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2f 54 31 5f  37 20 31 20  54 66 0a 38  2e 39 33 33 
20 30 20 54  64 0a 5b 28  5c 30 33 32  2c 29 2d 33 
33 34 28 5c  30 32 34 29  2d 34 30 28  2c 29 2d 33 
33 33 28 5c  72 29 5d 54  4a 0a 2f 54  31 5f 35 20 
31 20 54 66  0a 33 2e 36  39 34 20 30  20 54 64 0a 
5b 28 61 72  65 29 2d 33  32 33 28 61  6c 6c 29 2d 
33 32 33 28  66 29 32 35  28 61 69 72  29 36 28 6c 
29 32 31 28  79 29 5d 54  4a 0a 2d 30  2e 30 30 30 
32 20 54 63  20 2d 31 39  2e 30 36 34  20 2d 31 2e 
32 32 32 20  54 64 0a 28  70 6c 61 63  65 64 3f 29 
54 6a 0a 45  54 0a 45 4d  43 20 0a
/Part <</MCID 0 
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)-249(8in)-250(x
)-250(10in)]TJ.0
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8(c09.te)15(x)-1
000(V)-1(2)-250(
-)-250(10/11/201
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1000(P)16(age)-2
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913 0.504 re.f.3
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.405 18.009 re.f
.BT./T1_1 1 Tf.9
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.f.BT./T1_1 1 Tf
.9.9626 0 0 9.96
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)-278(Continuity
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.[(Le)10(t)]TJ./
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./T1_7 1 Tf.(\00
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9664 0 0 8.9664 
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287(in\223nite\)
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ce)-289(of)-287(
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.-0.0003 Tc -6.4
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nteg)15(ers.)-25
1(A)-250(creatur
e)-251(lik)13(e)
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_6 1 Tf.5.9776 0
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 Tf.8.9664 0 0 8
.9664 195.759 65
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 0 8.9664 205.74
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.3.54 0.58 Td.(1
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 1 Tf.8.9664 0 0
 8.9664 215.073 
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6)Tj./T1_6 1 Tf.
5.9776 0 0 5.977
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.(+)Tj.2.397 0.5
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.809 0.594 re.f.
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9664 0 0 8.9664 
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j.8.9664 0 0 8.9
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.252 8.307 0.594
 re.f.BT./T1_8 1
 Tf.8.9664 0 0 8
.9664 253.692 62
5.0261 Tm.(\003)
Tj./T1_5 1 Tf.-0
.0001 Tc -15.597
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-327(called)-327
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ontinued)-327(fr
)28(action)]TJ./
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0 Td.[(and)-327(
is)-326(s)-1(ome
)9(times)-328(de
no)8(ted)-327(b)
20(y)]TJ./T1_6 1
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/T1_6 1 Tf.0 Tc 
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 1 Tf.0.1666 Tc 
8.9664 0 0 8.966
4 136.539 598.20
61 Tm.(,\006)Tj.
/T1_6 1 Tf.0 Tc 
5.9776 0 0 5.977
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 1 Tf.8.9664 0 0
 8.9664 148.266 
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j./T1_6 1 Tf.-0.
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_5 1 Tf.0 Tc (.)
Tj.-0.0002 Tc -3
.477 -2.337 Td.[
(\(a\))-556(Giv)
24(e)-892(a)-893
(r)-19(igor)6(ou
s)-892(inter)-26
(pre)9(t)-10(ati
on)-893(of)-893(
t)-8(he)-893(num
ber)]TJ./T1_6 1 
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.223 Td.([)Tj./T
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_6 1 Tf.0 Tc 5.9
776 0 0 5.9776 1
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m.(1)Tj./T1_7 1 
Tf.0.1666 Tc 8.9
664 0 0 8.9664 1
58.463 566.2921 
Tm.(,\006)Tj./T1
_6 1 Tf.0 Tc 5.9
776 0 0 5.9776 1
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m.(2)Tj./T1_7 1 
Tf.8.9664 0 0 8.
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.2921 Tm.(,)Tj./
T1_6 1 Tf.-0.000
2 Tc 0.417 0 Td.
(\203])Tj./T1_5 
1 Tf.0 Tc (.)Tj.
-5.977 -2.071 Td
.[(\(b\))-556(Ev
)20(aluate)]TJ./
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[1)Tj./T1_7 1 Tf
.0 Tc 0.833 0 Td
.(,)Tj./T1_6 1 T
f.0.417 0 Td.(1)
Tj./T1_7 1 Tf.(,
)Tj./T1_6 1 Tf.0
.916 0 Td.(1)Tj.
/T1_7 1 Tf.(,)Tj
./T1_6 1 Tf.-0.0
002 Tc 0.916 0 T
d.(\203])Tj./T1_
5 1 Tf.0 Tc (.)T
j.-0.0001 Tc -8.
478 -2.072 Td.[(
\(c\))-556(Ev)20
(aluate)]TJ./T1_
6 1 Tf.0.0003 Tc
 5.395 0 Td.([1)
Tj./T1_7 1 Tf.0 
Tc 0.833 0 Td.(,
)Tj./T1_6 1 Tf.0
.417 0 Td.(2)Tj.
/T1_7 1 Tf.(,)Tj
./T1_6 1 Tf.0.91
6 0 Td.(1)Tj./T1
_7 1 Tf.(,)Tj./T
1_6 1 Tf.0.916 0
 Td.(2)Tj./T1_7 
1 Tf.(,)Tj./T1_6
 1 Tf.-0.0002 Tc
 0.916 0 Td.(\20
3])Tj./T1_5 1 Tf
.0 Tc (.)Tj.-0.0
001 Tc -9.451 -2
.071 Td.[(\(d\))
-556(F)5(ind)-45
8(a)-457(seq)13(
uence)]TJ./T1_6 
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0 Td.(\()Tj./T1_
7 1 Tf.(\006)Tj.
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1 Tm.(\017)Tj./T
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0 0 8.9664 212.1
57 510.582 Tm.(\
))Tj./T1_5 1 Tf.
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 0 Td.[(of)-458(
positiv)24(e)-45
7(integ)15(ers)-
459(s)-1(uc)16(h
)-458(t)-8(hat)]
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.0 Tc 5.9776 0 0
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j./T1_7 1 Tf.0.1
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0 8.9664 182.385
 498.396 Tm.(,\0
06)Tj./T1_6 1 Tf
.0 Tc 5.9776 0 0
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./T1_7 1 Tf.8.96
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.(,)Tj./T1_6 1 T
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j./T1_5 1 Tf.-0.
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(C)-1(an)-550(t)
-9(here)-550(be)
-551(more)-550(t
)-9(han)-551(one
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.[(seq)13(uence?
)]TJ.-0.0003 Tc 
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.[(\(e\))-557(Sh
o)22(w)-381(t)-8
(hat)-381(t)-8(h
ere)-382(does)-3
81(no)8(t)-382(e
)21(xis)7(t)-381
(a)-381(repeatin
g)-383(s)-1(eq)1
3(uence)]TJ./T1_
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6 -1.223 Td.(\()
Tj./T1_7 1 Tf.(\
006)Tj.5.9776 0 
0 5.9776 143.253
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17)Tj./T1_6 1 Tf
.8.9664 0 0 8.96
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051 Tm.(\))Tj./T
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(suc)16(h)-250(t
)-8(hat)]TJ./T1_
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.ET.202.752 444.
765 4.491 0.594 
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)Tj./T1_7 1 Tf.0
.1666 Tc 8.9664 
0 0 8.9664 229.3
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\006)Tj./T1_6 1 
Tf.0 Tc 5.9776 0
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Tj./T1_7 1 Tf.0.
1666 Tc 8.9664 0
 0 8.9664 241.05
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006)Tj./T1_6 1 T
f.0 Tc 5.9776 0 
0 5.9776 249.291
 433.398 Tm.(2)T
j./T1_7 1 Tf.8.9
664 0 0 8.9664 2
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m.(,)Tj./T1_6 1 
Tf.-0.0002 Tc 0.
417 0 Td.(\203])
Tj./T1_7 1 Tf.0 
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(9.2.14)Tj./T1_5
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.[(Carefull)21(y
)-220(pr)6(o)22(
v)24(e)-220(t)-8
(he)-221(asser)-
23(tion)-219(s)8
(t)-10(ated)-220
(on)-221(pag)15(
e)-221(319,)-220
(t)-8(hat)]TJ.-0
.0002 Tc -3.028 
-1.222 Td.[(all)
-251(bounded)-25
1(mono)8(tonic)-
251(s)-1(eq)13(u
ences)-252(con)3
1(v)24(er)16(g)1
5(e.)]TJ./T1_4 1
 Tf.-0.0001 Tc -
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(9.2.15)Tj./T1_9
 1 Tf.0.0001 Tc 
3.056 0 Td.[(Den
se)-268(Se)16(ts
.)]TJ./T1_5 1 Tf
.4.879 0 Td.[(A)
-268(subse)10(t)
]TJ./T1_7 1 Tf.0
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\027)Tj./T1_5 1 
Tf.-0.0001 Tc 0.
988 0 Td.[(of)-2
67(t)-8(he)-268(
r)2(eal)-268(num
bers)-268(is)-26
8(called)]TJ./T1
_9 1 Tf.0 Tc -12
.644 -1.222 Td.(
dense)Tj./T1_5 1
 Tf.-0.0002 Tc 2
.605 0 Td.[(if,)
-326(giv)24(en)-
328(an)24(y)-328
(r)2(eal)-327(nu
mber)]TJ./T1_7 1
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1_5 1 Tf.-0.0006
 Tc [(,)-328(t)-
9(here)-327(are)
-327(elements)-3
29(of)]TJ./T1_7 
1 Tf.0 Tc 10.048
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T1_5 1 Tf.-0.000
4 Tc -23.32 -1.2
23 Td.[(t)-8(hat
)-245(are)-244(a
rbitrar)-20(il)2
1(y)-245(close)-
244(to)]TJ./T1_7
 1 Tf.0 Tc 10.77
4 0 Td.(\007)Tj.
/T1_5 1 Tf.-0.00
05 Tc [(.)-245(F
)4(or)-245(e)21(
x)11(ample,)]TJ.
/T1_11 1 Tf.0 Tc
 6.52 0 Td.(\003
)Tj./T1_5 1 Tf.1
.01 0 Td.[(is)-2
43(dense,)-245(s
ince)]TJ.-0.0002
 Tc -18.303 -1.2
23 Td.[(an)24(y)
-348(r)2(eal)-34
7(number)-349(ca
n)-348(be)-348(a
ppr)6(o)22(ximat
ed)-348(arbitrar
)-19(il)21(y)-34
7(w)18(ell)-349(
wit)-8(h)]TJ.0 -
1.222 TD.[(fract
ions)-259(\(look
)-257(at)-258(de
cimal)-259(appr)
6(o)22(ximations
\).)-258(Here)-2
58(is)-258(a)-25
8(f)32(or)-20(ma
l)]TJ.-0.0001 Tc
 0 -1.223 TD.(de
\223nition:)Tj./
T1_9 1 Tf.2.445 
-2.065 Td.[(A)-3
60(s)-1(e)15(t)-
360(of)-360(r)31
(eal)-360(number
)17(s)]TJ./T1_7 
1 Tf.0 Tc 9.294 
0 Td.(\027)Tj./T
1_9 1 Tf.1.081 0
 Td.[(is)-360(de
nse)-360(if,)-36
0(giv)20(en)-361
(an)7(y)]TJ./T1_
7 1 Tf.-10.375 -
1.223 Td.(\007)T
j./T1_6 1 Tf.0.8
27 0 Td.(\b)Tj./
T1_11 1 Tf.0.963
 0 Td.(\002)Tj./
T1_9 1 Tf.-0.000
1 Tc 1.128 0 Td.
(and)Tj./T1_7 1 
Tf.0.3178 Tc 1.8
82 0 Td.(\003>)T
j./T1_6 1 Tf.0 T
c 1.71 0 Td.(0)T
j./T1_9 1 Tf.0.3
814 Tc [(,t)385(
h)382(e)382(r)41
2(ee)394(x)382(i
)381(s)387(t)381
(s)]TJ./T1_7 1 T
f.0 Tc 6.117 0 T
d.( )Tj./T1_6 1 
Tf.0.718 0 Td.(\
b)Tj./T1_7 1 Tf.
0.963 0 Td.(\027
)Tj./T1_9 1 Tf.-
0.0007 Tc 1.101 
0 Td.[(suc)26(h)
-382(that)]TJ./T
1_10 1 Tf.0 Tc -
15.409 -1.223 Td
.(\004)Tj./T1_7 
1 Tf.( )Tj./T1_6
 1 Tf.0.982 0 Td
.(\212)Tj./T1_7 
1 Tf.0.907 0 Td.
(\007)Tj./T1_10 
1 Tf.(\004)Tj./T
1_7 1 Tf.0.2786 
Tc 1.147 0 Td.(<
\003)Tj./T1_9 1 
Tf.0 Tc 1.433 0 
Td.(.)Tj./T1_5 1
 Tf.-0.0003 Tc -
6.915 -2.021 Td.
[(More)-258(g)15
(enerall)21(y)53
(,)-259(w)18(e)-
258(sa)27(y)-258
(t)-8(hat)-258(t
)-8(he)-258(se)9
(t)]TJ./T1_7 1 T
f.0 Tc 14.141 0 
Td.(\027)Tj./T1_
5 1 Tf.0.0001 Tc
 0.978 0 Td.[(is
)-257(dense)-257
(in)-258(t)-8(he
)-257(se)10(t)]T
J./T1_7 1 Tf.0 T
c 7.343 0 Td.(!)
Tj./T1_5 1 Tf.0.
968 0 Td.(if)Tj.
-0.0003 Tc -23.4
29 -1.223 Td.[(a
n)24(y)]TJ./T1_7
 1 Tf.0 Tc 1.71 
0 Td.(\f)Tj./T1_
6 1 Tf.0.59 0 Td
.(\b)Tj./T1_7 1 
Tf.0.963 0 Td.(!
)Tj./T1_5 1 Tf.-
0.0002 Tc 1 0 Td
.[(can)-291(be)-
290(appr)6(o)22(
ximated)-291(arb
itrar)-19(il)21(
y)-290(w)18(ell)
-291(b)20(y)-290
(elements)]TJ.-0
.0001 Tc -4.263 
-1.222 Td.(of)Tj
./T1_7 1 Tf.0 Tc
 1.093 0 Td.(\02
7)Tj./T1_5 1 Tf.
-0.0002 Tc 0.721
 0 Td.[(.)-260(F
)5(or)-260(e)21(
x)11(ample,)-262
(t)-8(he)-261(s)
-1(e)9(t)-260(of
)-260(positiv)24
(e)-261(fraction
s)-261(wit)-8(h)
-261(denom-)]TJ.
-0.0003 Tc -1.81
4 -1.223 Td.[(in
ator)-393(g)-10(
r)2(eater)-393(t
)-8(han)-392(num
erator)-393(is)-
392(dense)-391(i
n)-393(t)-8(he)-
391(unit)-393(in
ter)-21(v)20(al)
]TJ./T1_6 1 Tf.0
.0003 Tc T*.([0)
Tj./T1_7 1 Tf.0 
Tc 0.833 0 Td.(,
)Tj./T1_6 1 Tf.-
0.0001 Tc 0.417 
0 Td.(1])Tj./T1_
5 1 Tf.0 Tc (.)T
j.-0.0001 Tc -0.
471 -2.337 Td.[(
\(a\))-556(Obser
)-20(v)24(e)-256
(t)-8(hat)-256(\
215)]TJ./T1_7 1 
Tf.0 Tc (\027)Tj
./T1_5 1 Tf.8.43
4 0 Td.[(is)-255
(dense)-257(in)]
TJ./T1_7 1 Tf.4.
49 0 Td.(!)Tj./T
1_5 1 Tf.-0.0001
 Tc 0.71 0 Td.[(
\216)-256(is)-25
6(eq)13(uiv)20(a
lent)-257(t)2(o)
-256(s)-1(a)27(y
ing)]TJ.-0.0003 
Tc -11.967 -1.22
3 Td.[(t)-8(hat)
-216(f)32(or)-21
7(eac)16(h)]TJ./
T1_7 1 Tf.0 Tc 5
.106 0 Td.(\f)Tj
./T1_6 1 Tf.0.59
1 0 Td.(\b)Tj./T
1_7 1 Tf.0.963 0
 Td.(!)Tj./T1_5 
1 Tf.-0.0003 Tc 
0.71 0 Td.[(,)-2
17(t)-8(here)-21
7(is)-217(an)-21
7(in\223nite)-21
7(seq)13(uence)]
TJ./T1_6 1 Tf.0 
Tc 11.653 0 Td.(
\()Tj./T1_7 1 Tf
.( )Tj.5.9776 0 
0 5.9776 313.254
 187.284 Tm.(")T
j./T1_6 1 Tf.8.9
664 0 0 8.9664 3
16.989 189.5251 
Tm.(\))Tj./T1_5 
1 Tf.-0.0001 Tc 
0.549 0 Td.(of)T
j.-20.761 -1.222
 Td.[(elements)-
250(in)]TJ./T1_7
 1 Tf.0 Tc 4.832
 0 Td.(\027)Tj./
T1_5 1 Tf.-0.000
1 Tc 0.971 0 Td.
[(suc)16(h)-250(
t)-8(hat)]TJ./T1
_6 1 Tf.0 Tc 3.9
56 0 Td.(lim)Tj.
/T1_7 1 Tf.5.977
6 0 0 5.9776 222
.093 173.1901 Tm
.(")Tj./T1_12 1 
Tf.(\002)Tj./T1_
6 1 Tf.(\006)Tj.
/T1_7 1 Tf.8.966
4 0 0 8.9664 237
.897 178.572 Tm.
( )Tj.5.9776 0 0
 5.9776 241.839 
176.322 Tm.(")Tj
./T1_6 1 Tf.8.96
64 0 0 8.9664 24
8.067 178.572 Tm
.(=)Tj./T1_7 1 T
f.0.963 0 Td.(\f
)Tj./T1_5 1 Tf.(
.)Tj.-0.0001 Tc 
11.719 58.062 Td
.[(\(b\))-555(Sh
o)22(w)-406(t)-8
(hat)-407(t)-8(h
e)-406(se)9(t)-4
06(of)-406(r)2(e
al)-407(numbers)
-407(t)-8(hat)-4
07(are)-406(zer)
6(os)-407(of)]TJ
.-0.0002 Tc 1.72
1 -1.223 Td.[(q)
13(uadratic)-251
(eq)13(uations)-
252(wit)-8(h)-25
0(integ)15(er)-2
51(coe\003cients
)-252(is)-251(de
nse.)]TJ.0 Tc -1
.666 -1.817 Td.[
(\(c\))-556(Le)9
(t)]TJ./T1_7 1 T
f.3.236 0 Td.(\0
33)Tj./T1_5 1 Tf
.-0.0001 Tc 1.05
1 0 Td.[(be)-247
(t)-8(he)-247(s)
-1(e)9(t)-246(of
)]TJ./T1_9 1 Tf.
-0.0003 Tc 5.094
 0 Td.[(dyadic)-
248(r)27(ational
s)]TJ./T1_5 1 Tf
.-0.0002 Tc [(,)
-246(t)-8(he)-24
6(rational)-247(
num-)]TJ.-0.0001
 Tc -7.715 -1.22
2 Td.[(bers)-445
(whose)-444(deno
minators)-446(ar
e)-445(po)22(w)1
8(ers)-445(of)-4
45(tw)26(o)-446(
\(some)]TJ.-0.00
08 Tc T*.[(e)21(
x)10(amples)-432
(are)]TJ./T1_6 1
 Tf.-0.0001 Tc 5
.821 0 Td.(1\007
2)Tj./T1_7 1 Tf.
0 Tc (,)Tj./T1_6
 1 Tf.-0.0001 Tc
 2.106 0 Td.(5\0
078)Tj./T1_7 1 T
f.0 Tc (,)Tj./T1
_6 1 Tf.-0.0001 
Tc 2.106 0 Td.(1
037\007256)Tj./T
1_5 1 Tf.0 Tc [(
\).)-430(Sho)22(
w)-430(t)-8(hat)
]TJ./T1_7 1 Tf.9
.66 0 Td.(\033)T
j./T1_5 1 Tf.0.0
001 Tc 1.235 0 T
d.(is)Tj.-0.0001
 Tc -20.928 -1.2
23 Td.(dense.)Tj
.0.0001 Tc -1.72
1 -1.817 Td.[(\(
d\))-555(Le)10(t
)]TJ./T1_7 1 Tf.
0 Tc 3.326 0 Td.
(\027)Tj./T1_5 1
 Tf.-0.0002 Tc 1
.001 0 Td.[(be)-
281(t)-8(he)-281
(s)-1(e)9(t)-280
(of)-281(real)-2
80(numbers)-282(
in)]TJ./T1_6 1 T
f.0.0003 Tc 11.7
92 0 Td.([0)Tj./
T1_7 1 Tf.0 Tc 0
.833 0 Td.(,)Tj.
/T1_6 1 Tf.-0.00
01 Tc 0.417 0 Td
.(1])Tj./T1_5 1 
Tf.1.113 0 Td.[(
whose)-281(deci-
)]TJ.-0.0002 Tc 
-16.76 -1.222 Td
.[(mal)-280(r)2(
epresent)-10(ati
on)-281(cont)-10
(ains)-281(no)-2
81(3s.)-279(Sho)
22(w)-281(t)-8(h
at)]TJ./T1_7 1 T
f.0 Tc 18.377 0 
Td.(\027)Tj./T1_
5 1 Tf.-0.0001 T
c 1.001 0 Td.[(i
s)-280(no)8(t)]T
J.0 Tc -19.378 -
1.223 Td.[(dense
)-250(in)]TJ./T1
_6 1 Tf.0.0003 T
c 3.554 0 Td.([0
)Tj./T1_7 1 Tf.0
 Tc 0.833 0 Td.(
,)Tj./T1_6 1 Tf.
-0.0001 Tc 0.417
 0 Td.(1])Tj./T1
_5 1 Tf.0 Tc (.)
Tj./T1_4 1 Tf.-0
.0001 Tc -7.276 
-2.128 Td.(9.2.1
6)Tj./T1_5 1 Tf.
3.056 0 Td.(De\2
23ne)Tj./T1_10 1
 Tf.0 Tc 3.1 0 T
d.(\021)Tj./T1_7
 1 Tf.(\007)Tj./
T1_10 1 Tf.(\022
)Tj./T1_6 1 Tf.-
0.0001 Tc 1.628 
0 Td.(\004=)Tj./
T1_7 1 Tf.0 Tc 1
.474 0 Td.(\007)
Tj./T1_6 1 Tf.0.
772 0 Td.(\212)T
j./T1_10 1 Tf.0.
907 0 Td.(\013)T
j./T1_7 1 Tf.0.4
7 0 Td.(\007)Tj.
/T1_10 1 Tf.(\f)
Tj./T1_5 1 Tf.0.
4316 Tc [(.I)431
(no)440(t)424(h)
432(e)432(r)-1(w
)458(o)432(r)433
(d)432(s)431(,)]
TJ./T1_10 1 Tf.0
 Tc (\021)Tj./T1
_7 1 Tf.(\007)Tj
./T1_10 1 Tf.(\0
22)Tj./T1_5 1 Tf
.0.0001 Tc 10.33
2 0 Td.[(is)-432
(t)-8(he)]TJ.-0.
0002 Tc -21.711 
-1.222 Td.[(\215
fractional)-252(
par)-23(t\216)-2
50(of)]TJ./T1_7 
1 Tf.0 Tc 7.88 0
 Td.(\007)Tj./T1
_5 1 Tf.-0.0005 
Tc [(;)-250(f)31
(or)-251(e)21(x)
11(ample,)]TJ./T
1_10 1 Tf.0 Tc 6
.315 0 Td.(\021)
Tj./T1_7 1 Tf.(\
034)Tj./T1_10 1 
Tf.1.009 0 Td.(\
022)Tj./T1_6 1 T
f.0.2776 Tc 0.67
7 0 Td.(=0)Tj./T
1_7 1 Tf.0 Tc 1.
462 0 Td.(.)Tj./
T1_6 1 Tf.-0.000
1 Tc [(14159)-16
8(\203)]TJ./T1_5
 1 Tf.0.2499 Tc 
4.167 0 Td.[(.L)
250(e)259(t)]TJ.
/T1_7 1 Tf.0 Tc 
-16.792 -1.835 T
d.(\006)Tj./T1_6
 1 Tf.0.2776 Tc 
0.78 0 Td.(=0)Tj
./T1_7 1 Tf.0 Tc
 1.462 0 Td.(.)T
j./T1_6 1 Tf.-0.
0001 Tc [(123456
789101112131415)
-170(\203)-167(;
)]TJ./T1_5 1 Tf.
-0.0002 Tc -6.96
 -1.834 Td.[(in)
-374(o)8(t)-8(he
r)-374(w)26(ords
,)]TJ./T1_7 1 Tf
.0 Tc 6.62 0 Td.
(\006)Tj./T1_6 1
 Tf.5.9776 0 0 5
.9776 419.139 53
5.6741 Tm.(0)Tj.
/T1_5 1 Tf.-0.00
01 Tc 8.9664 0 0
 8.9664 425.97 5
37.915 Tm.[(is)-
374(t)-8(he)-373
(number)-375(f)3
2(or)-20(med)-37
3(b)20(y)-374(wr
)-19(iting)-373(
e)19(v)24(er)-21
(y)]TJ.-0.0002 T
c -7.883 -1.223 
Td.[(positiv)24(
e)-327(integ)15(
er)-328(in)-327(
order)-327(af)-1
0(ter)-328(t)-8(
he)-327(decimal)
-327(point.)-327
(Sho)22(w)-327(t
)-8(hat)]TJ.0.00
81 Tc T*.[(th)8(
e)-242(s)8(e)18(
t)]TJ./T1_6 1 Tf
.0 Tc 7.267 -1.2
22 Td.({)Tj./T1_
10 1 Tf.(\021)Tj
./T1_7 1 Tf.(\00
6)Tj./T1_10 1 Tf
.(\022)Tj./T1_7 
1 Tf.(,)Tj./T1_1
0 1 Tf.2.199 0 T
d.(\021)Tj./T1_6
 1 Tf.-0.0001 Tc
 (10)Tj./T1_7 1 
Tf.0 Tc (\006)Tj
./T1_10 1 Tf.(\0
22)Tj./T1_7 1 Tf
.(,)Tj./T1_10 1 
Tf.2.718 0 Td.(\
021)Tj./T1_6 1 T
f.-0.0001 Tc (10
)Tj.0 Tc 5.9776 
0 0 5.9776 477.0
9 508.6201 Tm.(2
)Tj./T1_7 1 Tf.8
.9664 0 0 8.9664
 480.573 505.038
1 Tm.(\006)Tj./T
1_10 1 Tf.(\022)
Tj./T1_7 1 Tf.(,
)Tj./T1_6 1 Tf.-
0.0002 Tc 1.319 
0 Td.(\203})Tj./
T1_5 1 Tf.0 Tc -
15.292 -1.501 Td
.[(is)-371(dense
)-371(in)]TJ./T1
_6 1 Tf.0.0003 T
c 4.835 0 Td.([0
)Tj./T1_7 1 Tf.0
 Tc 0.833 0 Td.(
,)Tj./T1_6 1 Tf.
-0.0001 Tc 0.417
 0 Td.(1])Tj./T1
_5 1 Tf.1.203 0 
Td.[(\(see)-370(
Pr)6(oblem)-371(
9.2.15)-371(f)32
(or)-371(t)-8(he
)-371(de\223niti
on)-371(of)]TJ.-
7.288 -1.223 Td.
(\215dense\216\)
.)Tj./T1_4 1 Tf.
-0.027 -2.127 Td
.(9.2.17)Tj./T1_
5 1 Tf.0.0003 Tc
 3.056 0 Td.[(Le
)10(t)]TJ./T1_7 
1 Tf.0 Tc 1.574 
0 Td.(\031)Tj./T
1_5 1 Tf.-0.0002
 Tc 0.814 0 Td.[
(be)-250(ir)-27(
rational.)]TJ.-0
.0001 Tc -4.637 
-2.04 Td.[(\(a\)
)-556(Sho)22(w)-
250(t)-8(hat)-25
1(t)-8(he)-250(s
eq)13(uence)]TJ.
/T1_10 1 Tf.0 Tc
 8.792 -1.834 Td
.(\021)Tj./T1_7 
1 Tf.(\031)Tj./T
1_10 1 Tf.0.965 
0 Td.(\022)Tj./T
1_7 1 Tf.(,)Tj./
T1_10 1 Tf.0.816
 0 Td.(\021)Tj./
T1_6 1 Tf.(2)Tj.
/T1_7 1 Tf.(\031
)Tj./T1_10 1 Tf.
1.464 0 Td.(\022
)Tj./T1_7 1 Tf.(
,)Tj./T1_10 1 Tf
.0.816 0 Td.(\02
1)Tj./T1_6 1 Tf.
(3)Tj./T1_7 1 Tf
.(\031)Tj./T1_10
 1 Tf.1.464 0 Td
.(\022)Tj./T1_7 
1 Tf.(,)Tj./T1_6
 1 Tf.0.817 0 Td
.(\203)Tj./T1_5 
1 Tf.-0.0002 Tc 
-13.469 -1.835 T
d.[(cont)-10(ain
s)-357(a)-356(s)
-1(ubseq)13(uenc
e)-357(t)-8(hat)
-356(con)31(v)24
(er)16(g)15(es)-
358(to)-356(zer)
6(o.)-356(Hint:)
]TJ.-0.0003 Tc 0
 -1.222 TD.[(Fir
s)7(t)-222(use)-
222(t)-8(he)-223
(pig)15(eonhole)
-224(pr)-20(inci
ple)-224(to)-223
(sho)22(w)-222(t
)-8(hat)-223(one
)-224(can)]TJ.-0
.0002 Tc 0 -1.22
3 TD.[(g)15(e)9(
t)-259(tw)26(o)-
258(points)-260(
in)-258(t)-8(his
)-259(s)-1(eq)13
(uence)-259(arbi
trar)-19(il)21(y
)-259(close)-258
(to)-259(one)]TJ
.T*.[(ano)8(t)-8
(her)48(.)]TJ.0 
Tc -1.721 -1.817
 Td.[(\(b\))-555
(Sho)22(w)-250(t
)-8(hat)-251(t)-
8(he)-250(se)9(t
)]TJ./T1_6 1 Tf.
8.367 -1.834 Td.
({)Tj./T1_10 1 T
f.(\021)Tj./T1_7
 1 Tf.(\031)Tj./
T1_10 1 Tf.1.444
 0 Td.(\022)Tj./
T1_7 1 Tf.(,)Tj.
/T1_10 1 Tf.0.81
6 0 Td.(\021)Tj.
/T1_6 1 Tf.(2)Tj
./T1_7 1 Tf.(\03
1)Tj./T1_10 1 Tf
.1.464 0 Td.(\02
2)Tj./T1_7 1 Tf.
(,)Tj./T1_10 1 T
f.0.816 0 Td.(\0
21)Tj./T1_6 1 Tf
.(3)Tj./T1_7 1 T
f.(\031)Tj./T1_1
0 1 Tf.1.464 0 T
d.(\022)Tj./T1_7
 1 Tf.(,)Tj./T1_
6 1 Tf.-0.0002 T
c 0.817 0 Td.(\2
03})Tj./T1_5 1 T
f.0 Tc -13.469 -
1.835 Td.[(is)-3
22(dense)-323(in
)]TJ./T1_6 1 Tf.
0.0003 Tc 4.689 
0 Td.([0)Tj./T1_
7 1 Tf.0 Tc 0.83
3 0 Td.(,)Tj./T1
_6 1 Tf.-0.0001 
Tc 0.417 0 Td.(1
])Tj./T1_5 1 Tf.
[(.)-323(\(See)-
322(Pr)6(oblem)-
323(9.2.15)-323(
f)32(or)-323(t)-
8(he)-322(de\223
ni-)]TJ.-5.938 -
1.223 Td.[(tion)
-314(of)-314(\21
5dense\216)-315(
and)-314(Pr)6(ob
lem)-314(9.2.16)
-315(f)32(or)-31
4(t)-8(he)-314(d
e\223nition)]TJ.
0 -1.222 TD.(of)
Tj./T1_10 1 Tf.0
 Tc 1.083 0 Td.(
\021)Tj./T1_7 1 
Tf.(\007)Tj./T1_
10 1 Tf.(\022)Tj
./T1_5 1 Tf.-0.0
001 Tc (.\))Tj./
T1_4 1 Tf.-3.555
 -2.128 Td.(9.2.
18)Tj./T1_5 1 Tf
.3.056 0 Td.[(Co
nsider)-270(a)-2
71(circle)-272(w
it)-8(h)-271(r)2
(adius)-271(3)-2
71(and)-271(cent
er)-272(at)-271(
t)-8(he)-271(or)
-19(i-)]TJ.0 Tc 
-3.028 -1.222 Td
.[(gin.)-461(P)1
6(oints)]TJ./T1_
7 1 Tf.4.936 0 T
d.(\032)Tj./T1_5
 1 Tf.-0.0002 Tc
 1.177 0 Td.(and
)Tj./T1_7 1 Tf.0
 Tc 1.904 0 Td.(
\024)Tj./T1_5 1 
Tf.-0.0003 Tc 1.
196 0 Td.[(ha)32
(v)24(e)-462(coo
rdinates)]TJ./T1
_6 1 Tf.0.0003 T
c 7.361 0 Td.(\(
2)Tj./T1_7 1 Tf.
0 Tc 0.833 0 Td.
(,)Tj./T1_6 1 Tf
.-0.0001 Tc 0.41
7 0 Td.(0\))Tj./
T1_5 1 Tf.-0.000
2 Tc 1.294 0 Td.
(and)Tj./T1_6 1 
Tf.-0.0001 Tc 1.
904 0 Td.(\(\212
2)Tj./T1_7 1 Tf.
0 Tc (,)Tj./T1_6
 1 Tf.-0.0001 Tc
 1.935 0 Td.(0\)
)Tj./T1_5 1 Tf.0
 Tc (,)Tj.-0.000
2 Tc -22.957 -1.
223 Td.[(respect
iv)24(el)21(y)71
(.)-300(If)-298(
a)-298(dar)-23(t
)-298(is)-298(t)
-8(hr)6(o)22(wn)
-298(at)-298(t)-
8(he)-298(circle
,)-298(t)-8(hen)
-299(assuming)]T
J.-0.0001 Tc 0 -
1.223 TD.[(a)-25
6(unif)32(or)-20
(m)-255(dis)8(tr
)-19(ibution,)-2
55(it)-255(is)-2
55(clear)-256(t)
-8(hat)-255(t)-8
(he)-256(pr)6(ob
abilities)-255(o
f)-255(t)-8(he)]
TJ.-0.0003 Tc 0 
-1.222 TD.[(f)32
(ollo)22(wing)-2
51(tw)26(o)-251(
e)19(v)24(ents)-
251(are)-251(eq)
13(ual.)]TJ./T1_
6 1 Tf.0 Tc 13.9
477 0 0 13.9477 
367.344 228.027 
Tm.(\002)Tj./T1_
5 1 Tf.8.9664 0 
0 8.9664 377.207
8 228.027 Tm.[(T
he)-250(dar)-23(
t)-250(is)-250(c
loser)-250(t)2(o
)]TJ./T1_7 1 Tf.
8.214 0 Td.(\032
)Tj./T1_5 1 Tf.0
.0081 Tc 0.967 0
 Td.[(th)8(a)8(n
)-243(t)10(o)]TJ
./T1_7 1 Tf.0 Tc
 3.006 0 Td.(\02
4)Tj./T1_5 1 Tf.
0.736 0 Td.(.)Tj
./T1_6 1 Tf.13.9
477 0 0 13.9477 
367.344 214.572 
Tm.(\002)Tj./T1_
5 1 Tf.8.9664 0 
0 8.9664 377.207
8 214.572 Tm.[(T
he)-250(dar)-23(
t)-250(is)-250(c
loser)-250(t)2(o
)]TJ./T1_7 1 Tf.
8.214 0 Td.(\024
)Tj./T1_5 1 Tf.0
.0081 Tc 0.986 0
 Td.[(th)8(a)8(n
)-243(t)10(o)]TJ
./T1_7 1 Tf.-0.0
003 Tc 3.006 0 T
d.(\032.)Tj./T1_
5 1 Tf.0 Tc -14.
651 -1.722 Td.[(
W)61(e)-286(call
)-285(t)-8(he)-2
85(tw)26(o)-285(
points)-285(\215
f)26(air)7(l)21(
y)-285(placed.)3
7(\216)-286(Is)-
284(it)-284(poss
ible)-285(t)2(o)
-284(ha)33(v)24(
e)]TJ.-0.0004 Tc
 0 -1.223 TD.[(a
)-323(t)-8(hird)
-323(point)]TJ./
T1_7 1 Tf.0 Tc 5
.363 0 Td.(\r)Tj
./T1_5 1 Tf.-0.0
003 Tc 1.074 0 T
d.[(on)-323(t)-8
(his)-323(circle
,)-323(s)-1(o)-3
22(t)-8(hat)]TJ.
/T1_7 1 Tf.8.933
 0 Td.[(\032,)-3
34(\024)-40(,)-3
33(\r)]TJ./T1_5 
1 Tf.3.694 0 Td.
[(are)-323(all)-
323(f)25(air)6(l
)21(y)]TJ.-0.000
2 Tc -19.064 -1.
222 Td.(placed?)
Tj.ET.EMC..