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32 32 32 32  20 54 63 20  2d 32 32 2e  36 33 32 20 
2d 31 2e 32  32 33 20 54  64 0a 5b 28  32 2b 33 2b 
34 2b 35 2b  35 29 2d 35  36 28 3d 29  2d 35 35 28 
32 29 32 32  32 28 30 29  5d 54 4a 0a  2f 54 31 5f 
34 20 31 20  54 66 0a 30  20 54 63 20  39 2e 32 35 
38 20 30 20  54 64 0a 5b  28 5c 29 2c  29 2d 34 38 
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5b 28 6f 63  63 75 72 29  2d 32 35 30  28 61 6e 29 
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2d 32 35 31  28 73 29 2d  31 28 65 71  29 31 33 28 
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43 20 0a
/Part <</MCID 0 
>>BDC .BT./CS0 c
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)-249(8in)-250(x
)-250(10in)]TJ.0
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-)-250(10/06/201
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f.BT./T1_1 1 Tf.
9.9626 0 0 9.962
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.666.396 431.778
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.f.359.802 36.07
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e.f.BT./T1_1 1 T
f.9.9626 0 0 9.9
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)Tj./T1_3 1 Tf.0
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.9664 144.4506 7
26.816 Tm.[(Chap
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(Tactics)-278(fo
r)-277(Solving)-
278(Problems)]TJ
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)19(v)24(elop)-2
62(a)-260(s)7(tr
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2(ore)-261(t)-8(
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ar)16(g)15(es)8(
t)-294(number)-2
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eeks)-296(t)-8(h
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(guaranteed)-252
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4(alr)-32(y)]TJ.
/T1_4 1 Tf.-0.00
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.[(.)-217(Suppos
e)-217(t)-8(here
)-218(are)-217(a
n)-218(in\223nit
e)-217(number)]T
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02(positiv)24(e)
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)-302(wr)-19(itt
en)-301(on)]TJ.-
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296(in\223nite)-
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)8(a)8(t)-242(l)
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8(.)]TJ.-0.0001 
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8(ha)32(v)24(e)-
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h)-248(cont)-10(
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tel)21(y)-247(ma
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lls.)]TJ.-0.0003
 Tc -1.666 -1.22
3 Td.[(\(For)-24
0(e)21(x)11(ampl
e,)-242(it)-240(
ma)27(y)-241(ha)
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)-1(ix)-240(#3)-
240(balls)-242(a
nd)-241(tw)18(el
)21(v)24(e)-242(
#673)-241(balls)
]TJ.-0.0002 Tc T
*.[(and)-294(a)-
294(million)-294
(#2)-294(balls.\
))-295(Y)67(our)
-295(goal)-294(i
s)-295(t)2(o)-29
4(empty)-294(t)-
8(he)-294(bo)22(
x.)-295(Y)67(ou)
]TJ.0 -1.223 TD.
[(ma)27(y)-340(r
)2(emo)22(v)24(e
)-342(an)24(y)]T
J./T1_6 1 Tf.-0.
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 1 Tf.-0.0002 Tc
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)26(,)]TJ.-0.000
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mo)22(v)24(e)-31
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313(y)18(our)-31
2(little)-312(br
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-313(g)15(e)9(ts
)-313(a)-313(tur
)-21(n,)]TJ.T*.[
(and)-211(he)-21
1(is)-210(allo)2
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)2(o)-210(add)]T
J./T1_6 1 Tf.9.6
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)-211(\223nit)10
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lls)-211(to)-211
(t)-9(he)-211(bo
)22(x,)]TJ.-0.00
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7(long)-326(as)-
327(eac)16(h)-32
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327(a)-327(lo)22
(w)18(er)-328(nu
mber)-327(label)
-327(t)-8(han)-3
27(t)-8(he)-327(
one)]TJ.0 -1.222
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82(r)2(emo)22(v)
24(ed.)-282(F)5(
or)-282(e)21(x)1
1(ample,)-283(if
)-281(y)18(ou)-2
82(r)2(emo)22(v)
24(e)-282(one)-2
83(#3)-281(ball,
)-282(y)18(our)]
TJ.0 -1.223 TD.[
(br)6(o)8(t)-8(h
er)-250(can)-251
(replace)-251(it
)-250(wit)-8(h)-
250(50)-251(#2)-
250(balls)-251(a
nd)-251(2013)-25
0(#1)-251(balls.
)]TJ.1.666 -1.42
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8(e)19(v)24(er)2
6(,)-220(if)-218
(y)18(ou)-219(r)
2(emo)22(v)24(e)
-219(a)-218(#1)-
219(ball,)-218(t
)-8(hen)-219(y)1
8(our)-219(br)6(
o)8(t)-8(her)-21
8(can-)]TJ.-1.66
6 -1.222 Td.[(no
)8(t)-234(add)-2
36(an)24(yt)-8(h
ing,)-235(since)
-235(t)-8(here)-
235(are)-235(no)
-235(balls)-235(
wit)-8(h)-235(lo
)22(w)18(er)-235
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 T*.(labels.)Tj.
-0.0001 Tc 1.666
 -1.426 Td.[(Is)
-183(it)-184(pos
sible)-183(t)2(o
)-184(empty)-184
(t)-8(he)-184(bo
)22(x)-184(in)-1
84(a)-183(\223ni
te)-183(number)-
185(of)-184(tur)
-21(ns?)]TJ./T1_
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Tc 3.056 0 Td.[(
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3(t)-225(wit)-8(
h)-226(a)-224(se
)9(t)-225(of)-22
5(lattice)-225(p
oints.)-225(Eac)
16(h)-226(second
,)-226(w)18(e)-2
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(f)32(or)-20(m)-
250(one)-250(of)
-250(t)-8(he)-25
1(f)32(ollo)22(w
ing)-250(operati
ons:)]TJ.0 Tc 1.
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1.)-556(The)-517
(point)]TJ./T1_7
 1 Tf.5.95 0 Td.
(\()Tj./T1_8 1 T
f.0.0001 Tc [(\0
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J./T1_7 1 Tf.0 T
c (\))Tj./T1_4 1
 Tf.-0.0003 Tc 2
.646 0 Td.[(\215
giv)24(es)-519(b
ir)-24(t)-8(h\21
6)-517(to)-517(t
)-8(he)-517(poin
t)]TJ./T1_7 1 Tf
.0 Tc 11.541 0 T
d.(\()Tj./T1_8 1
 Tf.(\003)Tj./T1
_7 1 Tf.0.2214 T
c 1.106 0 Td.(+1
)Tj./T1_8 1 Tf.0
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,)Tj.-21.344 -1.
223 Td.(\022)Tj.
/T1_7 1 Tf.0.222
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[(+1)223(\))]TJ.
/T1_4 1 Tf.0 Tc 
1.741 0 Td.(.)Tj
.0.0001 Tc -3.76
4 -1.63 Td.[(2.)
-556(If)]TJ./T1_
8 1 Tf.0 Tc 2.24
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/T1_4 1 Tf.-0.00
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.(and)Tj./T1_8 1
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4 1 Tf.-0.0003 T
c 0.772 0 Td.[(a
re)-277(bo)8(t)-
8(h)-276(e)19(v)
24(en,)-277(t)-8
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Tc 9.759 0 Td.(\
()Tj./T1_8 1 Tf.
0.0001 Tc [(\003
,)-166(\022)]TJ.
/T1_7 1 Tf.0 Tc 
(\))Tj./T1_4 1 T
f.-0.0001 Tc 2.4
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)-23(t)-8(h\216)
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.[(to)-250(t)-9(
he)-250(point)]T
J./T1_7 1 Tf.0 T
c 4.812 0 Td.(\(
)Tj./T1_8 1 Tf.(
\003)Tj./T1_7 1 
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_8 1 Tf.0.1666 T
c (,\022)Tj./T1_
7 1 Tf.-0.0001 T
c 2.819 0 Td.(\0
042\))Tj./T1_4 1
 Tf.0 Tc (.)Tj.-
0.0001 Tc -8.937
 -1.63 Td.[(3.)-
556(The)-431(pai
r)-432(of)-432(p
oints)]TJ./T1_7 
1 Tf.0 Tc 9.42 0
 Td.(\()Tj./T1_8
 1 Tf.0.0001 Tc 
[(\003,)-166(\02
2)]TJ./T1_7 1 Tf
.0 Tc (\))Tj./T1
_4 1 Tf.-0.0002 
Tc 2.561 0 Td.(a
nd)Tj./T1_7 1 Tf
.0 Tc 1.876 0 Td
.(\()Tj./T1_8 1 
Tf.-0.0001 Tc [(
\022,)-167(\032)
]TJ./T1_7 1 Tf.0
 Tc (\))Tj./T1_4
 1 Tf.-0.0004 Tc
 2.51 0 Td.[(\21
5giv)24(es)-432(
bir)-24(t)-8(h\2
16)-432(to)]TJ./
T1_7 1 Tf.0 Tc -
15.061 -1.223 Td
.(\()Tj./T1_8 1 
Tf.0.0001 Tc [(\
003,)-166(\032)]
TJ./T1_7 1 Tf.0 
Tc (\))Tj./T1_4 
1 Tf.(.)Tj.-0.00
06 Tc -2.444 -1.
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3(e)21(x)11(ampl
e,)-276(i)-1(f)-
273(w)18(e)-274(
s)7(t)-11(ar)-24
(t)-1(ed)-273(wi
t)-9(h)-273(t)-9
(he)-273(s)-1(in
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0003 Tc 19.353 0
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8 1 Tf.0 Tc 0.83
3 0 Td.(,)Tj./T1
_7 1 Tf.-0.0001 
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\))Tj./T1_4 1 Tf
.-0.0002 Tc [(,)
-272(oper)29(-)]
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[(ation)-293(#1)
-294(yields)-295
(t)-8(he)-293(ne
)19(w)-295(point
)]TJ./T1_7 1 Tf.
0.0001 Tc 12.083
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T1_8 1 Tf.0 Tc (
,)Tj./T1_7 1 Tf.
-0.0001 Tc 1.751
 0 Td.(2\))Tj./T
1_4 1 Tf.-0.0003
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)-294(t)-8(hen)-
294(operation)-2
94(#2)]TJ.-0.000
1 Tc -13.833 -1.
222 Td.(yields)T
j./T1_7 1 Tf.0.0
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d.(\(5)Tj./T1_8 
1 Tf.0 Tc 0.833 
0 Td.(,)Tj./T1_7
 1 Tf.-0.0001 Tc
 0.417 0 Td.(1\)
)Tj./T1_4 1 Tf.-
0.0002 Tc [(,)-2
54(and)-254(t)-8
(hen)-254(nine)-
254(applications
)-256(of)-254(op
eration)-254(#1)
-254(giv)24(e)]T
J.-0.0001 Tc -3.
892 -1.223 Td.(u
s)Tj./T1_7 1 Tf.
0.0001 Tc 1.291 
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1_8 1 Tf.0 Tc (,
)Tj./T1_7 1 Tf.-
0.0001 Tc 1.75 0
 Td.(10\))Tj./T1
_4 1 Tf.-0.0002 
Tc [(,)-403(and)
-404(t)-8(hen)-4
03(operation)-40
4(#3)-403(applie
d)-404(t)2(o)]TJ
./T1_7 1 Tf.0.00
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d.(\(14)Tj./T1_8
 1 Tf.0 Tc (,)Tj
./T1_7 1 Tf.-0.0
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.(10\))Tj./T1_4 
1 Tf.-0.0002 Tc 
1.735 0 Td.(and)
Tj./T1_7 1 Tf.0.
0001 Tc -22.595 
-1.222 Td.(\(10)
Tj./T1_8 1 Tf.0 
Tc (,)Tj./T1_7 1
 Tf.-0.0001 Tc 1
.75 0 Td.(2\))Tj
./T1_4 1 Tf.1.08
3 0 Td.[(giv)24(
es)-250(us)]TJ./
T1_7 1 Tf.0.0001
 Tc 3.476 0 Td.(
\(14)Tj./T1_8 1 
Tf.0 Tc (,)Tj./T
1_7 1 Tf.-0.0001
 Tc 1.75 0 Td.(2
\))Tj./T1_4 1 Tf
.-0.0002 Tc 0.83
2 0.001 Td.[(,)-
250(e)9(tc.)]TJ.
-0.0001 Tc -7.22
5 -1.426 Td.[(If
)-167(w)18(e)-16
8(s)8(t)-10(ar)-
23(t)-167(wit)-8
(h)-168(t)-8(he)
-167(single)-167
(point)]TJ./T1_7
 1 Tf.0.0003 Tc 
12.192 0 Td.(\(7
)Tj./T1_8 1 Tf.0
 Tc 0.833 0 Td.(
,)Tj./T1_7 1 Tf.
-0.0001 Tc 0.417
 0 Td.(29\))Tj./
T1_4 1 Tf.0.0001
 Tc [(,)-166(is)
-168(it)-167(pos
sible)-167(e)20(
v)24(en-)]TJ.-0.
0004 Tc -15.108 
-1.223 Td.[(tual
l)21(y)-250(to)-
250(g)15(e)9(t)-
251(t)-8(he)-250
(point)]TJ./T1_7
 1 Tf.0.0003 Tc 
8.767 0 Td.(\(3)
Tj./T1_8 1 Tf.0 
Tc 0.833 0 Td.(,
)Tj./T1_7 1 Tf.-
0.0001 Tc 0.417 
0 Td.(1999\))Tj.
/T1_4 1 Tf.0 Tc 
(?)Tj./T1_5 1 Tf
.-0.0001 Tc -10.
045 -1.876 Td.(3
.4.23)Tj./T1_4 1
 Tf.-0.0002 Tc 3
.056 0 Td.[(Init
iall)21(y)53(,)-
510(w)18(e)-510(
are)-509(giv)24(
en)-510(t)-8(he)
-510(s)-1(eq)13(
uence)]TJ./T1_7 
1 Tf.0 Tc 15.845
 0 Td.(1)Tj./T1_
8 1 Tf.(,)Tj./T1
_7 1 Tf.0.916 0 
Td.(2)Tj./T1_8 1
 Tf.(,)Tj./T1_7 
1 Tf.0.917 0 Td.
(\203)Tj./T1_8 1
 Tf.1.166 0 Td.(
,)Tj./T1_7 1 Tf.
-0.0001 Tc 0.417
 0 Td.(100)Tj./T
1_4 1 Tf.0 Tc (.
)Tj.-0.0001 Tc -
22.289 -1.222 Td
.[(Ev)24(er)-21(
y)-212(minute,)-
213(w)18(e)-213(
erase)-213(an)24
(y)-213(tw)26(o)
-213(numbers)]TJ
./T1_8 1 Tf.0 Tc
 16.437 0 Td.(\0
23)Tj./T1_4 1 Tf
.-0.0002 Tc 0.68
7 0 Td.(and)Tj./
T1_8 1 Tf.0 Tc 1
.656 0 Td.(3)Tj.
/T1_4 1 Tf.-0.00
02 Tc 0.718 0 Td
.[(and)-213(r)2(
eplace)]TJ.0.008
1 Tc -19.497 -1.
223 Td.[(th)8(e)
8(m)-243(w)8(i)8
(th)-243(th)8(e)
-243(v)28(a)8(l)
8(u)8(e)]TJ./T1_
8 1 Tf.-0.0002 T
c 8.174 0 Td.(\0
233)Tj./T1_7 1 T
f.0 Tc 1.202 0 T
d.(+)Tj./T1_8 1 
Tf.0.907 0 Td.(\
023)Tj./T1_7 1 T
f.0.696 0 Td.(+)
Tj./T1_8 1 Tf.0.
907 0 Td.(3)Tj./
T1_4 1 Tf.-0.000
1 Tc [(.)-251(C)
-1(lear)7(l)21(y
)53(,)-252(w)18(
e)-251(will)-252
(be)-251(lef)-10
(t)-251(wit)-8(h
)]TJ.-11.887 -1.
223 Td.[(jus)8(t
)-265(one)-267(n
umber)-266(af)-1
0(ter)-266(99)-2
66(minutes.)-266
(Does)-267(t)-8(
his)-267(number)
-266(depend)]TJ.
-0.0002 Tc 0 -1.
222 TD.[(on)-250
(t)-8(he)-250(c)
16(hoices)-252(t
)-8(hat)-251(w)1
8(e)-250(made?)]
TJ./T1_5 1 Tf.-0
.0001 Tc -0.028 
-1.876 Td.(3.4.2
4)Tj./T1_4 1 Tf.
-0.0002 Tc 3.056
 0 Td.[(Pr)6(o)2
2(v)24(e)-398(t)
-8(hat)-400(it)-
399(is)-398(impo
ssible)-398(t)2(
o)-399(c)16(hoos
e)-399(t)-8(hree
)-399(dis)7(tinc
t)]TJ.0 Tc -3.02
7 -1.223 Td.[(in
teg)15(ers)]TJ./
T1_8 1 Tf.-0.000
1 Tc 3.401 0 Td.
[(\025,)-167(\02
6)]TJ./T1_4 1 Tf
.0.2499 Tc [(,a)
250(n)250(d)]TJ.
/T1_8 1 Tf.0 Tc 
3.583 0 Td.(\027
)Tj./T1_4 1 Tf.-
0.0001 Tc 0.715 
0 Td.[(suc)16(h)
-251(t)-8(hat)]T
J./T1_7 1 Tf.0 T
c -5.961 -2.093 
Td.(\()Tj./T1_8 
1 Tf.(\025)Tj./T
1_7 1 Tf.1.058 0
 Td.(\212)Tj./T1
_8 1 Tf.0.907 0 
Td.(\026)Tj./T1_
7 1 Tf.(\))Tj./T
1_9 1 Tf.(\r)Tj.
/T1_7 1 Tf.(\()T
j./T1_8 1 Tf.(\0
26)Tj./T1_7 1 Tf
.2.148 0 Td.(\21
2)Tj./T1_8 1 Tf.
0.907 0 Td.(\027
)Tj./T1_7 1 Tf.0
.465 0 Td.(\))Tj
./T1_8 1 Tf.(,)T
j./T1_7 1 Tf.1.7
5 0 Td.(\()Tj./T
1_8 1 Tf.(\026)T
j./T1_7 1 Tf.1.0
25 0 Td.(\212)Tj
./T1_8 1 Tf.0.90
7 0 Td.(\027)Tj.
/T1_7 1 Tf.0.465
 0 Td.(\))Tj./T1
_9 1 Tf.(\r)Tj./
T1_7 1 Tf.(\()Tj
./T1_8 1 Tf.(\02
7)Tj./T1_7 1 Tf.
1.673 0 Td.(\212
)Tj./T1_8 1 Tf.0
.907 0 Td.(\025)
Tj./T1_7 1 Tf.(\
))Tj./T1_8 1 Tf.
(,)Tj./T1_7 1 Tf
.2.253 0 Td.(\()
Tj./T1_8 1 Tf.(\
027)Tj./T1_7 1 T
f.1.02 0 Td.(\21
2)Tj./T1_8 1 Tf.
0.907 0 Td.(\025
)Tj./T1_7 1 Tf.(
\))Tj./T1_9 1 Tf
.(\r)Tj./T1_7 1 
Tf.(\()Tj./T1_8 
1 Tf.(\025)Tj./T
1_7 1 Tf.2.212 0
 Td.(\212)Tj./T1
_8 1 Tf.0.907 0 
Td.(\026)Tj./T1_
7 1 Tf.(\))Tj./T
1_8 1 Tf.(.)Tj./
T1_5 1 Tf.-0.000
1 Tc 5.651 58.00
7 Td.(3.4.25)Tj.
/T1_4 1 Tf.0.008
8 Tc 3.056 0 Td.
[(\()9(T)41(o)9(
m)-206(R)8(i)9(k
)22(e)9(\))-206(
S)20(ta)9(r)-14(
t)-206(w)9(i)9(t
h)-207(th)9(e)-2
07(s)8(e)18(t)]T
J./T1_7 1 Tf.-0.
0002 Tc 11.719 0
 Td.({3)Tj./T1_8
 1 Tf.0 Tc (,)Tj
./T1_7 1 Tf.1.39
6 0 Td.(4)Tj./T1
_8 1 Tf.(,)Tj./T
1_7 1 Tf.-0.0001
 Tc 0.917 0 Td.(
12})Tj./T1_4 1 T
f.-0.0005 Tc [(.
)-215(Y)67(ou)-2
17(are)-215(t)-9
(hen)]TJ.-0.0001
 Tc -17.06 -1.22
3 Td.[(allo)22(w
)18(ed)-191(t)2(
o)-191(r)2(eplac
e)-190(an)24(y)-
191(tw)26(o)-191
(numbers)]TJ./T1
_8 1 Tf.0 Tc 14.
265 0 Td.(\025)T
j./T1_4 1 Tf.-0.
0002 Tc 0.693 0 
Td.(and)Tj./T1_8
 1 Tf.0 Tc 1.634
 0 Td.(\026)Tj./
T1_4 1 Tf.0.0081
 Tc 0.659 0 Td.[
(w)8(i)8(th)-182
(th)8(e)-181(n)8
(e)28(w)-183(p)8
(a)8(i)8(r)]TJ./
T1_7 1 Tf.0 Tc -
17.251 -1.222 Td
.(0)Tj./T1_8 1 T
f.(.)Tj./T1_7 1 
Tf.(6)Tj./T1_8 1
 Tf.(\025)Tj./T1
_7 1 Tf.0.2214 T
c 1.974 0 Td.(\2
120)Tj./T1_8 1 T
f.0 Tc 1.406 0 T
d.(.)Tj./T1_7 1 
Tf.(8)Tj./T1_8 1
 Tf.(\026)Tj./T1
_4 1 Tf.-0.0002 
Tc 1.507 0 Td.(a
nd)Tj./T1_7 1 Tf
.0 Tc 1.73 0 Td.
(0)Tj./T1_8 1 Tf
.0.499 0 Td.(.)T
j./T1_7 1 Tf.(8)
Tj./T1_8 1 Tf.(\
025)Tj./T1_7 1 T
f.0.2214 Tc 1.47
4 0 Td.(+0)Tj./T
1_8 1 Tf.0 Tc 1.
406 0 Td.(.)Tj./
T1_7 1 Tf.(6)Tj.
/T1_8 1 Tf.(\026
)Tj./T1_4 1 Tf.0
.2869 Tc [(.C)28
6(a)287(n)1(y)30
5(o)287(ut)287(r
)289(a)287(n)287
(s)286(f)319(o)2
87(r)267(m)2(t)2
79(h)287(es)286(
e)296(t)1(i)287(
n)287(t)289(o)]T
J./T1_7 1 Tf.-0.
0002 Tc -9.999 -
1.223 Td.({4)Tj.
/T1_8 1 Tf.0 Tc 
(,)Tj./T1_7 1 Tf
.1.396 0 Td.(6)T
j./T1_8 1 Tf.(,)
Tj./T1_7 1 Tf.-0
.0001 Tc 0.916 0
 Td.(12})Tj./T1_
4 1 Tf.0 Tc (?)T
j./T1_5 1 Tf.-0.
0001 Tc -2.341 -
2.299 Td.(3.4.26
)Tj./T1_4 1 Tf.3
.056 0 Td.[(T)51
(w)26(o)-185(peo
ple)-184(t)-10(a
k)13(e)-184(tur)
-21(ns)-184(cutt
ing)-185(up)-185
(a)-183(r)2(ect)
-10(angular)-186
(c)16(hoco-)]TJ.
-3.027 -1.223 Td
.[(late)-291(bar
)-292(t)-8(hat)-
291(is)]TJ./T1_7
 1 Tf.0.222 Tc 6
.061 0 Td.(6\327
8)Tj./T1_4 1 Tf.
0.2913 Tc 2.375 
0 Td.[(s)291(q)3
05(u)291(a)292(r
)293(e)292(si)29
1(ns)291(i)291(z
)292(e)292(.)-1(
Y)359(o)291(ua)2
92(r)293(ea)292(
l)291(l)291(o)31
4(w)310(e)292(dt
)293(oc)292(u)29
1(t)]TJ.-0.0002 
Tc -8.436 -1.223
 Td.[(t)-8(he)-3
11(bar)-312(onl)
21(y)-311(along)
-311(a)-311(divi
sion)-311(be)9(t
w)18(een)-312(t)
-8(he)-311(s)-1(
q)13(uares)-311(
and)-312(y)18(ou
r)]TJ.-0.0004 Tc
 T*.[(cut)-236(c
an)-236(be)-236(
onl)21(y)-236(a)
-236(s)7(traight
)-235(line.)-236
(For)-236(e)21(x
)11(ample,)-237(
y)18(ou)-236(can
)-236(tur)-22(n)
-235(t)-8(he)]TJ
.0 -1.223 TD.[(o
r)-20(iginal)-24
0(bar)-240(into)
-240(a)]TJ./T1_7
 1 Tf.0.2225 Tc 
7.364 0 Td.(6\32
72)Tj./T1_4 1 Tf
.-0.0002 Tc 2.32
5 0 Td.[(piece)-
241(and)-240(a)]
TJ./T1_7 1 Tf.0.
2225 Tc 4.717 0 
Td.(6\3276)Tj./T
1_4 1 Tf.-0.0002
 Tc 2.325 0 Td.[
(piece,)-241(and
)-240(t)-8(his)-
241(lat-)]TJ.-0.
0004 Tc -16.73 -
1.223 Td.[(ter)-
287(piece)-288(c
an)-288(be)-287(
tur)-22(ned)-287
(into)-287(a)]TJ
./T1_7 1 Tf.0.22
2 Tc 12.079 0 Td
.(1\3276)Tj./T1_
4 1 Tf.-0.0002 T
c 2.371 0 Td.[(p
iece)-288(and)-2
87(a)]TJ./T1_7 1
 Tf.0.2225 Tc 4.
858 0 Td.(5\3276
)Tj./T1_4 1 Tf.-
0.0002 Tc 2.372 
0 Td.(piece.)Tj.
-21.68 -1.222 Td
.[(The)-205(las)
7(t)-204(pla)27(
y)23(er)-206(who
)-205(can)-206(b
reak)-205(t)-8(h
e)-205(c)16(hoco
late)-207(wins)-
205(\(and)-205(g
)15(e)9(ts)-205(
t)2(o)]TJ.T*.[(e
at)-223(t)-8(he)
-223(c)16(hocola
te)-225(bar\).)-
222(Is)-222(t)-8
(here)-224(a)-22
3(winning)-223(s
)7(trategy)-223(
f)32(or)-222(t)-
8(he)-224(\223rs
)7(t)]TJ.0 -1.22
2 TD.[(or)-299(s
econd)-298(pla)2
7(y)23(er?)-299(
What)-299(about)
-299(t)-8(he)-29
8(g)15(eneral)-2
99(case)-299(\(t
)-8(he)-298(s)7(
t)-10(ar)-23(tin
g)]TJ.0 -1.223 T
D.[(bar)-250(is)
]TJ./T1_8 1 Tf.0
 Tc 2.444 0 Td.(
*)Tj./T1_7 1 Tf.
0.932 0 Td.(\327
)Tj./T1_8 1 Tf.0
.862 0 Td.(\020)
Tj./T1_4 1 Tf.0.
0003 Tc (\)?)Tj.
/T1_5 1 Tf.-0.00
01 Tc -4.266 -1.
983 Td.(3.4.27)T
j./T1_4 1 Tf.0 T
c 3.056 0 Td.[(C
onsider)-485(a)-
485(r)6(o)22(w)-
485(of)]TJ./T1_7
 1 Tf.8.356 0 Td
.(2)Tj./T1_8 1 T
f.(\020)Tj./T1_4
 1 Tf.-0.0003 Tc
 1.483 0 Td.[(sq
)13(uares)-486(c
olored)-487(alte
r)-22(natel)21(y
)]TJ.-0.0001 Tc 
-12.866 -1.222 T
d.[(blac)22(k)-4
61(and)-461(whit
e.)-461(A)-460(l
eg)11(al)-461(mo
)22(v)24(e)-460(
consis)8(ts)-460
(of)-460(c)16(ho
osing)-461(an)24
(y)]TJ.-0.0002 T
c T*.[(contiguou
s)-347(se)9(t)-3
46(of)-347(s)-1(
q)13(uares)-347(
\(one)-346(or)-3
47(more)-346(s)-
1(q)13(uares,)-3
46(but)-347(if)-
346(y)18(ou)]TJ.
-0.0003 Tc T*.[(
pic)22(k)-265(mo
re)-266(t)-8(han
)-265(one)-266(s
q)13(uare)-266(y
)18(our)-265(sq)
13(uares)-266(mu
s)7(t)-265(be)-2
65(ne)21(xt)-266
(t)2(o)-265(one)
]TJ.0 Tc 0 -1.22
2 TD.[(ano)8(t)-
8(her)7(;)-290(i
.e.,)-291(no)-29
0(\215g)11(aps\2
16)-291(allo)22(
w)18(ed\),)-291(
and)-290(in)31(v
)24(er)-23(ting)
-291(t)-8(heir)-
290(colors.)]TJ.
-0.0004 Tc 0 -1.
223 TD.[(What)-3
78(is)-376(t)-8(
he)-377(minimum)
-378(number)-377
(of)-377(mo)22(v
)24(es)-378(req)
13(uired)-378(to
)-377(mak)13(e)]
TJ.-0.0001 Tc 0 
-1.222 TD.[(t)-8
(he)-264(entire)
-264(r)6(o)22(w)
-264(be)-264(one
)-264(color?)-26
4(Clear)7(l)21(y
)53(,)]TJ./T1_8 
1 Tf.0 Tc 14.877
 0 Td.(\020)Tj./
T1_4 1 Tf.-0.000
1 Tc 0.761 0 Td.
[(mo)22(v)24(es)
-265(will)-264(w
)26(or)7(k)-264(
\(f)32(or)]TJ.-0
.0003 Tc -15.638
 -1.223 Td.[(e)2
1(x)11(ample,)-2
51(in)31(v)24(er
)-24(t)-250(t)-8
(he)-250(1s)7(t)
-250(sq)13(uare,
)-250(t)-8(hen)-
250(t)-8(he)-250
(3rd)-250(s)-1(q
)13(uare,)-250(e
)9(tc.\),)-251(b
ut)]TJ.-0.0002 T
c 0 -1.223 TD.[(
can)-251(y)18(ou
)-250(do)-250(be
)9(tter)-251(t)-
8(han)-251(t)-8(
hat?)]TJ./T1_5 1
 Tf.-0.0001 Tc -
0.028 -1.982 Td.
(3.4.28)Tj./T1_4
 1 Tf.-0.0002 Tc
 3.056 0 Td.[(An
sw)18(er)-230(t)
-8(he)-229(s)-1(
ame)-229(q)13(ue
s)7(tion)-229(as
)-229(abo)22(v)2
4(e,)-230(e)21(x
)24(cept)-231(no
)22(w)-229(s)7(t
)-10(ar)-23(t)]T
J.-3.027 -1.223 
Td.[(wit)-8(h)-2
80(a)]TJ./T1_7 1
 Tf.0 Tc 2.79 0 
Td.(2)Tj./T1_8 1
 Tf.(\020)Tj./T1
_7 1 Tf.0.2222 T
c 1.22 0 Td.(\32
72)Tj./T1_8 1 Tf
.0 Tc 1.362 0 Td
.(\020)Tj./T1_4 
1 Tf.-0.0002 Tc 
0.777 0 Td.[(\21
5c)16(hec)22(k)1
3(erboard\216)-2
83(and)-281(a)-2
80(leg)11(al)-28
1(mo)22(v)24(e)-
281(consis)7(ts)
-280(of)]TJ.-0.0
001 Tc -6.148 -1
.223 Td.[(c)16(h
oosing)-250(an)2
4(y)-251(subrect
)-10(angle)-251(
and)-251(in)31(v
)24(er)-23(ting)
-251(its)-249(co
lors.)]TJ./T1_5 
1 Tf.-0.028 -1.9
82 Td.(3.4.29)Tj
./T1_4 1 Tf.3.05
6 0 Td.[(Sho)22(
w)-232(t)-8(hat)
-232(if)-231(e)1
9(v)24(er)-21(y)
-232(r)6(oom)-23
2(in)-231(a)-232
(house)-232(has)
-231(an)-232(e)1
9(v)24(en)-233(n
um-)]TJ.-3.027 -
1.223 Td.[(ber)-
218(of)-217(door
s,)-218(t)-8(hen
)-218(t)-8(he)-2
18(number)-219(o
f)-217(outside)-
218(entrance)-22
0(doors)-217(mus
)8(t)]TJ.-0.0002
 Tc 0 -1.222 TD.
[(be)-250(e)19(v
)24(en)-251(as)-
251(w)18(ell.)]T
J./T1_5 1 Tf.-0.
0001 Tc -0.028 -
1.983 Td.(3.4.30
)Tj./T1_4 1 Tf.-
0.0002 Tc 3.056 
0 Td.[(T)51(w)18
(enty)18(-t)-8(h
ree)-635(people,
)-635(eac)16(h)-
635(wit)-8(h)-63
4(integ)-10(ral)
-635(w)18(eight,
)]TJ.-0.0003 Tc 
-3.027 -1.222 Td
.[(decide)-257(t
o)-256(pla)27(y)
-256(f)32(oo)8(t
ball,)-257(separ
ating)-256(into)
-256(tw)26(o)-25
6(teams)-258(of)
-255(11)-256(peo
-)]TJ.-0.0002 Tc
 0 -1.223 TD.[(p
le,)-202(plus)-2
01(a)-202(r)2(ef
)34(eree.)-203(T
)32(o)-201(k)13(
eep)-203(t)-8(hi
ngs)-201(f)26(ai
r)26(,)-202(t)-8
(he)-202(teams)-
202(c)16(hosen)-
202(mus)7(t)]TJ.
T*.[(ha)32(v)24(
e)-180(eq)13(ual
)]TJ./T1_6 1 Tf.
-0.0048 Tc 4.344
 0 Td.[(tota)-5(
l)]TJ./T1_4 1 Tf
.-0.0001 Tc 2 0 
Td.[(w)18(eight.
)-181(It)-180(tu
r)-21(ns)-180(ou
t)-180(t)-8(hat)
-180(no)-181(mat
ter)-180(who)-18
1(is)-179(c)16(h
o-)]TJ.-0.0003 T
c -6.344 -1.222 
Td.[(sen)-255(t)
2(o)-255(be)-256
(t)-8(he)-255(re
f)34(eree,)-256(
t)-8(his)-256(ca
n)-256(alw)28(a)
27(y)13(s)-257(b
e)-255(done.)-25
6(Pr)6(o)22(v)24
(e)-256(t)-8(hat
)-255(t)-8(he)]T
J.-0.0001 Tc T*.
[(23)-250(people
)-251(mus)8(t)-2
50(all)-250(ha)3
2(v)24(e)-252(t)
-8(he)-250(s)-1(
ame)-250(w)18(ei
ght.)]TJ./T1_5 1
 Tf.-0.028 -1.98
2 Td.(3.4.31)Tj.
/T1_4 1 Tf.3.056
 0 Td.[(Consider
)-556(nine)-558(
lattice)-557(poi
nts)-558(in)-557
(t)-8(hree-dimen
sional)]TJ.-0.00
02 Tc -3.027 -1.
223 Td.[(space.)
-253(Sho)22(w)-2
54(t)-8(hat)-253
(t)-8(here)-253(
mus)7(t)-253(be)
-253(a)-254(latt
ice)-253(point)-
253(on)-254(t)-8
(he)-253(inter)-
19(ior)]TJ.0 Tc 
T*.[(of)-250(one
)-250(of)-250(t)
-8(he)-251(line)
-250(segments)-2
50(joining)-251(
tw)26(o)-250(of)
-250(t)-8(hese)-
251(points.)]TJ.
/T1_5 1 Tf.-0.00
01 Tc -0.028 -1.
982 Td.(3.4.32)T
j./T1_4 1 Tf.3.0
56 0 Td.[(The)-3
77(\223rs)8(t)-3
77(s)-1(ix)-376(
ter)-20(ms)-377(
of)-378(a)-376(s
eq)13(uence)-378
(are)]TJ./T1_7 1
 Tf.0 Tc 15.678 
0 Td.(0)Tj./T1_8
 1 Tf.(,)Tj./T1_
7 1 Tf.0.917 0 T
d.(1)Tj./T1_8 1 
Tf.(,)Tj./T1_7 1
 Tf.0.916 0 Td.(
2)Tj./T1_8 1 Tf.
(,)Tj./T1_7 1 Tf
.0.916 0 Td.(3)T
j./T1_8 1 Tf.(,)
Tj./T1_7 1 Tf.0.
916 0 Td.(4)Tj./
T1_8 1 Tf.(,)Tj.
/T1_7 1 Tf.0.917
 0 Td.(5)Tj./T1_
4 1 Tf.(.)Tj.-0.
0001 Tc -23.29 -
1.223 Td.[(Eac)1
6(h)-308(subseq)
13(uent)-309(ter
)-20(m)-308(is)-
309(t)-8(he)-309
(las)8(t)-308(di
git)-308(of)-308
(t)-8(he)-309(s)
-1(um)-307(of)-3
09(t)-8(he)-308(
s)-1(ix)]TJ.0 -1
.222 TD.[(pre)19
(vious)-292(ter)
-20(ms.)-291(In)
-291(o)8(t)-8(he
r)-291(w)26(ords
,)-291(t)-8(he)-
292(se)19(v)24(e
nt)-8(h)-292(ter
)-20(m)-291(is)-
291(5)-292(\(sin
ce)]TJ./T1_7 1 T
f.0.2222 Tc 0 -1
.223 TD.[(0+1+2+
3+4+5)-56(=)-56(
1)222(5)]TJ./T1_
4 1 Tf.0.2881 Tc
 10.888 0 Td.[(\
))288(,)1(t)280(
h)288(ee)288(i)2
88(g)288(h)288(t
)280(ht)288(e)28
8(r)268(mi)288(s
0\()288(s)288(i)
288(n)288(c)288(
e)]TJ./T1_7 1 Tf
.0.2217 Tc 11.74
4 0 Td.(1+)Tj.0.
2222 Tc -22.632 
-1.223 Td.[(2+3+
4+5+5)-56(=)-55(
2)222(0)]TJ./T1_
4 1 Tf.0 Tc 9.25
8 0 Td.[(\),)-48
2(e)9(tc.)-483(C
an)-482(t)-8(he)
-481(subseq)13(u
ence)-482(13579)
]TJ.-0.0003 Tc -
9.258 -1.222 Td.
[(occur)-250(an)
24(ywhere)-252(i
n)-250(t)-8(his)
-251(s)-1(eq)13(
uence?)]TJ.ET.EM
C..