250(beans,)-253
(r)1(espectiv)25
(el)20(y?)-252(W
hat)-251(about)-
252(f)31(our)-25
1(piles?)-250(Mo
re.).TJ.ET.EMC..