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.812 583.131 Tm.
[(,)-246(it)-245
(will)-245(satis
fy)-245(t)-9(he)
-246(F)6(ibonacc
i)-249(recur)-27
(rence!)-247(F)6
(or)-247(an)25(y
)]TJ./T1_5 1 Tf.
0 Tc -20.985 -1.
201 Td.(\006)Tj.
/T1_7 1 Tf.0.775
 0 Td.(\003)Tj./
T1_6 1 Tf.0.962 
0 Td.(0)Tj./T1_4
 1 Tf.0.2506 Tc 
[(,w)269(eh)251(
a)283(v)275(e)]T
J./T1_5 1 Tf.0 T
c 5.713 -2.348 T
d.(/)Tj.7.472 0 
0 7.472 219.87 5
45.295 Tm.(\006)
Tj./T1_6 1 Tf.0.
0004 Tc (+1)Tj.0
 Tc 9.9626 0 0 9
.9626 235.692 54
7.7791 Tm.(=)Tj.
/T1_5 1 Tf.0.963
 0 Td.(4)Tj.7.47
2 0 0 7.472 250.
911 551.7661 Tm.
(\006)Tj./T1_6 1
 Tf.0.0004 Tc (+
1)Tj.0 Tc 9.9626
 0 0 9.9626 266.
742 547.7791 Tm.
(=)Tj./T1_5 1 Tf
.0.963 0 Td.(4)T
j.7.472 0 0 7.47
2 281.952 551.76
61 Tm.(\006)Tj./
T1_6 1 Tf.0.0004
 Tc (\2121)Tj./T
1_5 1 Tf.0 Tc 9.
9626 0 0 9.9626 
295.02 547.7791 
Tm.(4)Tj./T1_6 1
 Tf.7.472 0 0 7.
472 300.636 551.
7661 Tm.(2)Tj.9.
9626 0 0 9.9626 
307.638 547.7791
 Tm.(=)Tj./T1_5 
1 Tf.0.963 0 Td.
(4)Tj.7.472 0 0 
7.472 322.848 55
1.7661 Tm.(\006)
Tj./T1_6 1 Tf.0.
0004 Tc (\2121)T
j.0 Tc 9.9626 0 
0 9.9626 335.916
 547.7791 Tm.(\(
)Tj./T1_5 1 Tf.(
4)Tj./T1_6 1 Tf.
0.222 Tc 1.119 0
 Td.[(+1)222(\))
-57(=)]TJ./T1_5 
1 Tf.0 Tc 2.98 0
 Td.(4)Tj.7.472 
0 0 7.472 382.38
3 551.7661 Tm.(\
006)Tj./T1_6 1 T
f.9.9626 0 0 9.9
626 388.809 547.
7791 Tm.(+)Tj./T
1_5 1 Tf.0.907 0
 Td.(4)Tj.7.472 
0 0 7.472 403.46
1 551.7661 Tm.(\
006)Tj./T1_6 1 T
f.0.0004 Tc (\21
21)Tj.0 Tc 9.962
6 0 0 9.9626 419
.292 547.7791 Tm
.(=)Tj./T1_5 1 T
f.0.963 0 Td.(/)
Tj.7.472 0 0 7.4
72 433.791 545.2
95 Tm.(\006)Tj./
T1_6 1 Tf.9.9626
 0 0 9.9626 440.
217 547.7791 Tm.
(+)Tj./T1_5 1 Tf
.0.907 0 Td.(/)T
j.7.472 0 0 7.47
2 454.158 545.29
5 Tm.(\006)Tj./T
1_6 1 Tf.0.0004 
Tc (\2121)Tj./T1
_5 1 Tf.0 Tc 9.9
626 0 0 9.9626 4
67.217 547.7791 
Tm.(.)Tj./T1_4 1
 Tf.-0.0001 Tc -
32.77 -2.347 Td.
[(Lik)13(e)19(wi
se,)-241(if)-241
(w)18(e)-242(de\
223ne)]TJ./T1_5 
1 Tf.0 Tc 9.053 
0 Td.(')Tj.7.472
 0 0 7.472 236.6
82 521.9041 Tm.(
\006)Tj./T1_6 1 
Tf.0.0003 Tc 9.9
626 0 0 9.9626 2
43.657 524.397 T
m.(\007=)Tj./T1_
5 1 Tf.0 Tc 1.47
4 0 Td.(5)Tj.7.4
72 0 0 7.472 263
.907 527.8801 Tm
.(\006)Tj./T1_4 
1 Tf.-0.0002 Tc 
9.9626 0 0 9.962
6 268.119 524.39
7 Tm.[(,)-241(t)
-9(his)-241(s)-1
(eq)13(uence)-24
4(will)-241(also
)-241(satisfy)-2
40(t)-9(he)-241(
r)1(ecur)-27(ren
ce.)-242(Indeed,
)-243(if)]TJ./T1
_5 1 Tf.0 Tc 22.
846 0 Td.(\004)T
j./T1_4 1 Tf.-0.
0004 Tc 0.958 0 
Td.(and)Tj./T1_5
 1 Tf.0 Tc 1.685
 0 Td.(\005)Tj./
T1_4 1 Tf.-0.001
 Tc 0.977 0 Td.(
are)Tj.-0.0003 T
c -39.251 -1.201
 Td.[(an)25(y)-2
52(cons)8(t)-10(
ants,)-251(t)-9(
hen)-251(t)-9(he
)-251(s)-1(eq)13
(uence)]TJ./T1_5
 1 Tf.0 Tc 16.63
6 -1.421 Td.(\03
4)Tj.7.472 0 0 7
.472 311.202 495
.786 Tm.(\006)Tj
./T1_6 1 Tf.0.00
03 Tc 9.9626 0 0
 9.9626 318.177 
498.2791 Tm.(\00
7=)Tj./T1_5 1 Tf
.1.474 0 Td.(\00
44)Tj.0 Tc 7.472
 0 0 7.472 345.6
27 502.2661 Tm.(
\006)Tj./T1_6 1 
Tf.9.9626 0 0 9.
9626 352.053 498
.2791 Tm.(+)Tj./
T1_5 1 Tf.0.0394
 Tc 0.907 0 Td.(
\0055)Tj.0 Tc 7.
472 0 0 7.472 37
3.977 502.2661 T
m.(\006)Tj./T1_4
 1 Tf.-0.0001 Tc
 9.9626 0 0 9.96
26 140.742 478.1
371 Tm.[(will)-2
50(satisfy)-249(
t)-8(he)-251(r)1
(ecur)-27(rence,
)-251(since)]TJ.
/T1_5 1 Tf.0 Tc 
6.344 -2.348 Td.
(\034)Tj.7.472 0
 0 7.472 208.674
 452.2621 Tm.(\0
06)Tj./T1_6 1 Tf
.0.0004 Tc (+1)T
j.0 Tc 9.9626 0 
0 9.9626 224.505
 454.746 Tm.(=)T
j./T1_5 1 Tf.0.0
003 Tc 0.962 0 T
d.(\0044)Tj.0 Tc
 7.472 0 0 7.472
 246.852 458.733
 Tm.(\006)Tj./T1
_6 1 Tf.0.0004 T
c (+1)Tj.0 Tc 9.
9626 0 0 9.9626 
262.134 454.746 
Tm.(+)Tj./T1_5 1
 Tf.0.0394 Tc 0.
907 0 Td.(\0055)
Tj.0 Tc 7.472 0 
0 7.472 284.058 
458.733 Tm.(\006
)Tj./T1_6 1 Tf.0
.0004 Tc (+1)Tj.
0 Tc 9.9626 0 0 
9.9626 299.898 4
54.746 Tm.(=)Tj.
/T1_5 1 Tf.0.963
 0 Td.(\004)Tj./
T1_6 1 Tf.(\()Tj
./T1_5 1 Tf.(4)T
j.7.472 0 0 7.47
2 325.566 458.73
3 Tm.(\006)Tj./T
1_6 1 Tf.9.9626 
0 0 9.9626 331.9
92 454.746 Tm.(+
)Tj./T1_5 1 Tf.0
.908 0 Td.(4)Tj.
7.472 0 0 7.472 
346.653 458.733 
Tm.(\006)Tj./T1_
6 1 Tf.0.0004 Tc
 (\2121)Tj.0.221
7 Tc 9.9626 0 0 
9.9626 359.721 4
54.746 Tm.(\)+)T
j./T1_5 1 Tf.0 T
c 1.463 0 Td.(\0
05)Tj./T1_6 1 Tf
.0.735 0 Td.(\()
Tj./T1_5 1 Tf.(5
)Tj.7.472 0 0 7.
472 390.501 458.
733 Tm.(\006)Tj.
/T1_6 1 Tf.9.962
6 0 0 9.9626 396
.918 454.746 Tm.
(+)Tj./T1_5 1 Tf
.0.908 0 Td.(5)T
j.7.472 0 0 7.47
2 411.525 458.73
3 Tm.(\006)Tj./T
1_6 1 Tf.0.0004 
Tc (\2121)Tj.0.2
777 Tc 9.9626 0 
0 9.9626 424.584
 454.746 Tm.(\)=
)Tj./T1_5 1 Tf.0
 Tc (\034)Tj.7.4
72 0 0 7.472 444
.987 452.2621 Tm
.(\006)Tj./T1_6 
1 Tf.9.9626 0 0 
9.9626 451.413 4
54.746 Tm.(+)Tj.
/T1_5 1 Tf.0.907
 0 Td.(\034)Tj.7
.472 0 0 7.472 4
65.174 452.2621 
Tm.(\006)Tj./T1_
6 1 Tf.0.0004 Tc
 (\2121)Tj./T1_5
 1 Tf.0 Tc 9.962
6 0 0 9.9626 478
.233 454.746 Tm.
(.)Tj./T1_4 1 Tf
.-0.0002 Tc -32.
376 -2.421 Td.[(
Thus,)-252(in)-2
50(par)-23(ticul
ar)26(,)-252(if)
-250(w)18(e)-250
(de\223ne)]TJ./T
1_5 1 Tf.0 Tc 14
.53 -2.637 Td.(\
033)Tj.7.472 0 0
 7.472 305.964 4
01.8711 Tm.(\006
)Tj./T1_6 1 Tf.0
.0003 Tc 9.9626 
0 0 9.9626 312.9
48 404.355 Tm.(\
007=)Tj.0 Tc 2.0
58 0.58 Td.(1)Tj
.ET.328.833 406.
524 14.229 0.666
 re.f.BT./T1_8 1
 Tf.9.9626 0 0 9
.9626 328.833 40
3.23 Tm.(\017)Tj
.ET.338.076 403.
23 4.986 0.666 r
e.f.BT./T1_6 1 T
f.9.9626 0 0 9.9
626 338.0761 393
.618 Tm.(5)Tj.0.
62 1.078 Td.(\()
Tj./T1_5 1 Tf.(4
)Tj.7.472 0 0 7.
472 353.187 408.
342 Tm.(\006)Tj.
/T1_6 1 Tf.9.962
6 0 0 9.9626 359
.613 404.355 Tm.
(\212)Tj./T1_5 1
 Tf.0.907 0 Td.(
5)Tj.7.472 0 0 7
.472 374.211 408
.342 Tm.(\006)Tj
./T1_6 1 Tf.9.96
26 0 0 9.9626 37
8.423 404.355 Tm
.(\))Tj./T1_5 1 
Tf.(,)Tj./T1_4 1
 Tf.-0.0004 Tc -
23.857 -3.1 Td.[
(t)-9(hen)]TJ./T
1_5 1 Tf.0 Tc 1.
897 0 Td.(\033)T
j.7.472 0 0 7.47
2 165.168 370.97
41 Tm.(\006)Tj./
T1_6 1 Tf.0.0004
 Tc (+1)Tj.0 Tc 
9.9626 0 0 9.962
6 181.008 373.46
7 Tm.(=)Tj./T1_5
 1 Tf.0.962 0 Td
.(\033)Tj.7.472 
0 0 7.472 196.11
9 370.9741 Tm.(\
006)Tj./T1_6 1 T
f.9.9626 0 0 9.9
626 202.554 373.
467 Tm.(+)Tj./T1
_5 1 Tf.0.907 0 
Td.(\033)Tj.7.47
2 0 0 7.472 217.
116 370.9741 Tm.
(\006)Tj./T1_6 1
 Tf.0.0004 Tc (\
2121)Tj./T1_4 1 
Tf.-0.0002 Tc 9.
9626 0 0 9.9626 
230.184 373.467 
Tm.[(.)-168(Sinc
e)-168(t)-9(his)
-167(also)-168(s
atis\223es)-166(
t)-9(he)-168(bou
ndar)-21(y)-170(
v)20(alues,)-168
(it)-167(mus)8(t
)-168(g)16(enera
te)-169(t)-9(he)
-168(entire)-167
(F)6(ibonacci)]T
J.-0.0003 Tc -8.
978 -1.2 Td.[(se
q)13(uence.)]TJ.
ET.538.947 361.5
15 4.986 4.491 r
e.f.BT./T1_4 1 T
f.9.9626 0 0 9.9
626 155.682 336.
864 Tm.[(While)-
323(it)-322(is)-
322(nice)-323(to
)-321(ha)32(v)25
(e)-324(a)-322(\
215simple\216)-3
23(f)31(or)-20(m
ula)-322(t)-9(ha
t)-323(g)16(ener
ates)-324(t)-9(h
e)-322(F)6(ibona
cci)-326(seq)13(
uence,)-325(kno)
22(wing)-324(t)-
9(he)]TJ.-1.5 -1
.2 Td.[(recur)-2
7(rence)-319(f)3
1(or)-20(mula)-3
18(is)-318(almos
)8(t)-318(as)-31
9(good,)-320(and
)-319(some)9(tim
es)-319(it)-318(
is)-318(impossib
le)-318(or)-319(
e)21(xtremel)20(
y)-318(di\003cul
t)-319(t)1(o)-31
7(g)16(e)9(t)-31
9(a)]TJ.0 -1.2 T
D.[(\215closed-f
)31(or)-20(m\216
)-191(s)-1(oluti
on)-190(t)1(o)-1
90(a)-190(recur)
-27(rence.)-192(
A)-191(f)34(e)19
(w)-191(pr)6(obl
ems)-192(at)-190
(t)-9(he)-190(en
d)-191(of)-191(t
)-9(his)-189(sec
tion)-191(discus
s)-190(s)-1(ome)
-190(me)9(t)-9(h
ods)]TJ.0 -1.201
 TD.[(f)31(or)-1
90(s)-1(ol)20(vi
ng)-191(recur)-2
7(rences,)]TJ.0 
Tc 7.472 0 0 7.4
72 233.577 304.4
911 Tm.(7)Tj.-0.
0003 Tc 9.9626 0
 0 9.9626 239.71
5 300.999 Tm.[(b
ut)-192(f)31(or)
-190(no)22(w)50(
,)-191(le)9(t)-1
91(us)-191(jus)8
(t)-191(concentr
ate)-193(on)-191
(disco)22(v)25(e
r)-20(ing)-192(s
)-1(ome)-191(int
eres)8(ting)-190
(r)1(ecur)-27(re
nce)]TJ.-0.0001 
Tc -9.934 -1.2 T
d.[(f)31(or)-20(
mulas.)]TJ./T1_3
 1 Tf.0.0002 Tc 
10.9091 0 0 10.9
091 140.742 257.
6551 Tm.[(The)-2
77(Catalan)-277(
Recurrence)]TJ./
T1_4 1 Tf.-0.000
4 Tc 9.9626 0 0 
9.9626 140.742 2
37.9001 Tm.[(In)
-238(t)-9(he)-23
7(e)21(x)11(ampl
e)-238(belo)22(w
)50(,)-237(w)18(
e)-238(will)-237
(disco)22(v)24(e
r)-238(a)-237(co
mplicated)-239(r
ecur)-27(rence)-
238(f)31(or)-21(
mula)-238(t)-9(h
at)-238(tur)-21(
ns)-237(up)-238(
i)-1(n)-237(s)-1
(ur)-26(pr)-20(i
singl)20(y)]TJ.-
0.0001 Tc T*.[(m
an)25(y)-252(sit
uations.)]TJ./T1
_9 1 Tf.-0.0002 
Tc 0 -1.976 TD.[
(Exam)16(ple)-25
2(6.4.2)]TJ./T1_
4 1 Tf.-0.0003 T
c 6.512 0 Td.[(T
he)-239(idea)-23
9(of)-239(a)-239
(tr)-20(iangulat
ion)-240(of)-239
(a)-238(pol)20(y
)22(gon)-240(w)2
8(as)-240(intr)6
(oduced)-241(in)
-238(Ex)11(ample
)-240(2.3.9)-239
(on)-239(pag)16(
e)-240(45.)]TJ.-
6.512 -1.201 Td.
[(Compute)-252(t
)-9(he)-250(numb
er)-252(of)-251(
di\002erent)-252
(tr)-20(iangulat
ions)-252(of)-25
0(a)-251(con)31(
v)25(e)21(x)]TJ.
/T1_5 1 Tf.0 Tc 
24.02 0 Td.(\006
)Tj./T1_4 1 Tf.-
0.0003 Tc (-gon.
)Tj.ET.140.742 1
81.992 161.28 0.
405 re.f.BT./T1_
4 1 Tf.0 Tc 5.97
76 0 0 5.9776 15
5.187 175.3681 T
m.(7)Tj.-0.0001 
Tc 7.9701 0 0 7.
9701 158.679 172
.5781 Tm.[(Also)
-251(see)-251(Se
ction)-251(4.3)-
250(f)31(or)-250
(ano)8(t)-8(her)
-250(g)14(eneral
)-251(me)9(t)-8(
hod)-250(f)31(or
)-250(sol)22(vin
g)-251(and)-250(
anal)22(yzing)-2
51(r)2(ecur)-26(
r)2(ences.)]TJ.E
T.EMC..