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/Part <</MCID 0 
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)-249(8in)-250(x
)-250(10in)]TJ.0
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8(c06.te)15(x)-1
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-)-250(10/06/201
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-1000(P)16(age)-
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.)-556(Recurrenc
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01 Tc 8.9664 0 0
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)-238(man)24(y)-
239(nonneg)11(at
iv)24(e)-240(int
eg)15(er)-238(so
lutions)-239(are
)-238(t)-8(here)
-238(to)]TJ./T1_
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d.(+)Tj./T1_6 1 
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021)Tj./T1_7 1 T
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7)]TJ./T1_5 1 Tf
.-0.0002 Tc 1.96
2 0 Td.[(,)-251(
pr)6(o)22(vided)
-251(t)-8(hat)]T
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12)Tj./T1_5 1 Tf
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\002)Tj./T1_7 1 
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.9664 162.801 66
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)Tj./T1_7 1 Tf.0
 Tc 5.9776 0 0 5
.9776 171.036 66
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/T1_6 1 Tf.8.966
4 0 0 8.9664 174
.528 669.5941 Tm
.(,)Tj./T1_7 1 T
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03)Tj./T1_6 1 Tf
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5.9776 196.965 6
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 0 0 8.9664 202.
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8(ordered)-219(s
)-1(eq)13(uence)
-219(of)]TJ./T1_
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 -1.223 Td.[(obj
ects.)-185(A)]TJ
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-184(seq)13(uenc
e)-184(is)-184(a
)-183(per)-20(mu
t)-10(ation)-185
(t)-8(hat)]TJ.-0
.0003 Tc -9.518 
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no)-195(object)-
197(in)-195(its)
-195(or)-20(igin
al)-196(place.)-
197(For)-195(e)2
1(x)11(ample,)-1
97(if)-196(t)-8(
he)-196(or)-20(i
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c 0 -1.222 TD.[(
inal)-219(seq)13
(uence)-219(is)]
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,)Tj./T1_7 1 Tf.
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T1_7 1 Tf.0.916 
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)219(n)]TJ./T1_7
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.(,)Tj./T1_7 1 T
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)8(t)-218(a)-218
(derang)15(ement
,)]TJ.-0.0001 Tc
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.(,)Tj./T1_7 1 T
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)-310(t)-8(he)-3
09(number)-310(o
f)-310(derang)15
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91 -1.223 Td.[(o
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nt)-251(seq)13(u
ence.)-251(Sho)2
2(w)-251(t)-8(ha
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218.844 582.2131
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67\267+\()222(\2
12)223(1)222(\))
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(\006)Tj./T1_7 1
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.109 Td.(.)Tj./T
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[(Use)-560(a)-56
0(combinator)-19
(ial)-562(ar)16(
gument)-561(\(no
)-560(f)32(or)-2
0(mulas!\))-559(
to)]TJ.-3.028 -1
.223 Td.[(pr)6(o
)22(v)24(e)-251(
t)-8(hat)]TJ./T1
_6 1 Tf.0 Tc 8.1
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(de\223ned)-251(
in)-250(t)-8(he)
-251(pr)6(oblem)
-251(abo)22(v)24
(e.)]TJ./T1_4 1 
Tf.22.752 21.657
 Td.(6.3.14)Tj./
T1_5 1 Tf.3.056 
0 Td.[(Consider)
-395(10)-394(peo
ple)-395(s)-1(it
ting)-394(ar)6(o
und)-395(a)-394(
circular)-396(t)
-10(able.)]TJ.-0
.0002 Tc -3.028 
-1.223 Td.[(In)-
370(ho)22(w)-371
(man)24(y)-370(d
i\002erent)-371(
w)28(a)27(y)13(s
)-372(can)-370(t
)-8(he)21(y)-371
(c)16(hang)15(e)
-371(seats)-371(
s)-1(o)-369(t)-8
(hat)]TJ.-0.0003
 Tc 0 -1.223 TD.
[(eac)16(h)-252(
person)-250(has)
-251(a)-250(di\0
02erent)-251(nei
ghbor)-251(to)-2
50(t)-8(he)-250(
r)-20(ight?)]TJ.
/T1_4 1 Tf.-0.00
01 Tc -0.027 -1.
898 Td.(6.3.15)T
j./T1_5 1 Tf.-0.
0003 Tc 3.056 0 
Td.[(Imagine)-29
7(t)-8(hat)-297(
y)18(ou)-297(are
)-297(going)-297
(to)-296(giv)24(
e)]TJ./T1_6 1 Tf
.0 Tc 14.314 0 T
d.(\006)Tj./T1_5
 1 Tf.-0.0003 Tc
 0.794 0 Td.[(ki
ds)-297(ice-crea
m)]TJ.-18.136 -1
.222 Td.[(cones,
)-174(one)-173(c
one)-174(per)-17
3(kid,)-173(and)
-173(t)-8(here)-
174(are)]TJ./T1_
6 1 Tf.0 Tc 14.7
12 0 Td.(\f)Tj./
T1_5 1 Tf.-0.000
1 Tc 0.715 0 Td.
[(di\002erent)-1
73(\224a)32(v)27
(ors)-173(a)32(v
)20(ail-)]TJ.0 T
c -15.427 -1.223
 Td.[(able.)-205
(Assuming)-203(t
)-8(hat)-204(no)
-204(\224a)33(v)
27(ors)-204(g)15
(e)9(t)-204(mix)
24(ed,)-205(sho)
22(w)-202(t)-8(h
at)-204(t)-8(he)
-203(num-)]TJ.-0
.0002 Tc T*.[(be
r)-251(of)-250(w
)28(a)27(y)13(s)
-251(w)18(e)-251
(can)-251(giv)24
(e)-251(out)-250
(t)-8(he)-250(co
nes)]TJ./T1_9 1 
Tf.0.0001 Tc 15.
367 0 Td.[(using
)-250(all)]TJ./T
1_6 1 Tf.0 Tc 3.
724 0 Td.(\f)Tj.
/T1_9 1 Tf.-0.00
01 Tc 0.792 0 Td
.[(\224av)15(or)
17(s)]TJ./T1_5 1
 Tf.0 Tc 2.941 0
 Td.(is)Tj./T1_6
 1 Tf.-22.227 -2
.653 Td.(\f)Tj.5
.9776 0 0 5.9776
 365.499 607.017
 Tm.(\006)Tj./T1
_7 1 Tf.8.9664 0
 0 8.9664 370.96
2 603.426 Tm.(\2
12)Tj./T1_10 1 T
f.0.907 1.414 Td
.(\005)Tj./T1_6 
1 Tf.0.75 -0.834
 Td.(\f)Tj./T1_7
 1 Tf.0.021 -1.2
8 Td.(1)Tj./T1_1
0 1 Tf.0.521 2.1
14 Td.(\006)Tj./
T1_7 1 Tf.0.75 -
1.414 Td.(\()Tj.
/T1_6 1 Tf.(\f)T
j./T1_7 1 Tf.0.2
224 Tc 1.097 0 T
d.[(\2121)223(\)
)]TJ./T1_6 1 Tf.
0 Tc 5.9776 0 0 
5.9776 422.847 6
07.017 Tm.(\006)
Tj./T1_7 1 Tf.8.
9664 0 0 8.9664 
428.31 603.426 T
m.(+)Tj./T1_10 1
 Tf.0.907 1.414 
Td.(\005)Tj./T1_
6 1 Tf.0.75 -0.8
34 Td.(\f)Tj./T1
_7 1 Tf.0.021 -1
.28 Td.(2)Tj./T1
_10 1 Tf.0.521 2
.114 Td.(\006)Tj
./T1_7 1 Tf.0.75
 -1.414 Td.(\()T
j./T1_6 1 Tf.(\f
)Tj./T1_7 1 Tf.0
.2224 Tc 1.097 0
 Td.[(\2122)223(
\))]TJ./T1_6 1 T
f.0 Tc 5.9776 0 
0 5.9776 480.195
 607.017 Tm.(\00
6)Tj./T1_7 1 Tf.
8.9664 0 0 8.966
4 485.658 603.42
6 Tm.(\212)Tj./T
1_10 1 Tf.0.907 
1.414 Td.(\005)T
j./T1_6 1 Tf.0.7
5 -0.834 Td.(\f)
Tj./T1_7 1 Tf.0.
021 -1.28 Td.(3)
Tj./T1_10 1 Tf.0
.521 2.114 Td.(\
006)Tj./T1_7 1 T
f.0.75 -1.414 Td
.(\()Tj./T1_6 1 
Tf.(\f)Tj./T1_7 
1 Tf.0.2224 Tc 1
.097 0 Td.[(\212
3)223(\))]TJ./T1
_6 1 Tf.0 Tc 5.9
776 0 0 5.9776 5
37.543 607.017 T
m.(\006)Tj./T1_7
 1 Tf.0.1662 Tc 
8.9664 0 0 8.966
4 434.367 578.37
9 Tm.[(+\267)-57
(\267)-56(\267)-
57(+)-56(\()166(
\212)167(1)166(\
))]TJ./T1_6 1 Tf
.0 Tc 5.9776 0 0
 5.9776 479.439 
581.97 Tm.(\f)Tj
./T1_10 1 Tf.8.9
664 0 0 8.9664 4
83.174 591.0601 
Tm.(\005)Tj./T1_
6 1 Tf.0.75 -0.8
34 Td.(\f)Tj.0 -
1.28 TD.(\f)Tj./
T1_10 1 Tf.0.542
 2.114 Td.(\006)
Tj./T1_7 1 Tf.0.
75 -1.414 Td.(0)
Tj./T1_6 1 Tf.5.
9776 0 0 5.9776 
505.962 581.97 T
m.(\006)Tj.8.966
4 0 0 8.9664 509
.436 578.379 Tm.
(.)Tj./T1_4 1 Tf
.-0.0001 Tc -17.
219 -2.854 Td.(6
.3.16)Tj./T1_5 1
 Tf.0 Tc 3.056 0
 Td.[(\(IMO)-215
(89\))-217(Le)9(
t)-217(a)-217(pe
r)-20(mut)-10(at
ions)]TJ./T1_6 1
 Tf.11.714 0 Td.
(2)Tj./T1_5 1 Tf
.-0.0001 Tc 0.82
5 0 Td.(of)Tj./T
1_7 1 Tf.-0.0002
 Tc 1.05 0 Td.({
1)Tj./T1_6 1 Tf.
0 Tc (,)Tj./T1_7
 1 Tf.1.396 0 Td
.(2)Tj./T1_6 1 T
f.(,)Tj./T1_7 1 
Tf.0.916 0 Td.(\
203)Tj./T1_6 1 T
f.1.167 0 Td.(,)
Tj./T1_7 1 Tf.0.
417 0 Td.(2)Tj./
T1_6 1 Tf.(\006)
Tj./T1_7 1 Tf.(}
)Tj./T1_5 1 Tf.-
0.0001 Tc 1.693 
0 Td.[(ha)32(v)2
4(e)]TJ.-22.208 
-1.222 Td.[(pr)6
(oper)-23(ty)]TJ
./T1_6 1 Tf.0 Tc
 3.656 0 Td.(\b)
Tj./T1_5 1 Tf.0.
994 0 Td.(if)Tj.
/T1_10 1 Tf.3.21
7 -1.23 Td.(\002
)Tj./T1_6 1 Tf.(
2)Tj./T1_7 1 Tf.
0.928 0 Td.(\()T
j./T1_6 1 Tf.(\t
)Tj./T1_7 1 Tf.0
.2221 Tc (\)\212
)Tj./T1_6 1 Tf.0
 Tc 2.106 0 Td.(
2)Tj./T1_7 1 Tf.
0.608 0 Td.(\()T
j./T1_6 1 Tf.(\t
)Tj./T1_7 1 Tf.0
.2224 Tc 0.866 0
 Td.[(+1)223(\))
]TJ./T1_10 1 Tf.
0 Tc 1.741 0 Td.
(\002)Tj./T1_7 1
 Tf.0.597 0 Td.(
=)Tj./T1_6 1 Tf.
0.964 0 Td.(\006
)Tj./T1_5 1 Tf.-
0.0002 Tc -15.67
7 -1.674 Td.[(f)
32(or)-262(at)-2
63(leas)7(t)-263
(one)]TJ./T1_6 1
 Tf.0 Tc 6.174 0
 Td.(\t)Tj./T1_7
 1 Tf.0.2776 Tc 
0.589 0 Td.[(\b[
)277(2)]TJ./T1_6
 1 Tf.0 Tc 1.796
 0 Td.(\006)Tj./
T1_7 1 Tf.0.2214
 Tc 0.72 0 Td.[(
\2121)222(])]TJ.
/T1_5 1 Tf.-0.00
02 Tc 1.74 0 Td.
[(.)-263(Sho)22(
w)-263(t)-8(hat,
)-262(f)32(or)-2
62(eac)16(h)]TJ.
/T1_6 1 Tf.0 Tc 
8.526 0 Td.(\006
)Tj./T1_5 1 Tf.0
.2619 Tc [(,t)25
4(h)262(e)262(r)
264(e)-1(a)262(r
)264(e)]TJ.-0.00
02 Tc -19.544 -1
.222 Td.[(more)-
251(per)-20(mut)
-10(ations)-251(
wit)-8(h)-251(pr
)6(oper)-23(ty)]
TJ./T1_6 1 Tf.0 
Tc 13.497 0 Td.(
\b)Tj./T1_5 1 Tf
.-0.0001 Tc 0.99
4 0 Td.[(t)-8(ha
n)-251(wit)-8(ho
ut)-250(it.)]TJ.
/T1_3 1 Tf.0.000
2 Tc 11.9551 0 0
 11.9551 109.854
 469.722 Tm.[(6.
4)-1000(Recurren
ce)]TJ./T1_5 1 T
f.-0.0003 Tc 9.9
626 0 0 9.9626 1
40.742 445.9171 
Tm.[(Man)25(y)-2
92(pr)6(oblems)-
292(in)31(v)27(o
l)20(ving)-292(t
)-9(he)-291(natu
ral)-291(numbers
)-292(r)1(eq)13(
uire)-291(\223nd
ing)-291(a)-291(
f)31(or)-20(mula
)-291(or)-291(al
gor)-20(it)-9(hm
)-292(t)-9(hat)-
290(is)-291(tr)-
25(ue)-290(f)31(
or)]TJ.0 -1.201 
TD.[(all)-223(na
tural)-223(numbe
rs)]TJ./T1_6 1 T
f.0 Tc 7.885 0 T
d.(\006)Tj./T1_5
 1 Tf.-0.0003 Tc
 [(.)-223(I)-1(f
)-222(w)18(e)-22
2(are)-222(luc)2
2(ky)53(,)-224(a
)-222(little)-22
1(e)21(xper)-20(
imenting)-225(s)
-1(ugg)16(es)8(t
s)-223(t)-9(he)-
223(g)16(eneral)
-224(f)31(or)-20
(mula,)-223(and)
-223(w)18(e)-223
(t)-9(hen)]TJ.-7
.885 -1.2 Td.[(t
r)-21(y)-227(t)1
(o)-228(pr)6(o)2
2(v)25(e)-229(ou
r)-228(conjectur
e.)-231(But)-228
(s)-1(ome)9(time
s)-229(t)-9(he)-
228(pr)6(oblem)-
230(can)-229(be)
-228(so)-227(com
plicated)-230(t)
-9(hat)-228(at)-
229(\223rs)8(t)-
227(it)-228(is)-
227(di\003cult)]
TJ.0 -1.2 TD.[(t
o)-326(\215globa
ll)20(y\216)-329
(comprehend)-330
(it.)-326(The)-3
28(g)15(eneral)-
329(f)31(or)-21(
mula)-327(ma)27(
y)-328(no)8(t)-3
28(be)-328(at)-3
27(all)-328(appa
rent.)-329(I)-1(
n)-326(t)-9(his)
-327(case,)-328(
it)-327(is)-327(
s)7(till)]TJ.-0.
0002 Tc 0 -1.201
 TD.[(possible)-
310(t)1(o)-309(g
)11(ain)-310(ins
ight)-309(b)20(y
)-310(f)31(ocusi
ng)-310(on)-310(
t)-9(he)-310(\21
5local\216)-310(
s)-1(ituation,)-
309(t)-9(he)-309
(transition)-309
(fr)6(om)]TJ./T1
_6 1 Tf.0 Tc 32.
599 0 Td.(\006)T
j./T1_7 1 Tf.0.2
78 Tc 0.774 0 Td
.(=1)Tj./T1_5 1 
Tf.-0.0016 Tc 1.
772 0 Td.(to)Tj.
/T1_6 1 Tf.0 Tc 
1.085 0 Td.(\006
)Tj./T1_7 1 Tf.0
.278 Tc 0.774 0 
Td.(=2)Tj./T1_5 
1 Tf.-0.0004 Tc 
1.463 0 Td.[(,)-
310(and)]TJ.-38.
467 -1.2 Td.[(t)
-9(hen,)-252(mor
e)-250(g)15(ener
all)20(y)53(,)-2
53(t)-9(he)-250(
transition)-250(
f)-1(r)6(om)]TJ.
/T1_6 1 Tf.0 Tc 
16.358 0 Td.(\00
6)Tj./T1_5 1 Tf.
-0.0016 Tc 0.746
 0 Td.(to)Tj./T1
_6 1 Tf.0 Tc 1.0
26 0 Td.(\006)Tj
./T1_7 1 Tf.0.22
29 Tc 0.719 0 Td
.(+1)Tj./T1_5 1 
Tf.-0.0006 Tc 1.
407 0 Td.[(.)-25
1(Here)-250(i)-1
(s)-250(a)-250(v
)24(er)-22(y)-25
2(simple)-249(e)
21(x)11(ample.)]
TJ./T1_3 1 Tf.0.
0002 Tc 10.9091 
0 0 10.9091 140.
742 352.983 Tm.[
(Tiling)-277(and
)-277(the)-277(F
ibonacci)-276(Re
currence)]TJ./T1
_4 1 Tf.-0.0002 
Tc 9.9626 0 0 9.
9626 140.742 332
.6071 Tm.[(Exam)
16(ple)-252(6.4.
1)]TJ./T1_5 1 Tf
.6.512 0 Td.[(De
\223ne)-246(a)]T
J./T1_9 1 Tf.3.6
03 0 Td.(domino)
Tj./T1_5 1 Tf.-0
.001 Tc 3.246 0 
Td.[(to)-246(be)
-247(a)]TJ./T1_7
 1 Tf.0.2223 Tc 
2.901 0 Td.(1\32
72)Tj./T1_5 1 Tf
.-0.0005 Tc 2.33
 0 Td.[(rect)-11
(angle.)-248(I)-
1(n)-246(ho)22(w
)-247(man)24(y)-
248(w)28(a)27(y)
13(s)-247(can)-2
47(an)]TJ./T1_6 
1 Tf.0 Tc 14.691
 0 Td.(\006)Tj./
T1_7 1 Tf.0.2227
 Tc 0.719 0 Td.(
\3272)Tj./T1_5 1
 Tf.-0.0006 Tc 1
.608 0 Td.[(rect
)-11(angle)-248(
be)]TJ.-0.0001 T
c -35.61 -1.201 
Td.[(tiled)-250(
b)20(y)-250(domi
nos?)]TJ./T1_4 1
 Tf.-0.0002 Tc 1
.5 -2.121 Td.(So
lution:)Tj./T1_5
 1 Tf.-0.0003 Tc
 4.088 0 Td.[(Le
)9(t)]TJ./T1_6 1
 Tf.0 Tc 1.522 0
 Td.(\024)Tj.7.4
72 0 0 7.472 214
.686 297.0211 Tm
.(\006)Tj./T1_5 
1 Tf.-0.0002 Tc 
9.9626 0 0 9.962
6 220.869 299.51
4 Tm.[(deno)8(te
)-200(t)-9(he)-1
98(number)-200(o
f)-198(tilings)-
197(f)31(or)-198
(an)]TJ./T1_6 1 
Tf.0 Tc 13.74 0 
Td.(\006)Tj./T1_
7 1 Tf.0.2218 Tc
 0.72 0 Td.(\327
2)Tj./T1_5 1 Tf.
-0.0005 Tc 1.559
 0 Td.[(rect)-11
(angle.)-200(Ob)
18(viousl)20(y)]
TJ./T1_6 1 Tf.0 
Tc 8.445 0 Td.(\
024)Tj./T1_7 1 T
f.7.472 0 0 7.47
2 467.703 297.02
11 Tm.(1)Tj.0.27
71 Tc 9.9626 0 0
 9.9626 474.714 
299.514 Tm.(=1)T
j./T1_5 1 Tf.-0.
0001 Tc 1.462 0 
Td.[(,)-199(and)
-198(it)-197(is)
-198(easy)]TJ.-0
.0007 Tc -34.984
 -1.201 Td.[(to)
-287(c)16(hec)21
(k)-288(t)-9(hat
)]TJ./T1_6 1 Tf.
0 Tc 5.437 0 Td.
(\024)Tj./T1_7 1
 Tf.7.472 0 0 7.
472 198.027 285.
069 Tm.(2)Tj.0.2
78 Tc 9.9626 0 0
 9.9626 205.029 
287.5531 Tm.(=2)
Tj./T1_5 1 Tf.-0
.0002 Tc 1.463 0
 Td.[(;)-287(t)-
9(he)-287(onl)20
(y)-287(possibil
ities)-286(are)-
286(tw)26(o)-287
(hor)-19(izont)-
10(al)-289(or)-2
87(tw)26(o)-286(
v)25(er)-23(tica
l)-289(dominos.)
-288(N)13(o)22(w
)-286(consider)]
TJ./T1_6 1 Tf.0 
Tc -7.915 -1.2 T
d.(\024)Tj./T1_7
 1 Tf.7.472 0 0 
7.472 143.856 27
3.1081 Tm.(7)Tj.
/T1_5 1 Tf.-0.00
01 Tc 9.9626 0 0
 9.9626 148.095 
275.6011 Tm.[(.)
-250(Le)9(t)-251
(us)-251(par)-23
(tition)-250(all
)-251(t)-8(he)-2
50(tilings)-251(
of)-250(t)-8(he)
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