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281 600.9871 Tm.
(1)Tj.ET.270.09 
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.961 re.f.BT./T1
_4 1 Tf.9.9626 0
 0 9.9626 276.46
21 600.9871 Tm.(
2)Tj.ET.287.424 
597.405 0.405 11
.961 re.f.BT./T1
_4 1 Tf.9.9626 0
 0 9.9626 293.79
62 600.9871 Tm.(
5)Tj.ET.304.758 
597.405 0.405 11
.961 re.f.BT./T1
_4 1 Tf.-0.0004 
Tc 9.9626 0 0 9.
9626 311.1302 60
0.9871 Tm.(14)Tj
.ET.327.069 597.
405 0.405 11.961
 re.f.BT./T1_4 1
 Tf.9.9626 0 0 9
.9626 333.4503 6
00.9871 Tm.(42)T
j.ET.349.389 597
.405 0.405 11.96
1 re.f.BT./T1_4 
1 Tf.9.9626 0 0 
9.9626 355.7615 
600.9871 Tm.(132
)Tj.ET.376.686 5
97.405 0.405 11.
961 re.f.BT./T1_
4 1 Tf.9.9626 0 
0 9.9626 383.058
7 600.9871 Tm.(4
29)Tj.ET.403.983
 597.405 0.405 1
1.961 re.f.BT./T
1_4 1 Tf.9.9626 
0 0 9.9626 410.3
649 600.9871 Tm.
(1430)Tj.ET.436.
266 597.405 0.40
5 11.961 re.f.BT
./T1_4 1 Tf.9.96
26 0 0 9.9626 44
2.6392 600.9871 
Tm.(4862)Tj.ET.4
68.54 597.405 0.
405 11.961 re.f.
215.73 597 253.2
15 0.405 re.f.BT
./T1_4 1 Tf.9.96
26 0 0 9.9626 15
5.682 579.954 Tm
.[(The)-284(s)-1
(eq)13(uence)]TJ
./T1_6 1 Tf.0 Tc
 5.774 0 Td.(1)T
j./T1_5 1 Tf.(,)
Tj./T1_6 1 Tf.0.
916 0 Td.(1)Tj./
T1_5 1 Tf.(,)Tj.
/T1_6 1 Tf.0.916
 0 Td.(2)Tj./T1_
5 1 Tf.(,)Tj./T1
_6 1 Tf.0.916 0 
Td.(5)Tj./T1_5 1
 Tf.(,)Tj./T1_6 
1 Tf.-0.0004 Tc 
0.916 0 Td.(14)T
j./T1_5 1 Tf.0 T
c (,)Tj./T1_6 1 
Tf.1.416 0 Td.(\
203)Tj./T1_4 1 T
f.-0.0002 Tc 1.2
86 0 Td.[(is)-28
2(kno)22(wn)-284
(as)-283(t)-9(he
)]TJ./T1_8 1 Tf.
6.561 0 Td.(Cata
lan)Tj./T1_4 1 T
f.-0.0004 Tc 3.5
05 0 Td.[(number
s)-285(\()-1(acc
ording)-284(to)-
283(some)-284(co
n)31(v)24(ention
s,)]TJ.-0.0002 T
c -23.706 -1.2 T
d.[(t)-9(he)-276
(inde)21(x)-276(
s)8(t)-10(ar)-23
(ts)-275(at)-276
(zer)6(o,)-278(s
o)-275(if)]TJ./T
1_5 1 Tf.0 Tc 11
.683 0 Td.(\))Tj
.7.472 0 0 7.472
 263.817 565.509
 Tm.(\007)Tj./T1
_4 1 Tf.-0.0003 
Tc 9.9626 0 0 9.
9626 270.108 568
.0021 Tm.[(deno)
8(tes)-278(t)-9(
he)]TJ./T1_5 1 T
f.0 Tc 4.828 0 T
d.(\007)Tj./T1_4
 1 Tf.-0.0003 Tc
 [(t)-9(h)-275(C
at)-10(alan)-277
(number)26(,)-27
7(t)-9(hen)]TJ./
T1_5 1 Tf.0 Tc 1
0.37 0 Td.(\024)
Tj.7.472 0 0 7.4
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09 Tm.(\007)Tj./
T1_6 1 Tf.9.9626
 0 0 9.9626 430.
947 568.0021 Tm.
(=)Tj./T1_5 1 Tf
.0.963 0 Td.(\))
Tj.7.472 0 0 7.4
72 447.228 565.5
09 Tm.(\007)Tj./
T1_6 1 Tf.0.0004
 Tc (\2122)Tj./T
1_4 1 Tf.-0.0004
 Tc 9.9626 0 0 9
.9626 459.63 568
.0021 Tm.[(\).)-
275(R)14(ecur)-2
7(rence)-277(f)3
1(or)-21(mu-)]TJ
.-32.008 -1.2 Td
.[(las)-293(s)-1
(uc)16(h)-293(as
)-293(\()-1(6.4.
11\))-292(ma)27(
y)-293(s)-1(eem)
-293(rat)-9(her)
-292(complicated
,)-294(but)-293(
t)-9(he)21(y)-29
2(are)-293(r)1(e
all)20(y)-291(s)
7(t)-1(raightf)3
1(or)-20(w)28(ar
d)-292(applicati
ons)-294(of)]TJ.
0 -1.201 TD.[(s)
8(t)-10(andard)-
224(counting)-22
4(ideas)-224(\(p
ar)-23(titioning
)-223(and)-224(s
imple)-222(encod
ing\).)-225(Alg)
16(ebraicall)20(
y)53(,)-225(t)-9
(he)-222(sum)-22
3(s)-1(hould)-22
3(r)1(emind)-223
(y)18(ou)]TJ.-0.
0002 Tc 0 -1.2 T
D.[(of)-232(t)-9
(he)-232(r)-25(u
le)-231(f)31(or)
-231(multipl)20(
ying)-233(pol)20
(ynomials)-233(\
(see)-232(pag)16
(e)-233(165\),)-
233(whic)17(h)-2
33(in)-231(tur)-
21(n)-232(should
)-232(r)1(emind)
-232(y)18(ou)-23
3(of)-232(g)16(e
nerating)]TJ.-0.
0001 Tc T*.[(fun
ctions)-252(\(Se
ction)-251(4.3\)
.)]TJ./T1_9 1 Tf
.-0.0002 Tc 0 -2
.118 TD.[(Exam)1
6(ple)-252(6.4.3
)]TJ./T1_4 1 Tf.
-0.0003 Tc 6.512
 0 Td.[(Use)-250
(g)16(enerating)
-252(f)-1(unctio
ns)-252(to)-250(
\223nd)-250(a)-2
50(f)31(or)-20(m
ula)-250(f)31(or
)]TJ./T1_5 1 Tf.
0 Tc 18.547 0 Td
.(\))Tj.7.472 0 
0 7.472 397.08 4
96.605 Tm.(\006)
Tj./T1_4 1 Tf.9.
9626 0 0 9.9626 
401.292 499.0891
 Tm.(.)Tj./T1_9 
1 Tf.-0.0002 Tc 
-24.653 -2.154 T
d.(Solution:)Tj.
/T1_4 1 Tf.-0.00
03 Tc 4.14 0 Td.
[(De\223ne)-251(
t)-9(he)-251(g)1
6(enerating)-252
(f)-1(unction)]T
J./T1_5 1 Tf.0 T
c 8.04 -2.436 Td
.(\033)Tj./T1_6 
1 Tf.0.675 0 Td.
(\()Tj./T1_5 1 T
f.(\n)Tj./T1_6 1
 Tf.0.2777 Tc (\
)=)Tj./T1_5 1 Tf
.0 Tc 2.456 0 Td
.(\))Tj./T1_6 1 
Tf.7.472 0 0 7.4
72 314.91 450.88
51 Tm.(0)Tj.9.96
26 0 0 9.9626 32
1.363 453.369 Tm
.(+)Tj./T1_5 1 T
f.0.907 0 Td.(\)
)Tj./T1_6 1 Tf.7
.472 0 0 7.472 3
37.086 450.8851 
Tm.(1)Tj./T1_5 1
 Tf.9.9626 0 0 9
.9626 341.316 45
3.369 Tm.(\n)Tj.
/T1_6 1 Tf.0.772
 0 Td.(+)Tj./T1_
5 1 Tf.0.907 0 T
d.(\))Tj./T1_6 1
 Tf.7.472 0 0 7.
472 364.734 450.
8851 Tm.(2)Tj./T
1_5 1 Tf.9.9626 
0 0 9.9626 368.9
64 453.369 Tm.(\
n)Tj./T1_6 1 Tf.
7.472 0 0 7.472 
374.445 457.356 
Tm.(2)Tj.0.2219 
Tc 9.9626 0 0 9.
9626 380.898 453
.369 Tm.(+\267\2
67\267)Tj./T1_5 
1 Tf.0 Tc 2.435 
0 Td.(.)Tj./T1_4
 1 Tf.-0.0003 Tc
 -26.54 -2.436 T
d.[(Sq)13(uar)-2
0(ing,)-252(w)18
(e)-251(ha)32(v)
25(e)]TJ./T1_5 1
 Tf.0 Tc 0.857 -
2.436 Td.(\033)T
j./T1_6 1 Tf.0.6
75 0 Td.(\()Tj./
T1_5 1 Tf.(\n)Tj
./T1_6 1 Tf.(\))
Tj.7.472 0 0 7.4
72 168.129 408.8
28 Tm.(2)Tj.9.96
26 0 0 9.9626 17
5.122 404.8411 T
m.(=)Tj./T1_5 1 
Tf.0.963 0 Td.(\
))Tj./T1_6 1 Tf.
7.472 0 0 7.472 
191.403 402.3481
 Tm.(0)Tj./T1_5 
1 Tf.9.9626 0 0 
9.9626 195.633 4
04.8411 Tm.(\))T
j./T1_6 1 Tf.7.4
72 0 0 7.472 202
.32 402.3481 Tm.
(0)Tj.0.222 Tc 9
.9626 0 0 9.9626
 208.764 404.841
1 Tm.(+\()Tj./T1
_5 1 Tf.0 Tc 1.2
4 0 Td.(\))Tj./T
1_6 1 Tf.7.472 0
 0 7.472 227.808
 402.3481 Tm.(1)
Tj./T1_5 1 Tf.9.
9626 0 0 9.9626 
232.038 404.8411
 Tm.(\))Tj./T1_6
 1 Tf.7.472 0 0 
7.472 238.725 40
2.3481 Tm.(0)Tj.
9.9626 0 0 9.962
6 245.169 404.84
11 Tm.(+)Tj./T1_
5 1 Tf.0.908 0 T
d.(\))Tj./T1_6 1
 Tf.7.472 0 0 7.
472 260.901 402.
3481 Tm.(0)Tj./T
1_5 1 Tf.9.9626 
0 0 9.9626 265.1
31 404.8411 Tm.(
\))Tj./T1_6 1 Tf
.7.472 0 0 7.472
 271.818 402.348
1 Tm.(1)Tj.9.962
6 0 0 9.9626 276
.048 404.8411 Tm
.(\))Tj./T1_5 1 
Tf.(\n)Tj./T1_6 
1 Tf.0.2229 Tc 1
.105 0 Td.(+\()T
j./T1_5 1 Tf.0 T
c 1.241 0 Td.(\)
)Tj./T1_6 1 Tf.7
.472 0 0 7.472 3
06.108 402.3481 
Tm.(2)Tj./T1_5 1
 Tf.9.9626 0 0 9
.9626 310.338 40
4.8411 Tm.(\))Tj
./T1_6 1 Tf.7.47
2 0 0 7.472 317.
025 402.3481 Tm.
(0)Tj.9.9626 0 0
 9.9626 323.469 
404.8411 Tm.(+)T
j./T1_5 1 Tf.0.9
07 0 Td.(\))Tj./
T1_6 1 Tf.7.472 
0 0 7.472 339.19
2 402.3481 Tm.(1
)Tj./T1_5 1 Tf.9
.9626 0 0 9.9626
 343.422 404.841
1 Tm.(\))Tj./T1_
6 1 Tf.7.472 0 0
 7.472 350.109 4
02.3481 Tm.(1)Tj
.9.9626 0 0 9.96
26 356.553 404.8
411 Tm.(+)Tj./T1
_5 1 Tf.0.908 0 
Td.(\))Tj./T1_6 
1 Tf.7.472 0 0 7
.472 372.285 402
.3481 Tm.(0)Tj./
T1_5 1 Tf.9.9626
 0 0 9.9626 376.
515 404.8411 Tm.
(\))Tj./T1_6 1 T
f.7.472 0 0 7.47
2 383.202 402.34
81 Tm.(2)Tj.9.96
26 0 0 9.9626 38
7.432 404.8411 T
m.(\))Tj./T1_5 1
 Tf.(\n)Tj./T1_6
 1 Tf.7.472 0 0 
7.472 396.234 40
8.828 Tm.(2)Tj.0
.2224 Tc 9.9626 
0 0 9.9626 402.6
78 404.8411 Tm.[
(+\267\267\267)-
55(=)]TJ./T1_5 1
 Tf.0 Tc 3.342 0
 Td.(\))Tj./T1_6
 1 Tf.7.472 0 0 
7.472 442.665 40
2.3481 Tm.(1)Tj.
9.9626 0 0 9.962
6 449.109 404.84
11 Tm.(+)Tj./T1_
5 1 Tf.0.907 0 T
d.(\))Tj./T1_6 1
 Tf.7.472 0 0 7.
472 464.832 402.
3481 Tm.(2)Tj./T
1_5 1 Tf.9.9626 
0 0 9.9626 469.0
62 404.8411 Tm.(
\n)Tj./T1_6 1 Tf
.0.772 0 Td.(+)T
j./T1_5 1 Tf.0.9
07 0 Td.(\))Tj./
T1_6 1 Tf.7.472 
0 0 7.472 492.48
 402.3481 Tm.(3)
Tj./T1_5 1 Tf.9.
9626 0 0 9.9626 
496.719 404.8411
 Tm.(\n)Tj./T1_6
 1 Tf.7.472 0 0 
7.472 502.2 408.
828 Tm.(2)Tj.0.2
224 Tc 9.9626 0 
0 9.9626 508.644
 404.8411 Tm.(+\
267\267\267)Tj./
T1_5 1 Tf.0 Tc 2
.435 0 Td.(.)Tj.
/T1_4 1 Tf.-0.00
04 Tc -39.363 -2
.436 Td.[(This)-
251(implies)-250
(t)-9(hat)]TJ./T
1_5 1 Tf.0.0002 
Tc 13.618 -1.554
 Td.(\n\033)Tj./
T1_6 1 Tf.0 Tc 1
.225 0 Td.(\()Tj
./T1_5 1 Tf.(\n)
Tj./T1_6 1 Tf.(\
))Tj.7.472 0 0 7
.472 300.744 369
.084 Tm.(2)Tj.9.
9626 0 0 9.9626 
307.737 365.097 
Tm.(=)Tj./T1_5 1
 Tf.0.962 0 Td.(
\033)Tj./T1_6 1 
Tf.0.675 0 Td.(\
()Tj./T1_5 1 Tf.
(\n)Tj./T1_6 1 T
f.0.2226 Tc (\)\
212)Tj./T1_5 1 T
f.0 Tc 2.346 0 T
d.(\))Tj./T1_6 1
 Tf.7.472 0 0 7.
472 354.105 362.
613 Tm.(0)Tj.9.9
626 0 0 9.9626 3
61.107 365.097 T
m.(=)Tj./T1_5 1 
Tf.0.962 0 Td.(\
033)Tj./T1_6 1 T
f.0.675 0 Td.(\(
)Tj./T1_5 1 Tf.(
\n)Tj./T1_6 1 Tf
.0.2223 Tc (\)\2
121)Tj./T1_5 1 T
f.0 Tc 2.846 0 T
d.(.)Tj./T1_4 1 
Tf.-0.0003 Tc -2
6.602 -2.153 Td.
[(Sol)20(ving)-2
51(f)31(or)]TJ./
T1_5 1 Tf.0 Tc 4
.725 0 Td.(\033)
Tj./T1_6 1 Tf.0.
675 0 Td.(\()Tj.
/T1_5 1 Tf.(\n)T
j./T1_6 1 Tf.(\)
)Tj./T1_4 1 Tf.-
0.0002 Tc 1.466 
0 Td.[(b)20(y)-2
51(t)-9(he)-250(
q)13(uadratic)-2
51(f)31(or)-20(m
ula)-250(yields)
]TJ./T1_5 1 Tf.0
 Tc 8.94 -3.232 
Td.(\033)Tj./T1_
6 1 Tf.0.675 0 T
d.(\()Tj./T1_5 1
 Tf.(\n)Tj./T1_6
 1 Tf.0.2777 Tc 
(\)=)Tj.0.2218 T
c 2.577 0.681 Td
.(1\261)Tj./T1_1
0 1 Tf.0 Tc 1.62
9 0.965 Td.(\017
)Tj.ET.356.085 3
27.846 26.703 0.
666 re.f.BT./T1_
6 1 Tf.0.2219 Tc
 9.9626 0 0 9.96
26 356.085 318.2
34 Tm.(1\2124)Tj
./T1_5 1 Tf.0 Tc
 2.128 0 Td.(\n)
Tj.ET.330.606 31
3.608 52.182 0.6
66 re.f.BT./T1_6
 1 Tf.9.9626 0 0
 9.9626 351.459 
304.473 Tm.(2)Tj
./T1_5 1 Tf.(\n)
Tj.3.264 0.7 Td.
(.)Tj./T1_4 1 Tf
.-0.0003 Tc -24.
415 -2.621 Td.[(
A)-307(bit)-308(
of)-308(t)-9(hin
king)-309(about)
-309(t)-9(he)-30
7(beha)32(vior)-
310(as)]TJ./T1_5
 1 Tf.0 Tc 16.16
3 0 Td.(\n)Tj./T
1_4 1 Tf.-0.0004
 Tc 0.856 0 Td.[
(appr)6(oac)16(h
es)-311(0)-308(s
)-1(hould)-308(c
on)31(vince)-310
(y)18(ou)-309(t)
-9(hat)-308(t)-9
(he)-308(cor)-27
(rect)-308(sign)
-308(to)]TJ.-0.0
001 Tc -17.02 -1
.201 Td.[(pic)22
(k)-251(is)-250(
neg)11(ativ)25(e
,)-252(i.e.)]TJ.
/T1_5 1 Tf.0 Tc 
15.806 -2.349 Td
.(\033)Tj./T1_6 
1 Tf.0.675 0 Td.
(\()Tj./T1_5 1 T
f.(\n)Tj./T1_6 1
 Tf.0.2777 Tc (\
)=)Tj.0.2218 Tc 
2.577 0.681 Td.(
1\212)Tj./T1_10 
1 Tf.0 Tc 1.629 
0.965 Td.(\017)T
j.ET.356.085 266
.376 26.703 0.66
6 re.f.BT./T1_6 
1 Tf.0.2219 Tc 9
.9626 0 0 9.9626
 356.085 256.764
 Tm.(1\2124)Tj./
T1_5 1 Tf.0 Tc 2
.128 0 Td.(\n)Tj
.ET.330.606 252.
138 52.182 0.666
 re.f.BT./T1_6 1
 Tf.9.9626 0 0 9
.9626 351.459 24
3.0031 Tm.(2)Tj.
/T1_5 1 Tf.(\n)T
j.3.264 0.7 Td.(
.)Tj./T1_4 1 Tf.
-0.0003 Tc -22.9
15 -2.475 Td.[(N
)13(o)22(w)-241(
all)-242(t)-9(ha
t)-242(remains)-
242(is)-241(t)1(
o)-241(\223)-1(n
d)-241(a)-241(f)
31(or)-20(mula)-
241(f)31(or)]TJ.
/T1_5 1 Tf.0 Tc 
17.724 0 Td.(\))
Tj.7.472 0 0 7.4
72 338.94 222.83
4 Tm.(\006)Tj./T
1_4 1 Tf.-0.0003
 Tc 9.9626 0 0 9
.9626 345.555 22
5.3181 Tm.[(b)20
(y)-241(e)21(xpa
nding)]TJ./T1_5 
1 Tf.0 Tc 5.606 
0 Td.(\033)Tj./T
1_6 1 Tf.0.675 0
 Td.(\()Tj./T1_5
 1 Tf.(\n)Tj./T1
_6 1 Tf.(\))Tj./
T1_4 1 Tf.-0.000
3 Tc 1.457 0 Td.
[(as)-242(a)-241
(po)22(w)18(er)-
243(ser)-20(ies.
)-241(W)59(e)-24
1(need)-242(t)-9
(he)]TJ.-28.297 
-1.2 Td.[(g)16(e
neralized)-253(b
inomial)-252(t)-
9(heorem)-251(\(
see)-250(Pr)6(ob
lem)-251(9.4.12)
-251(on)-250(pag
)16(e)-252(353\)
,)-252(whic)16(h
)-251(s)8(t)-10(
ates)-251(t)-9(h
at)]TJ./T1_6 1 T
f.0.0004 Tc 10.6
82 -2.807 Td.[(\
(1)-221(+)]TJ./T
1_5 1 Tf.0 Tc 1.
963 0 Td.(\013)T
j./T1_6 1 Tf.(\)
)Tj./T1_5 1 Tf.7
.472 0 0 7.472 2
74.986 189.3901 
Tm.(4)Tj./T1_6 1
 Tf.0.278 Tc 9.9
626 0 0 9.9626 2
82.456 185.4031 
Tm.[(=1)56(+)]TJ
./T1_10 1 Tf.0 T
c 2.593 0.911 Td
.(\007)Tj./T1_5 
1 Tf.7.472 0 0 7
.472 308.439 173
.9731 Tm.(\006)T
j./T1_7 1 Tf.(\0
03)Tj./T1_6 1 Tf
.(1)Tj.9.9626 0 
0 9.9626 324.009
 191.982 Tm.(\()
Tj./T1_5 1 Tf.(4
)Tj./T1_6 1 Tf.0
.0004 Tc 0.897 0
 Td.(\)\()Tj./T1
_5 1 Tf.0 Tc (4)
Tj./T1_6 1 Tf.0.
2223 Tc 1.453 0 
Td.[(\2121)223(\
))56(\267\267\26
7)56(\()]TJ./T1_
5 1 Tf.0 Tc 3.60
1 0 Td.(4)Tj./T1
_6 1 Tf.0.786 0 
Td.(\212)Tj./T1_
5 1 Tf.0.907 0 T
d.(\006)Tj./T1_6
 1 Tf.0.222 Tc 0
.72 0 Td.[(+1)22
2(\))]TJ.ET.324.
009 187.563 100.
656 0.666 re.f.B
T./T1_5 1 Tf.0 T
c 9.9626 0 0 9.9
626 370.206 178.
4281 Tm.(\006)Tj
./T1_6 1 Tf.(!)T
j./T1_5 1 Tf.5.5
86 0.7 Td.(\013)
Tj.7.472 0 0 7.4
72 430.803 189.3
901 Tm.(\006)Tj.
9.9626 0 0 9.962
6 435.015 185.40
31 Tm.(.)Tj.ET.E
MC..