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t)-9(his)-269(me
)9(t)-9(hod,)-27
1(w)18(e)-269(ca
n)-270(easil)20(
y)-269(compute)-
270(more)-269(g)
-10(reen)-270(po
ints.)-270(Here)
-269(is)-269(a)-
269(t)-10(able)]
TJ.-0.0002 Tc -9
.094 -1.2 Td.[(o
f)-246(t)-9(he)-
246(\223rs)8(t)-
244(v)20(alues,)
-247(where)]TJ./
T1_6 1 Tf.0 Tc 1
0.067 0 Td.(\013
)Tj./T1_4 1 Tf.-
0.0003 Tc 0.837 
0 Td.[(deno)8(te
s)-248(t)-9(he)-
246(di\002erence
)-247(of)-246(co
ordinates,)-247(
and)-247(w)18(e)
-246(jus)8(t)-24
6(c)16(hoose)-24
7(t)-9(he)-246(p
oints)-246(where
)]TJ./T1_6 1 Tf.
0 Tc -10.905 -1.
201 Td.(\020)Tj.
/T1_7 1 Tf.0.82 
0 Td.(\003)Tj./T
1_6 1 Tf.0.963 0
 Td.( )Tj./T1_4 
1 Tf.0.0004 Tc 0
.739 0 Td.[(\(so
)-248(if,)-249(s
a)28(y)54(,)]TJ.
/T1_5 1 Tf.4.335
 0 Td.(\(8)Tj./T
1_6 1 Tf.0 Tc 0.
833 0 Td.(,)Tj./
T1_5 1 Tf.-0.000
4 Tc 0.416 0 Td.
(13\))Tj./T1_4 1
 Tf.-0.0001 Tc 1
.584 0 Td.[(is)-
250(g)-10(r)1(ee
n,)-251(t)-8(hen
)-251(so)-250(is
)]TJ./T1_5 1 Tf.
0 Tc 7.682 0 Td.
(\(13)Tj./T1_6 1
 Tf.1.332 0 Td.(
,)Tj./T1_5 1 Tf.
-0.0004 Tc 0.416
 0 Td.(8\))Tj./T
1_4 1 Tf.0.0001 
Tc 0.833 0 Td.[(
,)-250(e)10(tc.\
).)]TJ.ET.223.47
9 650.109 308.36
7 0.405 re.f.223
.479 638.148 0.4
05 11.961 re.f.B
T./T1_6 1 Tf.0 T
c 9.9626 0 0 9.9
626 229.86 641.7
39 Tm.(\013)Tj.E
T.241.731 638.14
8 0.405 11.961 r
e.f.244.125 638.
148 0.405 11.961
 re.f.BT./T1_4 1
 Tf.1.2002 Tc 9.
9626 0 0 9.9626 
250.497 641.739 
Tm.[(0123)-499(4
)]TJ.1.6999 Tc 9
.501 0 Td.[(5678
9)500(1)1700(0)5
00(1)1700(1)500(
1)1700(2)499(1)1
700(3)]TJ.ET.531
.45 638.148 0.40
5 11.961 re.f.22
3.479 637.752 30
8.367 0.405 re.f
.223.479 625.8 0
.405 11.961 re.f
.BT./T1_6 1 Tf.0
 Tc 9.9626 0 0 9
.9626 230.355 62
9.3821 Tm.(\020)
Tj.ET.241.731 62
5.8 0.405 11.961
 re.f.244.125 62
5.8 0.405 11.961
 re.f.BT./T1_4 1
 Tf.1.2004 Tc 9.
9626 0 0 9.9626 
250.4971 629.382
1 Tm.[(0134)-499
(6)-500(8)-499(9
1)1201(11)1201(2
1)1201(41)1201(6
1)1201(71)1201(9
2)1201(1)]TJ.ET.
531.45 625.8 0.4
05 11.961 re.f.2
23.479 625.404 3
08.367 0.405 re.
f.223.479 613.44
3 0.405 11.961 r
e.f.BT./T1_6 1 T
f.0 Tc 9.9626 0 
0 9.9626 230.886
 617.0341 Tm.( )
Tj.ET.241.731 61
3.443 0.405 11.9
61 re.f.244.125 
613.443 0.405 11
.961 re.f.BT./T1
_4 1 Tf.1.2004 T
c 9.9626 0 0 9.9
626 250.4971 617
.0341 Tm.[(02571
)1201(01)1201(31
)1201(51)1201(82
)1201(02)1201(32
)1201(62)1201(83
)1201(13)1201(4)
]TJ.ET.531.45 61
3.443 0.405 11.9
61 re.f.223.479 
613.047 308.367 
0.405 re.f.BT./T
1_4 1 Tf.-0.0003
 Tc 9.9626 0 0 9
.9626 191.016 59
3.373 Tm.[(A)-25
7(cr)-25(ucial)-
257(q)13(ues)8(t
ion)-258(is)-256
(whe)9(t)-9(her)
-258(t)-9(here)-
257(is)-256(a)-2
56(closed-f)31(o
r)-20(m)-258(f)3
1(or)-20(mula)-2
56(f)31(or)-256(
t)-9(he)-257(g)-
10(reen)-257(coo
rdinates)-259(in
)-256(ter)-20(ms
)-257(of)]TJ./T1
_6 1 Tf.0 Tc -1.
5 -1.201 Td.(\01
3)Tj./T1_4 1 Tf.
-0.0003 Tc 0.592
 0 Td.[(.)-293(F
)6(ibonacci)-295
(numbers)-294(s)
-1(eem)-293(to)-
292(lur)7(k)-293
(in)-293(t)-9(hi
s)-291(t)-10(abl
e.)-294(Clear)7(
l)20(y)-293(some
)9(t)-9(hing)-29
3(interes)8(ting
)-292(is)-292(go
ing)-293(on)-293
(in)31(v)27(ol)2
0(ving)]TJ.-0.00
02 Tc -0.592 -1.
2 Td.[(t)-9(hem.
)-252(W)59(e)-24
9(continue)-252(
t)-9(he)-251(dis
cussion)-250(in)
-250(Pr)6(oblem)
-251(5.1.14)-251
(on)-251(pag)16(
e)-252(146.)]TJ.
ET.149.175 547.1
4 458.289 0.999 
re.f.BT./T1_2 1 
Tf.0.0001 Tc 10.
9091 0 0 10.9091
 149.175 530.211
1 Tm.[(Problems)
-276(and)-277(Ex
ercises)]TJ./T1_
8 1 Tf.-0.0001 T
c 8.9664 0 0 8.9
664 148.923 501.
096 Tm.(4.4.9)Tj
./T1_4 1 Tf.-0.0
003 Tc 2.556 0 T
d.[(\(Ba)27(y)-3
27(Area)-328(Mat
)-8(hematical)-3
30(Ol)21(ympiad)
-328(2002\))-329
(A)-328(g)11(ame
)-328(is)]TJ.-0.
0001 Tc -2.528 -
1.223 Td.[(pla)2
7(y)23(ed)-418(w
it)-8(h)-420(tw)
26(o)-418(pla)27
(y)23(ers)-419(a
nd)-418(an)-418(
initial)-419(s)8
(t)-10(ac)22(k)-
420(of)]TJ./T1_6
 1 Tf.0 Tc 20.06
8 0 Td.(\t)Tj./T
1_4 1 Tf.-0.0002
 Tc 0.915 0 Td.(
pennies)Tj.0 Tc 
-20.984 -1.223 T
d.(\()Tj./T1_6 1
 Tf.(\t)Tj./T1_7
 1 Tf.1.107 0 Td
.(\002)Tj./T1_5 
1 Tf.0.963 0 Td.
(3)Tj./T1_4 1 Tf
.[(\).)-364(The)
-364(pla)27(y)23
(ers)-365(t)-10(
ak)13(e)-365(tur
)-21(ns)-364(c)1
6(hoosing)-364(o
ne)-365(of)-364(
t)-8(he)-365(s)8
(t)-10(ac)22(k)-
5(s)]TJ.-2.07 -1
.222 Td.[(of)-49
8(pennies)-498(o
n)-499(t)-8(he)-
498(t)-10(able)-
497(and)-499(spl
itting)-498(it)-
498(into)-499(tw
)26(o)-499(s)8(t
)-10(ac)22(ks.)]
TJ.-0.0002 Tc 0 
-1.223 TD.[(When
)-483(a)-482(pla
)27(y)23(er)-483
(mak)13(es)-483(
a)-482(mo)22(v)2
4(e)-483(t)-8(ha
t)-482(causes)-4
83(all)-482(t)-8
(he)-483(s)7(t)-
10(ac)22(k)-5(s)
]TJ.-0.0003 Tc T
*.[(to)-554(be)-
555(of)-556(heig
ht)-555(1)-555(o
r)-555(2)-555(at
)-555(t)-8(he)-5
55(end)-555(of)-
555(his)-555(or)
-556(her)-556(tu
r)-22(n,)]TJ.-0.
0001 Tc 0 -1.222
 TD.[(t)-8(hat)-
416(pla)27(y)23(
er)-418(wins.)-4
16(Whic)16(h)-41
7(s)8(t)-10(ar)-
23(ting)-415(v)2
0(alues)-417(of)
]TJ./T1_6 1 Tf.0
 Tc 18.052 0 Td.
(\t)Tj./T1_4 1 T
f.-0.0004 Tc 0.9
12 0 Td.[(are)-4
17(wins)-417(f)3
2(or)]TJ.0 Tc -1
8.964 -1.223 Td.
[(eac)16(h)-251(
pla)27(y)23(er?)
]TJ./T1_8 1 Tf.-
0.0001 Tc 26.899
 8.556 Td.(4.4.1
0)Tj./T1_4 1 Tf.
3.056 0 Td.[(\(P
utnam)-469(1995\
))-469(A)-468(g)
11(ame)-468(s)8(
t)-10(ar)-23(ts)
-468(wit)-8(h)-4
69(f)32(our)-468
(heaps)-469(of)]
TJ.0 Tc -3.027 -
1.223 Td.[(beans
,)-229(cont)-10(
aining)-230(3,)-
229(4,)-229(5,)-
229(and)-230(6)-
229(beans.)-229(
The)-228(tw)26(o
)-230(pla)27(y)2
3(ers)-229(mo)22
(v)24(e)]TJ.-0.0
001 Tc 0 -1.223 
TD.[(alter)-21(n
atel)21(y)71(.)-
219(A)-217(mo)22
(v)24(e)-219(con
sis)8(ts)-217(of
)-217(t)-10(akin
g)]TJ./T1_9 1 Tf
.-0.0008 Tc 15.1
04 0 Td.(either)
Tj./T1_4 1 Tf.-0
.0001 Tc 2.57 0 
Td.[(one)-218(be
an)-218(fr)6(om)
-217(a)]TJ.-0.00
03 Tc -17.674 -1
.222 Td.[(heap,)
-216(pr)6(o)22(v
ided)-216(at)-21
6(leas)7(t)-216(
tw)26(o)-216(bea
ns)-217(are)-216
(lef)-11(t)-215(
behind)-216(in)-
216(t)-8(hat)-21
6(heap,)]TJ./T1_
9 1 Tf.-0.0001 T
c T*.(or)Tj./T1_
4 1 Tf.-0.0003 T
c 1.161 0 Td.[(a
)-251(comple)9(t
e)-251(heap)-251
(of)-250(tw)26(o
)-251(or)-250(t)
-8(hree)-250(bea
ns.)]TJ.-0.0001 
Tc 0.505 -1.44 T
d.[(The)-414(pla
)27(y)23(er)-417
(who)-414(t)-10(
ak)13(es)-416(t)
-8(he)-414(las)8
(t)-415(heap)-41
5(wins.)-416(T)3
2(o)-414(win)-41
4(t)-8(he)]TJ.-0
.0002 Tc -1.666 
-1.223 Td.[(g)11
(ame,)-277(do)-2
76(y)18(ou)-277(
w)28(ant)-277(to
)-276(mo)22(v)24
(e)-277(\223rs)7
(t)-275(or)-276(
second?)-278(Giv
)24(e)-277(a)-27
6(winning)]TJ.-0
.0004 Tc 0 -1.22
2 TD.[(s)7(trate
gy)71(.)]TJ.ET.E
MC..