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s)-1(eq)13(uence
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s,)-236(hoping)-
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ha)32(v)25(e)-23
5(\()-1(aren)40(
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lad)-234(y)18(ou
)-235(s)8(tudied
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.[(f)26(actor)-2
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50(Section)-251(
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2.647 575.301 Tm
.(+)Tj./T1_6 1 T
f.1.232 0.58 Td.
(\031)Tj.ET.362.
889 577.461 9.69
3 0.666 re.f.BT.
/T1_6 1 Tf.9.962
6 0 0 9.9626 362
.889 568.326 Tm.
(\007)Tj.7.472 0
 0 7.472 368.37 
565.842 Tm.(\017
)Tj./T1_5 1 Tf.9
.9626 0 0 9.9626
 373.77 589.386 
Tm.(\003)Tj./T1_
7 1 Tf.0.972 -1.
414 Td.(\212)Tj.
/T1_5 1 Tf.0.908
 0.888 Td.(\005)
Tj.ET.401.742 58
4.148 5.625 0.66
6 re.f.BT./T1_6 
1 Tf.9.9626 0 0 
9.9626 401.7421 
575.301 Tm.(\031
)Tj./T1_7 1 Tf.-
9.464 -3.09 Td.(
=)Tj./T1_6 1 Tf.
1.805 0.838 Td.(
\007)Tj./T1_7 1 
Tf.7.472 0 0 7.4
72 330.921 556.3
561 Tm.(2)Tj./T1
_6 1 Tf.0 -0.933
 TD.(\017)Tj./T1
_7 1 Tf.9.9626 0
 0 9.9626 337.36
5 552.864 Tm.(+)
Tj./T1_6 1 Tf.0.
907 0 Td.(\031)T
j./T1_7 1 Tf.0.2
229 Tc 0.786 0 T
d.(\2122)Tj./T1_
6 1 Tf.0 Tc 1.40
7 0 Td.(\007)Tj.
7.472 0 0 7.472 
373.734 550.3801
 Tm.(\017)Tj./T1
_5 1 Tf.9.9626 0
 0 9.9626 377.94
6 561.234 Tm.(\0
05)Tj.ET.387.189
 561.234 5.625 0
.666 re.f.BT./T1
_6 1 Tf.9.9626 0
 0 9.9626 387.18
91 552.864 Tm.(\
031)Tj.ET.325.44
 546.672 67.374 
0.666 re.f.BT./T
1_7 1 Tf.9.9626 
0 0 9.9626 351.7
83 537.537 Tm.(2
)Tj./T1_6 1 Tf.(
\007)Tj.7.472 0 
0 7.472 362.241 
535.0441 Tm.(\01
7)Tj./T1_7 1 Tf.
9.9626 0 0 9.962
6 307.458 514.26
31 Tm.(=)Tj.1.80
5 0.806 Td.(\()T
j./T1_6 1 Tf.(\0
07)Tj.7.472 0 0 
7.472 334.242 51
9.8071 Tm.(\017)
Tj./T1_7 1 Tf.9.
9626 0 0 9.9626 
340.659 522.291 
Tm.(\212)Tj./T1_
5 1 Tf.0.907 0.8
4 Td.(\005)Tj.ET
.358.947 530.661
 5.625 0.666 re.
f.BT./T1_6 1 Tf.
9.9626 0 0 9.962
6 358.947 522.29
1 Tm.(\031)Tj./T
1_7 1 Tf.0.564 0
 Td.(\))Tj.7.472
 0 0 7.472 367.8
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2)Tj.ET.325.44 5
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666 re.f.BT./T1_
7 1 Tf.9.9626 0 
0 9.9626 341.442
 507.2881 Tm.(2)
Tj./T1_6 1 Tf.(\
007)Tj.7.472 0 0
 7.472 351.9 504
.804 Tm.(\017)Tj
./T1_7 1 Tf.9.96
26 0 0 9.9626 30
7.458 484.707 Tm
.(=)Tj./T1_6 1 T
f.1.941 0.839 Td
.(\016)Tj./T1_7 
1 Tf.7.472 0 0 7
.472 334.503 496
.551 Tm.(2)Tj./T
1_6 1 Tf.-0.08 -
0.932 Td.(\017)T
j.ET.325.44 486.
876 14.679 0.666
 re.f.BT./T1_7 1
 Tf.9.9626 0 0 9
.9626 325.44 477
.741 Tm.(2)Tj./T
1_6 1 Tf.(\007)T
j.7.472 0 0 7.47
2 335.898 475.24
8 Tm.(\017)Tj.9.
9626 0 0 9.9626 
341.307 484.707 
Tm.(.)Tj./T1_4 1
 Tf.-0.0004 Tc -
20.132 -2.689 Td
.(Thus)Tj./T1_6 
1 Tf.0 Tc 12.617
 -1.107 Td.(\016
)Tj.7.472 0 0 7.
472 273.546 444.
3961 Tm.(\017)Tj
./T1_7 1 Tf.0.00
04 Tc (+1)Tj.ET.
266.436 441.426 
20.187 0.666 re.
f.BT./T1_6 1 Tf.
0 Tc 9.9626 0 0 
9.9626 270.864 4
32.2911 Tm.(\016
)Tj.7.472 0 0 7.
472 277.974 429.
807 Tm.(\017)Tj.
/T1_7 1 Tf.9.962
6 0 0 9.9626 290
.574 439.2661 Tm
.(=)Tj./T1_6 1 T
f.1.251 0.739 Td
.(\016)Tj.7.472 
0 0 7.472 310.14
9 444.1351 Tm.(\
017)Tj.ET.301.36
5 441.426 14.679
 0.666 re.f.BT./
T1_7 1 Tf.9.9626
 0 0 9.9626 301.
365 432.2911 Tm.
(2)Tj./T1_6 1 Tf
.(\007)Tj.7.472 
0 0 7.472 311.82
3 429.807 Tm.(\0
17)Tj./T1_7 1 Tf
.9.9626 0 0 9.96
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661 Tm.(=)Tj./T1
_6 1 Tf.1.083 0.
806 Td.(\007)Tj.
7.472 0 0 7.472 
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 Tm.(\017)Tj./T1
_7 1 Tf.9.9626 0
 0 9.9626 342.69
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212)Tj./T1_5 1 T
f.0.907 0.84 Td.
(\005)Tj.ET.360.
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5 0.666 re.f.BT.
/T1_6 1 Tf.9.962
6 0 0 9.9626 360
.9721 447.2941 T
m.(\031)Tj.ET.33
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.811 0.666 re.f.
BT./T1_7 1 Tf.9.
9626 0 0 9.9626 
341.352 432.2911
 Tm.(2)Tj./T1_6 
1 Tf.(\007)Tj.7.
472 0 0 7.472 35
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(\017)Tj.9.9626 
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<)Tj.1.332 0.739
 Td.(\007)Tj.7.4
72 0 0 7.472 389
.313 444.1351 Tm
.(\017)Tj.ET.381
.348 441.426 14.
679 0.666 re.f.B
T./T1_7 1 Tf.9.9
626 0 0 9.9626 3
81.348 432.2911 
Tm.(2)Tj./T1_6 1
 Tf.(\007)Tj.7.4
72 0 0 7.472 391
.806 429.807 Tm.
(\017)Tj./T1_7 1
 Tf.9.9626 0 0 9
.9626 399.978 43
9.2661 Tm.(=)Tj.
1.083 0.58 Td.(1
)Tj.ET.410.769 4
41.426 4.986 0.6
66 re.f.BT./T1_7
 1 Tf.9.9626 0 0
 9.9626 410.769 
432.2911 Tm.(2)T
j./T1_6 1 Tf.0.6
2 0.7 Td.(.)Tj./
T1_4 1 Tf.-0.000
2 Tc -27.724 -2.
336 Td.[(Since)-
233(t)-9(his)-23
1(ratio)-231(is)
-232(also)-231(p
ositiv)25(e,)-23
3(w)18(e)-232(ar
e)-231(guarantee
d)-235(t)-9(hat)
]TJ./T1_7 1 Tf.0
.0002 Tc 21.751 
0 Td.(lim)Tj./T1
_6 1 Tf.0 Tc 7.4
72 0 0 7.472 370
.728 413.5081 Tm
.(\017)Tj./T1_8 
1 Tf.(\002)Tj./T
1_7 1 Tf.(\006)T
j./T1_6 1 Tf.9.9
626 0 0 9.9626 3
90.438 415.992 T
m.(\016)Tj.7.472
 0 0 7.472 397.5
48 413.5081 Tm.(
\017)Tj./T1_7 1 
Tf.0.2771 Tc 9.9
626 0 0 9.9626 4
04.532 415.992 T
m.(=0)Tj./T1_4 1
 Tf.-0.0002 Tc 1
.462 0 Td.[(,)-2
33(using)-231(t)
-9(he)-232(s)-1(
q)13(ueeze)-233(
pr)-19(inciple)-
233(on)]TJ.-0.00
04 Tc -27.94 -1.
2 Td.[(pag)15(e)
-252(319.)]TJ.1.
5 -1.229 Td.[(W)
59(e)-250(are)-2
50(done;)-253(w)
18(e)-250(ha)32(
v)24(e)-252(sho)
22(wn)-251(t)-9(
hat)]TJ./T1_6 1 
Tf.0 Tc 13.597 0
 Td.(\007)Tj.7.4
72 0 0 7.472 296
.622 389.3161 Tm
.(\017)Tj./T1_8 
1 Tf.9.9626 0 0 
9.9626 303.597 3
91.8 Tm.(\002)Tj
./T1_5 1 Tf.1.20
3 0.84 Td.(\005)
Tj.ET.324.837 40
0.17 5.625 0.666
 re.f.BT./T1_6 1
 Tf.9.9626 0 0 9
.9626 324.837 39
1.8 Tm.(\031)Tj.
/T1_4 1 Tf.0.564
 0 Td.(.)Tj.ET.5
38.947 391.8 4.9
86 4.491 re.f.BT
./T1_4 1 Tf.-0.0
003 Tc 9.9626 0 
0 9.9626 155.682
 361.893 Tm.[(Th
e)-208(tr)-20(ic
)22(kies)8(t)-20
6(par)-23(t)-207
(in)-207(t)-9(he
)-206(e)21(x)11(
ample)-208(abo)2
2(v)25(e)-208(w)
28(as)-207(guess
ing)-208(t)-9(ha
t)-206(t)-9(he)-
207(limit)-206(w
)28(as)]TJ./T1_5
 1 Tf.0 Tc 27.91
1 0.84 Td.(\005)
Tj.ET.442.998 37
0.263 5.625 0.66
6 re.f.BT./T1_6 
1 Tf.9.9626 0 0 
9.9626 442.998 3
61.893 Tm.(\031)
Tj./T1_4 1 Tf.-0
.0003 Tc 0.564 0
 Td.[(.)-206(Wha
t)-207(if)-207(w
)18(e)-207(hadn)
40(\220)41(t)-20
7(been)]TJ.-30.9
03 -1.201 Td.[(l
uc)22(ky)-203(en
ough)-204(to)-20
1(ha)32(v)24(e)-
203(a)-202(nice)
-202(picture?)-2
03(There)-202(i)
-1(s)-202(a)-202
(simple)-201(but
)-203(v)24(er)-2
1(y)-203(pr)6(od
uctiv)24(e)-204(
t)1(ool)-203(t)-
9(hat)-202(of)-1
1(ten)-203(w)26(
or)7(k)-5(s)-202
(when)-203(a)]TJ
.0 -1.2 TD.[(seq
)13(uence)-206(i
s)-204(de\223ned
)-206(recursiv)2
5(el)20(y)72(.)-
206(Le)9(t)-205(
us)-204(appl)20(
y)-205(it)-204(t
)1(o)-204(t)-9(h
e)-204(pre)19(vi
ous)-206(e)21(x)
11(ample.)-206(I
f)]TJ./T1_6 1 Tf
.0 Tc 29.157 0 T
d.(\007)Tj.7.472
 0 0 7.472 436.6
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\017)Tj./T1_8 1 
Tf.9.9626 0 0 9.
9626 443.682 337
.98 Tm.(\002)Tj.
/T1_6 1 Tf.1.203
 0 Td.(\020)Tj./
T1_4 1 Tf.-0.000
2 Tc [(,)-204(t)
-9(hen)-205(f)31
(or)-204(r)1(eal
l)20(y)-203(lar)
16(g)16(e)]TJ./T
1_6 1 Tf.0 Tc -3
1.611 -1.2 Td.(\
017)Tj./T1_4 1 T
f.0.3074 Tc [(,b
)308(o)316(t)299
(h)]TJ./T1_6 1 T
f.0 Tc 3.14 0 Td
.(\007)Tj.7.472 
0 0 7.472 177.50
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.-0.0004 Tc 9.96
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.(and)Tj./T1_6 1
 Tf.0 Tc 1.752 0
 Td.(\007)Tj.7.4
72 0 0 7.472 207
.711 323.535 Tm.
(\017)Tj./T1_7 1
 Tf.0.0004 Tc (+
1)Tj./T1_4 1 Tf.
-0.0004 Tc 9.962
6 0 0 9.9626 223
.848 326.028 Tm.
[(appr)6(oac)16(
h)]TJ./T1_6 1 Tf
.0 Tc 3.951 0 Td
.(\020)Tj./T1_4 
1 Tf.-0.0001 Tc 
[(.)-307(Thus,)-
308(as)]TJ./T1_6
 1 Tf.0 Tc 4.964
 0 Td.(\017)Tj./
T1_4 1 Tf.-0.000
2 Tc 0.804 0 Td.
[(appr)6(oac)17(
hes)-312(in\223n
ity)54(,)-308(t)
-9(he)-308(eq)13
(uation)]TJ./T1_
6 1 Tf.0 Tc 13.4
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.7.472 0 0 7.472
 460.215 323.535
 Tm.(\017)Tj./T1
_7 1 Tf.0.0004 T
c (+1)Tj.0.278 T
c 9.9626 0 0 9.9
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028 Tm.(=\()Tj./
T1_6 1 Tf.0 Tc 1
.296 0 Td.(\007)
Tj.7.472 0 0 7.4
72 494.442 323.5
35 Tm.(\017)Tj./
T1_7 1 Tf.9.9626
 0 0 9.9626 500.
8589 326.028 Tm.
(+)Tj./T1_6 1 Tf
.0.908 0 Td.(\03
1)Tj./T1_7 1 Tf.
0.564 0 Td.(\007
)Tj./T1_6 1 Tf.(
\007)Tj.7.472 0 
0 7.472 526.212 
323.535 Tm.(\017
)Tj./T1_7 1 Tf.0
.0003 Tc 9.9626 
0 0 9.9626 530.4
24 326.028 Tm.(\
)\0072)Tj./T1_4 
1 Tf.-0.0004 Tc 
-39.114 -1.201 T
d.(becomes)Tj./T
1_6 1 Tf.0 Tc 16
.608 -1.367 Td.(
\020)Tj./T1_7 1 
Tf.0.986 0 Td.(=
)Tj.1.083 0.58 T
d.(1)Tj.ET.326.8
08 302.619 4.986
 0.666 re.f.BT./
T1_7 1 Tf.9.9626
 0 0 9.9626 326.
808 293.484 Tm.(
2)Tj./T1_5 1 Tf.
0.787 1.809 Td.(
\006)Tj./T1_6 1 
Tf.0.589 -1.109 
Td.(\020)Tj./T1_
7 1 Tf.0.93 0 Td
.(+)Tj./T1_6 1 T
f.1.098 0.58 Td.
(\031)Tj.ET.360.
018 302.619 7.05
6 0.666 re.f.BT.
/T1_6 1 Tf.9.962
6 0 0 9.9626 360
.018 293.484 Tm.
(\020)Tj./T1_5 1
 Tf.0.827 1.809 
Td.(\007)Tj./T1_
6 1 Tf.0.775 -1.
109 Td.(,)Tj./T1
_4 1 Tf.-0.0002 
Tc -23.612 -2.35
7 Td.[(and)-208(
a)-207(tin)25(y)
-207(bit)-207(of
)-207(alg)16(ebr
a)-209(yields)]T
J./T1_6 1 Tf.0 T
c 12.073 0 Td.(\
020)Tj./T1_7 1 T
f.0.986 0 Td.(=)
Tj./T1_5 1 Tf.0.
963 0.84 Td.(\00
5)Tj.ET.289.674 
285.339 5.625 0.
666 re.f.BT./T1_
6 1 Tf.9.9626 0 
0 9.9626 289.674
1 276.9691 Tm.(\
031)Tj./T1_4 1 T
f.0.2071 Tc 0.56
5 0 Td.[(.T)207(
h)208(i)207(s)]T
J./T1_9 1 Tf.-0.
0004 Tc [(sol)10
(v)20(e)-207(f)1
3(or)-208(the)-2
07(limit)]TJ./T1
_4 1 Tf.-0.0002 
Tc 9.499 0 Td.[(
tool)-207(does)-
208(no)8(t)-208(
pr)6(o)22(v)25(e
)-208(t)-9(hat)-
207(t)-9(he)-207
(limit)-206(e)21
(xis)8(ts,)]TJ.-
25.013 -1.2 Td.[
(but)-251(it)-25
1(does)-251(sho)
22(w)-251(us)-25
0(what)-252(t)-9
(he)-250(limit)-
250(mus)8(t)-251
(eq)13(ual)]TJ./
T1_9 1 Tf.0.0002
 Tc 18.299 0 Td.
(if)Tj./T1_4 1 T
f.0.952 0 Td.[(i
t)-249(e)21(x)1(
is)8(ts.)]TJ.-0.
0003 Tc -17.751 
-1.229 Td.[(Here
)-274(is)-273(a)
-274(tr)-20(ic)2
2(ky)-273(pr)6(o
blem)-276(t)-9(h
at)-274(has)-274
(se)19(v)25(eral
)-274(s)-1(oluti
ons.)-274(W)59(e
)-274(will)-273(
present)-274(one
)-274(t)-9(hat)-
274(emplo)22(y)1
3(s)-274(big-oh)
-274(es)8(ti-)]T
J.0 Tc -1.5 -1.2
 Td.(mates.)Tj./
T1_10 1 Tf.-0.00
02 Tc 0 -1.557 T
D.[(Exam)16(ple)
-252(9.2.3)]TJ./
T1_4 1 Tf.6.512 
0 Td.[(\(Putnam)
-186(1990\))-187
(Is)]TJ./T1_5 1 
Tf.0 Tc 7.002 0.
97 Td.(\005)Tj.E
T.284.625 234.97
5 4.986 0.666 re
.f.BT./T1_7 1 Tf
.9.9626 0 0 9.96
26 284.6251 225.
3091 Tm.(2)Tj./T
1_4 1 Tf.-0.0003
 Tc 0.687 0 Td.[
(t)-9(he)-186(li
mit)-186(of)-187
(a)-186(s)-1(eq)
13(uence)-188(of
)-187(numbers)-1
88(of)-187(t)-9(
he)-186(f)31(or)
-20(m)]TJ./T1_7 
1 Tf.0 Tc 5.9776
 0 0 5.9776 475.
443 229.179 Tm.(
3)Tj./T1_5 1 Tf.
9.9626 0 0 9.962
6 471.897 233.67
9 Tm.(\005)Tj.ET
.q.1 0 0 1 481.1
490021 233.67900
09 cm.0 0 m.4.95
9 0 l.4.959 0.66
6 l.0 0.666 l.f.
Q.BT./T1_6 1 Tf.
9.9626 0 0 9.962
6 481.149 225.30
9 Tm.(\017)Tj./T
1_7 1 Tf.0.719 0
 Td.(\212)Tj.5.9
776 0 0 5.9776 5
00.22 229.179 Tm
.(3)Tj./T1_5 1 T
f.9.9626 0 0 9.9
626 496.674 233.
679 Tm.(\005)Tj.
ET.505.917 233.6
79 7.074 0.666 r
e.f.BT./T1_6 1 T
f.9.9626 0 0 9.9
626 505.9171 225
.309 Tm.(\023)Tj
./T1_4 1 Tf.0.89
6 0 Td.(\()Tj./T
1_6 1 Tf.-0.0001
 Tc [(\017,)-167
(\023)]TJ./T1_7 
1 Tf.0 Tc 2.234 
0 Td.(=)Tj.-39.7
85 -1.2 Td.(0)Tj
./T1_6 1 Tf.(,)T
j./T1_7 1 Tf.0.9
16 0 Td.(1)Tj./T
1_6 1 Tf.(,)Tj./
T1_7 1 Tf.0.916 
0 Td.(2)Tj./T1_6
 1 Tf.(,)Tj./T1_
7 1 Tf.0.916 0 T
d.(\203)Tj./T1_4
 1 Tf.0.0003 Tc 
1.166 0 Td.(\)?)
Tj./T1_9 1 Tf.-0
.0001 Tc -2.415 
-1.229 Td.[(P)54
(ar)-12(tial)-27
1(Solution:)]TJ.
/T1_4 1 Tf.-0.00
03 Tc 7.005 0 Td
.[(Y)67(our)-273
(intuition)-273(
s)-1(hould)-273(
s)-1(ugg)16(es)8
(t)-273(t)-9(hat
)-272(t)-9(he)-2
72(answ)18(er)-2
73(is)-272(y)23(
es,)-272(because
,)-274(f)31(or)-
272(\215lar)16(g
)16(e)-274(enoug
h)]TJ.-8.505 -1.
2 Td.[(integ)16(
ers,)-262(cube)-
262(r)6(oo)8(ts)
-263(g)16(e)9(t)
-262(closer)-263
(to)-260(eac)16(
h)-263(o)8(t)-9(
her)26(,)-262(s)
-1(o)-261(w)18(e
)-261(can)-263(a
ppr)6(oac)16(h)-
264(an)25(y)-263
(number)47(.)37(
\216)-263(Le)9(t
)29(\220)48(s)-2
61(s)-1(k)13(e)9
(tc)16(h)-262(a)
-261(solution)]T
J.-0.0002 Tc 0 -
1.2 TD.[(t)-9(ha
t)-251(f)31(or)-
20(malizes)-251(
t)-9(his)-250(id
ea.).TJ.ET.EMC..