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[(The)-201(po)22
(w)18(er)-20(ful
)-201(idea)-200(
of)-201(con)31(v
)25(er)-23(ting)
-202(a)-200(pr)6
(oblem)-202(fr)6
(om)-200(w)26(or
ds)-201(t)1(o)-1
99(pictures)-201
(is)-200(jus)8(t
)-199(one)-201(a
spect)-202(of)-2
00(t)-9(he)-200(
f)-1(undament)-1
0(al)]TJ.0 -1.20
1 TD.[(per)-20(i
pheral)-215(visi
on)-214(s)7(t)-1
(rategy)71(.)-21
4(Open)-215(y)18
(our)-215(mind)-
214(to)-212(o)8(
t)-9(her)-215(w)
28(a)27(y)13(s)-
214(of)-214(rein
ter)-26(pre)9(ti
ng)-214(pr)6(obl
ems.)-215(One)-2
14(e)21(x)11(amp
le)-214(t)-9(hat
)]TJ.-0.0005 Tc 
0 -1.2 TD.[(y)18
(ou)-272(ha)32(v
)24(e)-273(alrea
dy)-272(encounte
red)-274(w)28(as
)-272(Ex)11(ampl
e)-272(2.1.7)-27
2(on)-272(pag)15
(e)-273(18,)-272
(where)-272(what
)-272(appeared)-
274(to)-270(be)-
272(a)-271(s)-1(
eq)13(uence)]TJ.
-0.0003 Tc T*.[(
of)-211(numbers)
-213(w)28(as)-21
1(actuall)20(y)-
211(a)-211(s)-1(
eq)13(uence)-213
(of)]TJ./T1_5 1 
Tf.-0.0006 Tc 15
.352 0 Td.[(desc
r)-9(iptions)]TJ
./T1_4 1 Tf.-0.0
004 Tc 5.107 0 T
d.[(of)-211(numb
ers.)-212(Ano)8(
t)-9(her)-212(e)
21(x)11(ample)-2
12(w)28(as)-211(
t)-9(he)-211(l)-
1(oc)22(k)13(er)
-212(pr)6(ob-)]T
J.-20.459 -1.201
 Td.[(lem)-346(\
()-1(Ex)11(ample
)-346(2.2.3)-346
(on)-346(pag)16(
e)-348(26\))-346
(in)-346(whic)16
(h)-347(a)-345(c
ombinator)-20(ia
l)-347(q)13(ues)
8(tion)-347(me)9
(t)-10(amor)-26(
phosed)-348(into
)-345(a)-346(num
ber)]TJ.T*.[(t)-
9(heor)-21(y)-25
7(l)-1(emma.)-25
8(\215Combinator
)-20(ics)]TJ./T1
_6 1 Tf.-0.1663 
Tc 12.675 0 Td.(
\005\002)Tj./T1_
4 1 Tf.-0.0003 T
c 1.941 0 Td.[(N
)13(umber)-258(T
heor)-21(y\216)-
258(is)-256(one)
-257(of)-257(t)-
9(he)-256(mos)8(
t)-257(popular)-
258(and)-257(pr)
6(oductiv)25(e)-
259(s)-1(uc)16(h
)]TJ.-0.0002 Tc 
-14.617 -1.2 Td.
[(\215cr)6(osso)
22(v)25(ers,)34(
\216)-245(but)-2
45(t)-9(here)-24
5(are)-245(man)2
5(y)-245(o)8(t)-
9(her)-245(possi
bilities.)-244(S
ome)-245(of)-244
(t)-9(he)-245(mo
s)8(t)-245(spect
)-10(acular)-246
(adv)20(ances)-2
47(in)-245(mat)-
9(he-)]TJ.-0.000
3 Tc 0 -1.201 TD
.[(matics)-236(o
ccur)-238(when)-
237(someone)-237
(disco)22(v)25(e
rs)-237(a)-236(n
e)19(w)-237(r)1(
ef)31(or)-20(mul
ation.)-236(F)6(
or)-238(e)21(x)1
1(ample,)-237(De
scar)-23(tes)35(
\220)-237(idea)-
236(of)-237(reca
s)8(ting)]TJ.0 -
1.2 TD.[(g)16(eo
me)9(tr)-20(ic)-
280(q)13(ues)8(t
ions)-280(in)-27
8(a)-278(numer)-
20(ic/alg)16(ebr
aic)-281(f)31(or
)-20(m)-278(led)
-278(to)-278(t)-
9(he)-279(de)19(
v)25(elopment)-2
81(of)-279(anal)
20(ytic)-279(g)1
6(eome)9(tr)-21(
y)53(,)-281(whic
)16(h)]TJ.-0.000
2 Tc 0 -1.201 TD
.[(t)-9(hen)-251
(led)-250(t)1(o)
-250(calculus.)]
TJ.-0.0001 Tc 1.
5 -1.783 Td.[(Ou
r)-252(\223rs)8(
t)-249(e)21(x)11
(ample)-251(is)-
251(a)-250(class
ic)-250(pr)6(obl
em.)]TJ./T1_7 1 
Tf.-0.0002 Tc -1
.5 -2.668 Td.[(E
xam)16(ple)-252(
2.4.2)]TJ./T1_4 
1 Tf.6.512 0 Td.
[(R)14(emo)22(v)
25(e)-361(t)-9(h
e)-361(tw)26(o)-
360(diagonall)20
(y)-363(opposite
)-361(cor)-21(ne
r)-362(sq)13(uar
es)-361(of)-361(
a)-361(c)17(hess
board.)-363(Is)-
360(it)-360(poss
ible)]TJ.-0.0016
 Tc -6.512 -1.20
1 Td.(to)Tj./T1_
5 1 Tf.0.0002 Tc
 1.099 0 Td.(til
e)Tj./T1_4 1 Tf.
-0.0001 Tc 1.601
 0 Td.[(t)-8(his
)-324(shape)-324
(wit)-8(h)-323(t
)-8(hir)-23(ty)1
8(-one)]TJ./T1_8
 1 Tf.0.2223 Tc 
10.767 0 Td.(2\3
271)Tj./T1_4 1 T
f.-0.0003 Tc 2.4
08 0 Td.[(\215do
minos?\216)-327(
\(In)-322(o)8(t)
-9(her)-325(w)26
(ords,)-324(e)19
(v)25(er)-21(y)-
325(s)-1(q)13(ua
re)-323(is)-323(
co)22(v)25(ered)
-325(and)-325(no
)]TJ.-0.0002 Tc 
-15.874 -1.2 Td.
[(dominos)-252(o
)22(v)25(er)7(la
p.\))]TJ./T1_7 1
 Tf.1.5 -3.551 T
d.(Solution:)Tj.
/T1_4 1 Tf.4.201
 0 Td.[(A)13(t)-
310(\223rs)8(t,)
-309(t)-9(his)-3
10(seems)-311(li
k)13(e)-310(a)-3
10(g)16(eome)9(t
r)-19(ic/combina
tor)-19(ial)-315
(pr)6(oblem)-312
(wit)-9(h)-310(m
an)25(y)-311(cas
es)-312(and)-311
(sub-)]TJ.-0.000
3 Tc -5.7 -1.201
 Td.[(cases.)-27
9(But)-279(it)-2
78(is)-278(reall
)20(y)-278(jus)8
(t)-279(a)-278(q
)13(ues)8(tion)-
279(about)-280(c
ounting)-280(col
ors.)-279(The)-2
79(tw)26(o)-278(
cor)-21(ners)-28
0(t)-9(hat)-279(
w)18(ere)-278(re
mo)22(v)25(ed)-2
80(w)18(ere)]TJ.
0 -1.2 TD.[(bo)8
(t)-9(h)-198(\(w
it)-9(hout)-198(
loss)-197(of)-19
8(g)16(enerality
\))-198(white,)-
198(s)-1(o)-197(
t)-9(he)-198(sha
pe)-198(w)18(e)-
198(are)-198(int
eres)8(ted)-198(
in)-197(cont)-10
(ains)-199(32)-1
98(blac)22(k)-19
8(and)-199(30)-1
98(white)]TJ.-0.
0002 Tc T*.[(sq)
13(uares.)-282(Y
)66(e)9(t)-283(a
n)25(y)-284(domi
no,)-284(once)-2
84(it)-282(is)-2
81(placed,)-285(
will)-282(occup)
8(y)-285(e)21(x)
11(actl)20(y)-28
2(one)-283(blac)
22(k)-283(and)-2
83(one)-283(whit
e)-283(sq)13(uar
e.)-282(The)]TJ.
-0.0003 Tc 0 -1.
201 TD.[(31)-251
(dominos)-252(t)
-9(hus)-251(req)
13(uire)-250(31)
-250(blac)22(k)-
251(and)-252(31)
-250(white)-251(
sq)13(uares,)-25
0(s)-1(o)-250(ti
ling)-250(is)-25
0(impossible.)]T
J.ET.538.947 407
.469 4.986 4.491
 re.f.BT./T1_4 1
 Tf.-0.0002 Tc 9
.9626 0 0 9.9626
 155.682 374.754
1 Tm.[(The)-206(
idea)-206(of)-20
6(intr)6(oducing
)-207(color)-19(
ing)-206(t)1(o)-
204(r)1(ef)31(or
)-20(mulate)-205
(a)-205(pr)6(obl
em)-206(is)-205(
q)13(uite)-205(o
ld.)-205(N)12(e)
19(v)25(er)-23(t
)-9(heless,)-206
(it)-205(took)-2
06(se)19(v)25(er
al)]TJ.-0.0003 T
c -1.5 -1.2 Td.[
(y)23(ears)-256(
bef)31(ore)-255(
an)25(y)18(one)-
258(t)-9(hought)
-257(to)-255(use
)-255(t)-9(his)-
255(me)9(t)-9(ho
d)-257(on)-255(t
)-9(he)-255(Gall
er)-21(y)-256(Pr
)6(oblem)-257(\(
Pr)6(oblem)-256(
2.2.23)-256(on)-
255(pag)16(e)-25
7(35\).)]TJ.0 -1
.2 TD.[(This)-39
2(pr)6(oblem)-39
2(w)28(as)-392(\
223rs)8(t)-391(p
r)6(oposed)-393(
b)20(y)-391(V)20
(ictor)-392(Klee
)-391(in)-391(19
73,)-393(and)-39
2(sol)20(v)25(ed
)-392(shor)-23(t
l)20(y)-391(t)-9
(hereaf)-11(ter)
-392(b)20(y)-392
(V)80(\341cla)32
(v)]TJ.0 -1.201 
TD.[(Chv)20(\341
t)-10(al.)-262(H
o)22(w)18(e)19(v
)25(er)26(,)-262
(his)-260(pr)6(o
of)-261(w)28(as)
-261(r)1(at)-9(h
er)-261(complica
ted.)-262(In)-26
0(1978,)-262(S.)
-261(F)6(isk)-26
0(disco)22(v)25(
ered)-262(t)-9(h
e)-260(eleg)11(a
nt)-262(color)-2
0(ing)]TJ.0 -1.2
 TD.[(ar)16(gume
nt)-298(t)-9(hat
)-295(w)18(e)-29
5(present)-296(b
elo)22(w)68(.)]T
J.0 Tc 7.472 0 0
 7.472 271.107 3
30.42 Tm.(9)Tj.-
0.0003 Tc 9.9626
 0 0 9.9626 278.
28 326.9371 Tm.[
(If)-295(y)18(ou
)-295(ha)32(v)25
(en)40(\220)41(t
)-296(t)-9(hough
t)-297(about)-29
7(t)-9(his)-295(
pr)6(oblem)-296(
y)23(e)9(t,)-295
(please)-296(do)
-295(s)-1(o)-294
(bef)31(ore)]TJ.
-13.805 -1.201 T
d.[(reading)-251
(t)-9(he)-251(s)
-1(olution)-250(
belo)22(w)68(.)]
TJ./T1_7 1 Tf.-0
.0002 Tc 0 -3.60
8 TD.[(Exam)16(p
le)-252(2.4.3)]T
J./T1_5 1 Tf.6.5
12 0 Td.[(Soluti
on)-213(t)8(o)-2
12(t)3(he)-212(G
aller)-31(y)-212
(Pr)27(oblem:)]T
J./T1_4 1 Tf.0.0
003 Tc 13.218 0 
Td.[(If)-211(w)1
9(e)-212(le)10(t
)]TJ./T1_9 1 Tf.
0 Tc 3.442 0 Td.
(\021)Tj./T1_8 1
 Tf.0.532 0 Td.(
\()Tj./T1_9 1 Tf
.(\013)Tj./T1_8 
1 Tf.(\))Tj./T1_
4 1 Tf.-0.0003 T
c 1.375 0 Td.[(d
eno)8(te)-214(t)
-9(he)-212(minim
um)-213(number)-
215(of)-213(guar
ds)]TJ.-0.0007 T
c -25.08 -1.2 Td
.[(req)12(uired)
-259(f)31(or)-25
8(an)]TJ./T1_9 1
 Tf.0 Tc 6.166 0
 Td.(\013)Tj./T1
_4 1 Tf.[(-sided
)-258(g)11(aller
)-21(y)54(,)-259
(w)18(e)-258(g)1
6(e)10(t)]TJ./T1
_9 1 Tf.9.302 0 
Td.(\021)Tj./T1_
8 1 Tf.-0.0001 T
c 0.532 0 Td.[(\
(3\))-278(=)]TJ.
/T1_9 1 Tf.0 Tc 
2.407 0 Td.(\021
)Tj./T1_8 1 Tf.0
.532 0 Td.[(\(4\
))-278(=)]TJ./T1
_9 1 Tf.2.407 0 
Td.(\021)Tj./T1_
8 1 Tf.0.532 0 T
d.[(\(5\))-278(=
)-278(1)]TJ./T1_
4 1 Tf.-0.0004 T
c 3.165 0 Td.(an
d)Tj./T1_9 1 Tf.
0 Tc 1.702 0 Td.
(\021)Tj./T1_8 1
 Tf.0.532 0 Td.[
(\(6\))-278(=)-2
77(2)]TJ./T1_4 1
 Tf.-0.0002 Tc 3
.164 0 Td.[(b)20
(y)-259(easy)-25
8(e)21(xper)-19(
iment)-10(ation.
)]TJ.-0.0003 Tc 
-30.44 -1.201 Td
.[(T)24(r)-21(yi
ng)-268(as)-268(
hard)-267(as)-26
8(w)18(e)-267(ca
n)-268(to)-267(d
ra)34(w)-267(g)1
1(aller)-20(ies)
-268(wit)-9(h)-2
66(\215hidden\21
6)-270(r)6(ooms,
)-268(it)-267(se
ems)-268(impossi
ble)-267(t)1(o)-
266(g)16(e)9(t)-
269(a)-267(7-sid
ed)]TJ.0 -1.2 TD
.[(or)-311(8-sid
ed)-311(g)11(all
er)-21(y)-311(ne
eding)-312(more)
-311(t)-9(han)-3
11(tw)26(o)-311(
guards,)-312(y)2
3(e)9(t)-310(w)1
8(e)-311(can)-31
1(use)-311(t)-9(
he)-311(idea)-31
1(of)-311(t)-9(h
e)-311(6-sided,)
-311(tw)26(o-gua
rd)]TJ.T*.[(g)11
(aller)-21(y)-22
8(on)-228(pag)15
(e)-228(35)-228(
t)1(o)-227(creat
e)-228(a)-227(9-
sided)-228(g)11(
aller)-21(y)53(,
)-228(whic)16(h)
-228(seems)-228(
t)1(o)-227(need)
-229(t)-9(hree)-
227(guards.)-228
(Here)-228(are)-
228(e)21(x)11(am
ples)-229(of)]TJ
.-0.0002 Tc 0 -1
.201 TD.[(8-side
d)-251(and)-251(
9-sided)-250(g)1
1(aller)-19(ies,
)-251(wit)-9(h)-
250(do)8(ts)-251
(indicating)-252
(guards.)]TJ.ET.
140.742 186.627 
161.28 0.405 re.
f.BT./T1_4 1 Tf.
0 Tc 5.9776 0 0 
5.9776 155.187 1
80.0031 Tm.(9)Tj
.-0.0001 Tc 7.97
01 0 0 7.9701 15
8.679 177.2131 T
m.[(See)-251([17
])-250(f)31(or)-
250(a)-251(nice)
-249(discussion)
-252(of)-250(Chv
)20(\341t)-10(al
\220)48(s)-250(p
r)5(oof)-249(and
)-250([23])-251(
f)31(or)-249(an)
-251(e)22(xhaus)
8(tiv)23(e)-251(
treatment)-251(o
f)-250(t)-8(his)
-250(and)-250(re
lated)-252(pr)5(
oblems.)]TJ.ET.E
MC..