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32 32 32 20  54 64 0a 5b  28 69 73 29  2d 32 34 39 
28 61 29 2d  32 35 31 28  6d 75 6c 74  69 70 6c 65 
29 2d 32 35  30 28 6f 66  29 2d 32 35  30 28 31 30 
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)-249(8in)-250(x
)-250(10in)]TJ.0
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-)-250(10/06/201
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.f.359.802 36.07
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ter)-277(6)-1001
(Combinatorics)]
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(\b)Tj./T1_5 1 T
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/T1_5 1 Tf.(\n)T
j./T1_6 1 Tf.0.2
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j./T1_5 1 Tf.(\n
)Tj./T1_6 1 Tf.0
.2217 Tc (\)+)Tj
./T1_8 1 Tf.0 Tc
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(\n)Tj./T1_6 1 T
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/T1_6 1 Tf.5.977
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(\))Tj./T1_8 1 T
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)Tj./T1_5 1 Tf.(
\n)Tj./T1_6 1 Tf
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/T1_5 1 Tf.(\n)T
j./T1_6 1 Tf.(\)
)Tj./T1_8 1 Tf.(
\002)Tj./T1_5 1 
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j./T1_5 1 Tf.(\n
)Tj./T1_6 1 Tf.(
\))Tj./T1_8 1 Tf
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/T1_6 1 Tf.5.977
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j./T1_5 1 Tf.(\n
)Tj./T1_6 1 Tf.(
\))Tj.-12.819 -2
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(\()Tj./T1_5 1 T
f.(\n)Tj./T1_6 1
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()Tj./T1_5 1 Tf.
(\n)Tj./T1_6 1 T
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(\()Tj./T1_5 1 T
f.(\n)Tj./T1_6 1
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m.(\()Tj./T1_5 1
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T1_5 1 Tf.(\n)Tj
./T1_6 1 Tf.(\))
Tj./T1_8 1 Tf.(\
002)Tj./T1_5 1 T
f.7.472 0 0 7.47
2 403.056 535.54
8 Tm.(\004)Tj./T
1_6 1 Tf.5.9776 
0 0 5.9776 408.4
11 533.6851 Tm.(
4)Tj.9.9626 0 0 
9.9626 412.389 5
38.041 Tm.(\()Tj
./T1_5 1 Tf.(\n)
Tj./T1_6 1 Tf.0.
2217 Tc (\)+)Tj.
/T1_8 1 Tf.0 Tc 
2.346 0 Td.(\002
)Tj./T1_5 1 Tf.7
.472 0 0 7.472 4
40.739 535.548 T
m.(\004)Tj./T1_6
 1 Tf.5.9776 0 0
 5.9776 446.094 
533.6851 Tm.(2)T
j.9.9626 0 0 9.9
626 450.081 538.
041 Tm.(\()Tj./T
1_5 1 Tf.(\n)Tj.
/T1_6 1 Tf.(\))T
j./T1_8 1 Tf.(\0
02)Tj./T1_5 1 Tf
.7.472 0 0 7.472
 467.181 535.548
 Tm.(\004)Tj./T1
_6 1 Tf.5.9776 0
 0 5.9776 472.53
6 533.6851 Tm.(3
)Tj.9.9626 0 0 9
.9626 476.523 53
8.041 Tm.(\()Tj.
/T1_5 1 Tf.(\n)T
j./T1_6 1 Tf.(\)
)Tj./T1_8 1 Tf.(
\002)Tj./T1_5 1 
Tf.7.472 0 0 7.4
72 493.623 535.5
48 Tm.(\004)Tj./
T1_6 1 Tf.5.9776
 0 0 5.9776 498.
978 533.6851 Tm.
(4)Tj.9.9626 0 0
 9.9626 502.956 
538.041 Tm.(\()T
j./T1_5 1 Tf.(\n
)Tj./T1_6 1 Tf.(
\))Tj./T1_7 1 Tf
.1.217 1.109 Td.
(\023)Tj./T1_6 1
 Tf.-25.306 -4.1
09 Td.(+)Tj./T1_
7 1 Tf.1.03 0.91
1 Td.(\007)Tj./T
1_5 1 Tf.7.472 0
 0 7.472 271.998
 496.911 Tm.(\n)
Tj./T1_6 1 Tf.(\
b)Tj./T1_5 1 Tf.
(0)Tj./T1_7 1 Tf
.9.9626 0 0 9.96
26 288.972 519.2
04 Tm.(\022)Tj./
T1_8 1 Tf.0.589 
-1.109 Td.(\002)
Tj./T1_5 1 Tf.7.
472 0 0 7.472 29
9.817 505.6591 T
m.(\004)Tj./T1_6
 1 Tf.5.9776 0 0
 5.9776 305.172 
503.796 Tm.(1)Tj
.9.9626 0 0 9.96
26 309.168 508.1
52 Tm.(\()Tj./T1
_5 1 Tf.(\n)Tj./
T1_6 1 Tf.(\))Tj
./T1_8 1 Tf.(\00
2)Tj./T1_5 1 Tf.
7.472 0 0 7.472 
326.268 505.6591
 Tm.(\004)Tj./T1
_6 1 Tf.5.9776 0
 0 5.9776 331.62
3 503.796 Tm.(2)
Tj.9.9626 0 0 9.
9626 335.601 508
.152 Tm.(\()Tj./
T1_5 1 Tf.(\n)Tj
./T1_6 1 Tf.(\))
Tj./T1_8 1 Tf.(\
002)Tj./T1_5 1 T
f.7.472 0 0 7.47
2 352.701 505.65
91 Tm.(\004)Tj./
T1_6 1 Tf.5.9776
 0 0 5.9776 358.
056 503.796 Tm.(
3)Tj.9.9626 0 0 
9.9626 362.043 5
08.152 Tm.(\()Tj
./T1_5 1 Tf.(\n)
Tj./T1_6 1 Tf.(\
))Tj./T1_8 1 Tf.
(\002)Tj./T1_5 1
 Tf.7.472 0 0 7.
472 379.143 505.
6591 Tm.(\004)Tj
./T1_6 1 Tf.5.97
76 0 0 5.9776 38
4.498 503.796 Tm
.(4)Tj.9.9626 0 
0 9.9626 388.485
 508.152 Tm.(\()
Tj./T1_5 1 Tf.(\
n)Tj./T1_6 1 Tf.
(\))Tj./T1_7 1 T
f.1.217 1.109 Td
.(\023)Tj./T1_5 
1 Tf.0.607 -1.10
9 Td.(.)Tj./T1_4
 1 Tf.-0.0001 Tc
 -23.145 -2.926 
Td.[(If)-250(w)1
8(e)-251(appl)20
(y)-251(eq)13(ua
tions)-252(\(6.3
.6\),)-251(\(6.3
.7\),)-251(and)-
251(\(6.3.8\),)-
250(w)18(e)-251(
see)-250(t)-8(ha
t)-251(t)-8(his)
-250(ugl)20(y)-2
51(sum)-250(is)-
250(e)21(x)11(ac
tl)20(y)-251(t)-
8(he)-250(same)-
251(as)]TJ./T1_5
 1 Tf.0 Tc 14.09
8 -2.201 Td.(-)T
j./T1_6 1 Tf.7.4
72 0 0 7.472 324
.999 454.593 Tm.
(0)Tj.9.9626 0 0
 9.9626 331.992 
457.077 Tm.(=)Tj
./T1_5 1 Tf.0.96
3 0 Td.(-)Tj./T1
_6 1 Tf.1.164 0 
Td.(\212)Tj./T1_
5 1 Tf.0.907 0 T
d.(\026)Tj./T1_6
 1 Tf.7.472 0 0 
7.472 368.694 45
4.593 Tm.(1)Tj.9
.9626 0 0 9.9626
 375.138 457.077
 Tm.(+)Tj./T1_5 
1 Tf.0.907 0 Td.
(\026)Tj./T1_6 1
 Tf.7.472 0 0 7.
472 390.654 454.
593 Tm.(2)Tj.9.9
626 0 0 9.9626 3
97.098 457.077 T
m.(\212)Tj./T1_5
 1 Tf.0.908 0 Td
.(\026)Tj./T1_6 
1 Tf.7.472 0 0 7
.472 412.623 454
.593 Tm.(3)Tj.9.
9626 0 0 9.9626 
419.067 457.077 
Tm.(+)Tj./T1_5 1
 Tf.0.907 0 Td.(
\026)Tj./T1_6 1 
Tf.7.472 0 0 7.4
72 434.583 454.5
93 Tm.(4)Tj./T1_
4 1 Tf.-0.0003 T
c 9.9626 0 0 9.9
626 176.067 435.
162 Tm.[(using)-
616(t)-9(he)-616
(no)8(t)-10(atio
n)-617(of)-616(\
215complement)-6
18(PIE\216)-615(
on)-616(p.)-616(
212.)-617(In)-61
5(o)8(t)-9(her)-
617(w)26(ords,)-
616(w)18(e)-616(
jus)8(t)-616(dem
ons)8(trated)]TJ
.0 -1.2 TD.[(t)-
9(he)-318(tr)-25
(ut)-9(h)-317(of
)-319(PIE)-317(f
)31(or)-318(f)31
(our)-318(se)9(t
s.)-318(The)-318
(ar)16(gument)-3
20(cer)-23(t)-10
(ainl)20(y)-319(
g)16(eneralizes,
)-320(f)31(or)-3
18(it)-318(uses)
-318(onl)20(y)-3
19(t)-9(he)-318(
alg)16(ebraic)-3
19(f)26(act)]TJ.
0 -1.201 TD.[(t)
-9(hat)-403(t)-9
(he)-403(e)21(xp
ansion)-405(of)]
TJ./T1_6 1 Tf.0.
0004 Tc 9.215 0 
Td.[(\(1)-221(\2
12)]TJ./T1_5 1 T
f.0 Tc 1.963 0 T
d.(\002)Tj./T1_6
 1 Tf.0.0004 Tc 
[(\)\(1)-220(\21
2)]TJ./T1_5 1 Tf
.0 Tc 2.797 0 Td
.(\003)Tj./T1_6 
1 Tf.0.0004 Tc [
(\)\(1)-221(\212
)]TJ./T1_5 1 Tf.
0 Tc 2.765 0 Td.
(\031)Tj./T1_6 1
 Tf.0.1666 Tc 0.
464 0 Td.[(\)\26
7)-57(\267)-56(\
267)]TJ./T1_4 1 
Tf.-0.0003 Tc 2.
265 0 Td.[(is)-4
03(eq)13(ual)-40
4(to)-402(t)-9(h
e)-403(alter)-21
(nating)-405(s)-
1(um)]TJ./T1_6 1
 Tf.0.2219 Tc 13
.207 0 Td.(1\212
\()Tj./T1_5 1 Tf
.0 Tc 1.962 0 Td
.(\002)Tj./T1_6 
1 Tf.0.725 0 Td.
(+)Tj./T1_5 1 Tf
.0.907 0 Td.(\00
3)Tj./T1_6 1 Tf.
0.2225 Tc 0.692 
0 Td.[(+\267\267
\267)56(\)\212)]
TJ.0 Tc -36.962 
-1.2 Td.(\()Tj./
T1_5 1 Tf.0.0003
 Tc (\002\003)Tj
./T1_6 1 Tf.0 Tc
 1.528 0 Td.(+)T
j./T1_5 1 Tf.0.0
003 Tc 0.907 0 T
d.(\002\031)Tj./
T1_6 1 Tf.0.2222
 Tc 1.19 0 Td.[(
+\267\267\267)56
(\)+\267\267\267
)]TJ./T1_4 1 Tf.
0 Tc 5.091 0 Td.
(.)Tj.ET.574.272
 399.297 4.986 4
.491 re.f.BT./T1
_4 1 Tf.-0.0002 
Tc 9.9626 0 0 9.
9626 191.016 375
.384 Tm.[(W)59(e
)-250(will)-250(
mak)13(e)-251(us
e)-250(of)-251(t
)-9(his)-250(in)
-250(t)-9(he)-25
0(ne)21(xt)-252(
c)17(hapter)-253
(\(see)-250(pp.)
-251(238\205240\
).)]TJ.ET.149.17
5 363.432 458.28
9 0.999 re.f.BT.
/T1_2 1 Tf.0.000
1 Tc 10.9091 0 0
 10.9091 149.175
 343.9021 Tm.[(P
roblems)-276(and
)-277(Exercises)
]TJ./T1_9 1 Tf.-
0.0001 Tc 8.9664
 0 0 8.9664 148.
923 314.787 Tm.(
6.3.7)Tj./T1_4 1
 Tf.2.556 0 Td.[
(In)-551(Ex)11(a
mple)-553(6.3.2)
-552(on)-552(pag
)15(e)-553(208,)
-552(w)18(e)-552
(assumed)-552(t)
-8(hat)]TJ.-0.00
03 Tc -2.528 -1.
222 Td.[(t)-8(he
)-401(c)16(hildr
en)-404(are)-402
(dis)7(tinguisha
ble.)-403(B)-1(u
t)-402(if)-402(w
)18(e)-402(are)-
402(jus)7(t)-402
(count-)]TJ.-0.0
005 Tc 0 -1.223 
TD.[(ing)-360(ic
e)-360(cream)-36
2(orders,)-360(t
)-9(hen)-361(t)-
9(he)-360(c)16(h
ildren)-361(are)
-360(no)8(t.)-36
1(For)-360(e)21(
x)11(am-)]TJ.-0.
0002 Tc T*.[(ple
,)-659(one)-659(
order)-659(could
)-659(be)-659(\2
15)-13(Three)-65
9(cones)-659(of)
-659(\224a)32(v)
27(or)-660(#16,)
]TJ.-0.0003 Tc 0
 -1.222 TD.[(se)
19(v)24(en)-411(
of)-411(\224a)32
(v)27(or)-411(#2
8.)37(\216)-412(
Ho)22(w)-412(man
)24(y)-411(suc)1
6(h)-411(orders)
-411(are)-410(t)
-8(here)-410(in)
]TJ.-0.0001 Tc 0
 -1.223 TD.[(t)-
8(his)-249(case?
)]TJ./T1_9 1 Tf.
-0.028 -2.007 Td
.(6.3.8)Tj./T1_4
 1 Tf.-0.0002 Tc
 2.556 0 Td.[(Wh
at)-629(is)-627(
wr)6(ong)-628(wi
t)-8(h)-627(t)-8
(he)-627(f)32(ol
lo)22(wing)-628(
\215solution\216
)-627(to)]TJ.-0.
0003 Tc -2.528 -
1.223 Td.[(Ex)11
(ample)-250(6.3.
6?)]TJ.0 Tc 3.94
4 -2.337 Td.[(Th
e)-477(\223rs)8(
t)-477(person)-4
78(can)-479(of)-
477(course)-477(
be)-478(c)16(hos
en)]TJ.-0.0003 T
c -1.5 -1.223 Td
.[(freel)21(y)53
(,)-308(so)-307(
t)-8(here)-308(a
re)-308(eight)-3
08(c)16(hoices.)
-308(T)-1(he)-30
8(ne)21(xt)-308(
per)29(-)]TJ.-0.
0001 Tc T*.[(son
)-353(mus)8(t)-3
53(no)8(t)-354(b
e)-354(t)-8(hat)
-354(person)40(\
220)49(s)-354(pa
r)-23(tner)26(,)
-354(so)-353(t)-
8(here)]TJ.-0.00
03 Tc 0 -1.222 T
D.[(are)-251(s)-
1(ix)-251(a)32(v
)20(ailable.)-25
3(The)-251(t)-8(
hird)-251(person
)-251(canno)8(t)
-252(be)-252(t)-
8(he)]TJ.-0.0002
 Tc 26.928 15.36
 Td.[(second)-16
8(person)40(\220
)49(s)-168(par)-
23(tner)26(,)-16
8(so)-167(t)-8(h
ere)-167(are)-16
7(\223v)24(e)-16
8(c)16(hoices.)]
TJ.-0.0001 Tc 0 
-1.223 TD.[(Thus
)-250(t)-8(he)-2
50(pr)6(oduct)-2
51(is)]TJ./T1_6 
1 Tf.0 Tc 4.893 
-2.129 Td.(8)Tj.
/T1_10 1 Tf.0.72
3 0 Td.(\002)Tj.
/T1_6 1 Tf.0.508
 0 Td.(6)Tj./T1_
10 1 Tf.0.723 0 
Td.(\002)Tj./T1_
6 1 Tf.0.508 0 T
d.(5)Tj./T1_10 1
 Tf.0.722 0 Td.(
\002)Tj./T1_6 1 
Tf.0.509 0 Td.(4
)Tj./T1_10 1 Tf.
0.722 0 Td.(\002
)Tj./T1_6 1 Tf.0
.509 0 Td.(3)Tj.
/T1_10 1 Tf.0.72
2 0 Td.(\002)Tj.
/T1_6 1 Tf.0.508
 0 Td.(2)Tj./T1_
10 1 Tf.0.723 0 
Td.(\002)Tj./T1_
6 1 Tf.0.508 0 T
d.(1)Tj./T1_10 1
 Tf.0.723 0 Td.(
\002)Tj./T1_6 1 
Tf.0.508 0 Td.(1
)Tj./T1_5 1 Tf.(
,)Tj./T1_4 1 Tf.
-0.0001 Tc -13.5
07 -2.128 Td.[(s
ince)-524(t)-8(h
e)-524(las)8(t)-
524(tw)26(o)-524
(s)-1(lo)8(ts)-5
23(ha)32(v)24(e)
-524(no)-524(fre
edom)-525(of)]TJ
.-0.0002 Tc T*.[
(c)16(hoice.)]TJ
./T1_9 1 Tf.-0.0
001 Tc -2.472 -1
.885 Td.(6.3.9)T
j./T1_4 1 Tf.-0.
0002 Tc 2.556 0 
Td.[(Ho)22(w)-21
2(man)24(y)-211(
integ)15(ers)-21
1(be)9(tw)18(een
)-213(1)-211(and
)-211(1000,)-212
(inclusiv)24(e,)
-211(are)]TJ.-0.
0001 Tc -2.528 -
1.223 Td.[(divis
ible)-250(b)20(y
)-250(neit)-8(he
r)-251(2,)-250(3
,)-250(or)-250(5
?)]TJ./T1_9 1 Tf
.-0.028 -1.884 T
d.(6.3.10)Tj./T1
_4 1 Tf.-0.0003 
Tc 3.056 0 Td.[(
\(US)30(AMO)-229
(72\))-228(A)-22
8(r)2(andom)-228
(number)-229(g)1
5(enerator)-229(
randoml)21(y)]TJ
.-0.0002 Tc -3.0
27 -1.223 Td.[(g
)15(enerates)-23
8(t)-8(he)-236(i
nteg)15(ers)]TJ.
/T1_6 1 Tf.0 Tc 
8.848 0 Td.(1)Tj
./T1_5 1 Tf.(,)T
j./T1_6 1 Tf.0.9
16 0 Td.(2)Tj./T
1_5 1 Tf.(,)Tj./
T1_6 1 Tf.0.916 
0 Td.(\203)Tj./T
1_5 1 Tf.1.167 0
 Td.(,)Tj./T1_6 
1 Tf.0.417 0 Td.
(9)Tj./T1_4 1 Tf
.-0.0001 Tc 0.73
6 0 Td.[(wit)-8(
h)-236(eq)13(ual
)-237(pr)6(obabi
lity)71(.)-238(F
)5(ind)]TJ.-13.0
01 -1.223 Td.[(t
)-8(he)-168(pr)6
(obability)-170(
t)-8(hat)-169(af
)-10(ter)]TJ./T1
_5 1 Tf.0 Tc 9.6
37 0 Td.(\006)Tj
./T1_4 1 Tf.-0.0
003 Tc 0.665 0 T
d.[(numbers)-169
(are)-169(g)15(e
nerated,)-171(t)
-8(he)-169(pr)6(
oduct)]TJ.-0.000
1 Tc -10.303 -1.
222 Td.[(is)-249
(a)-251(multiple
)-250(of)-250(10
.).TJ.ET.EMC..