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(ling)-316(N)10(
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(Binomial)-316(T
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))55(\267)-1(\26
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/T1_6 1 Tf.0 Tc 
3.6 0 Td.(\n)Tj.
/T1_7 1 Tf.0.772
 0 Td.(\212)Tj./
T1_6 1 Tf.0.907 
0 Td.(\007)Tj./T
1_7 1 Tf.0.2224 
Tc 0.63 0 Td.[(+
1)223(\))]TJ./T1
_6 1 Tf.0 Tc 1.7
41 0 Td.(.)Tj./T
1_5 1 Tf.0.0001 
Tc -17.862 -2.16
6 Td.(\(Thus)Tj.
/T1_6 1 Tf.0 Tc 
2.504 0 Td.(\n)T
j.5.9776 0 0 5.9
776 176.562 488.
6671 Tm.(\007)Tj
.ET.176.562 487.
092 2.943 0.396 
re.f.BT./T1_5 1 
Tf.-0.0001 Tc 8.
9664 0 0 8.9664 
181.044 485.526 
Tm.[(is)-172(t)-
8(he)-172(pr)6(o
duct)-173(of)]TJ
./T1_6 1 Tf.0 Tc
 6.467 0 Td.(\00
7)Tj./T1_5 1 Tf.
-0.0002 Tc 0.58 
0 Td.[(ter)-20(m
s\).)-172(Use)-1
71(t)-8(he)-172(
pre)19(vious)-17
2(pr)6(oblems)]T
J.-0.0007 Tc -10
.602 -1.223 Td.[
(to)-250(sho)22(
w)-250(t)-9(h)-1
(at)]TJ./T1_6 1 
Tf.0 Tc 2.973 -2
.44 Td.(\n)Tj.5.
9776 0 0 5.9776 
180.765 456.276 
Tm.(\006)Tj./T1_
7 1 Tf.8.9664 0 
0 8.9664 186.723
 452.6851 Tm.(=)
Tj./T1_8 1 Tf.0.
964 1.414 Td.(\0
21)Tj./T1_6 1 Tf
.0.963 -0.797 Td
.(\006)Tj./T1_7 
1 Tf.-0.001 -1.2
23 Td.(1)Tj./T1_
8 1 Tf.0.722 2.0
2 Td.(\030)Tj./T
1_6 1 Tf.1.073 -
1.414 Td.(\n)Tj.
/T1_7 1 Tf.5.977
6 0 0 5.9776 225
.009 456.276 Tm.
(1)Tj.ET.225.009
 454.701 3.492 0
.396 re.f.BT./T1
_7 1 Tf.8.9664 0
 0 8.9664 230.48
1 452.6851 Tm.(+
)Tj./T1_8 1 Tf.0
.907 1.414 Td.(\
021)Tj./T1_6 1 T
f.0.964 -0.797 T
d.(\006)Tj./T1_7
 1 Tf.-0.002 -1.
223 Td.(2)Tj./T1
_8 1 Tf.0.723 2.
02 Td.(\030)Tj./
T1_6 1 Tf.1.072 
-1.414 Td.(\n)Tj
./T1_7 1 Tf.5.97
76 0 0 5.9776 26
8.263 456.276 Tm
.(2)Tj.ET.268.26
3 454.701 3.492 
0.396 re.f.BT./T
1_7 1 Tf.0.2221 
Tc 8.9664 0 0 8.
9664 273.744 452
.6851 Tm.(+\267\
267\267+)Tj./T1_
8 1 Tf.0 Tc 3.23
1 1.414 Td.(\021
)Tj./T1_6 1 Tf.0
.962 -0.797 Td.(
\006)Tj.0 -1.223
 TD.(\006)Tj./T1
_8 1 Tf.0.72 2.0
2 Td.(\030)Tj./T
1_6 1 Tf.1.072 -
1.414 Td.(\n)Tj.
5.9776 0 0 5.977
6 332.334 456.27
6 Tm.(\006)Tj.ET
.332.334 454.638
 3.474 0.396 re.
f.BT./T1_6 1 Tf.
8.9664 0 0 8.966
4 335.808 452.68
51 Tm.(.)Tj./T1_
2 1 Tf.-0.0002 T
c 9.9626 0 0 9.9
626 149.175 417.
324 Tm.[(Expecta
tion,)-280(Recur
rence,)-280(and)
-279(Probability
)]TJ./T1_4 1 Tf.
-0.0001 Tc 8.966
4 0 0 8.9664 148
.923 393.9061 Tm
.(6.4.22)Tj./T1_
9 1 Tf.0.0002 Tc
 3.056 0 Td.[(R)
16(ecurr)31(ence
)-298(and)-297(P
r)28(obability)]
TJ./T1_5 1 Tf.-0
.0003 Tc 11.189 
0 Td.[(.)-297(M)
-1(an)24(y)-297(
interes)7(ting)-
298(pr)6(ob-)]TJ
.-0.0002 Tc -14.
217 -1.222 Td.[(
ability)-318(q)1
3(ues)7(tions)-3
19(in)31(v)27(ol
)21(v)24(e)-318(
t)-8(he)-319(con
cept)-319(of)]TJ
./T1_9 1 Tf.16.2
9 0 Td.[(e)12(xp
ect)10(ed)-319(v
)14(alue)]TJ./T1
_5 1 Tf.0.3191 T
c [(,t)311(h)319
(e)]TJ.-0.0002 T
c -16.29 -1.223 
Td.[(\215a)32(v)
24(erag)15(e\216
)-229(v)20(alue)
-228(of)-227(a)-
227(r)2(andom)-2
28(v)20(ar)-19(i
able.)-228(M)-1(
ore)-227(f)32(or
)-20(mall)21(y)5
3(,)-227(if)]TJ.
/T1_6 1 Tf.0 Tc 
22.295 0 Td.($)T
j./T1_5 1 Tf.1.0
77 0 Td.(is)Tj.-
0.0001 Tc -23.37
2 -1.223 Td.[(a)
-301(r)2(andom)-
303(v)20(ar)-19(
iable)-302(\(a)-
302(function)-30
2(t)-8(hat)-302(
outputs)-303(v)2
0(alues)-303(r)2
(andoml)21(y)]TJ
.-0.0002 Tc 0 -1
.222 TD.[(but)-2
79(subject)-280(
to)-279(kno)22(w
n)-280(pr)6(obab
ilities;)-279(f)
32(or)-279(e)21(
x)11(ample,)-281
(eq)13(ualling)-
280(1)]TJ.-0.000
1 Tc 0 -1.223 TD
.[(if)-271(a)-27
2(coin)-272(\224
ip)-271(is)-272(
heads)-273(and)-
272(0)-272(if)-2
71(t)-10(ails\),
)-271(t)-8(hen)-
272(t)-8(he)-272
(e)21(xpected)-2
74(v)20(alue)]TJ
.T*.(of)Tj./T1_6
 1 Tf.0 Tc 1.205
 0 Td.($)Tj./T1_
5 1 Tf.-0.0003 T
c 0.85 0 Td.[(,)
-374(deno)8(ted)
-376(b)20(y)]TJ.
/T1_6 1 Tf.0 Tc 
5.509 0 Td.(#)Tj
./T1_7 1 Tf.0.77
4 0 Td.([)Tj./T1
_6 1 Tf.($)Tj./T
1_7 1 Tf.1.183 0
 Td.(])Tj./T1_5 
1 Tf.0.3723 Tc [
(,e)373(q)386(u)
372(a)373(l)372(
s)]TJ./T1_8 1 Tf
.0 Tc 3.871 0.91
2 Td.(\007)Tj./T
1_6 1 Tf.5.9776 
0 0 5.9776 273.5
37 318.4951 Tm.(
6)Tj.8.9664 0 0 
8.9664 282.339 3
28.1521 Tm.(6)Tj
./T1_10 1 Tf.0.7
29 0 Td.(\002)Tj
./T1_6 1 Tf.0.50
8 0 Td.(\b)Tj./T
1_7 1 Tf.0.744 0
 Td.(\()Tj./T1_6
 1 Tf.($)Tj./T1_
7 1 Tf.1.46 0 Td
.(=)Tj./T1_6 1 T
f.0.964 0 Td.(6)
Tj./T1_7 1 Tf.(\
))Tj./T1_5 1 Tf.
0.3733 Tc [(,w)3
74(h)373(e)374(r
)375(e)]TJ./T1_6
 1 Tf.0 Tc (6)Tj
./T1_5 1 Tf.-0.0
003 Tc -19.256 -
1.877 Td.[(rang)
15(es)-176(o)22(
v)24(er)-176(t)-
8(he)-176(v)20(a
lues)-176(t)-8(h
at)]TJ./T1_6 1 T
f.0 Tc 10.473 0 
Td.($)Tj./T1_5 1
 Tf.-0.0001 Tc 1
.026 0 Td.[(outp
uts)-175(and)]TJ
./T1_6 1 Tf.0 Tc
 4.74 0 Td.(\b)T
j./T1_7 1 Tf.0.7
44 0 Td.(\()Tj./
T1_6 1 Tf.($)Tj.
/T1_7 1 Tf.1.46 
0 Td.(=)Tj./T1_6
 1 Tf.0.963 0 Td
.(6)Tj./T1_7 1 T
f.(\))Tj./T1_5 1
 Tf.0.0001 Tc 1.
015 0 Td.[(of)-1
75(course)]TJ.-0
.0001 Tc -20.421
 -1.223 Td.[(is)
-273(t)-8(he)-27
3(pr)6(obability
)-273(t)-8(hat)]
TJ./T1_6 1 Tf.0 
Tc 8.879 0 Td.($
)Tj./T1_5 1 Tf.-
0.0001 Tc 1.122 
0 Td.[(outputs)-
274(t)-8(he)-273
(v)20(alue)]TJ./
T1_6 1 Tf.0 Tc 7
.14 0 Td.(6)Tj./
T1_5 1 Tf.-0.001
1 Tc [(.)-274(He
re)-275(a)-1(re)
-274(a)-274(f)33
(e)18(w)]TJ.-0.0
002 Tc -17.141 -
1.223 Td.[(fun)-
196(pr)6(oblems)
-197(t)-8(hat)-1
97(will)-197(g)1
5(e)9(t)-198(y)1
8(ou)-197(acq)13
(uainted)-199(wi
t)-8(h)-197(t)-8
(his)-196(impor)
-23(t)-10(ant)]T
J.-0.0003 Tc 0 -
1.222 TD.[(topic
.)-194(The)-194(
tw)26(o)-194(mai
n)-194(tools)-19
3(are)-195(t)-8(
hat)-194(e)21(xp
ect)-10(ation)-1
95(is)-193(addit
iv)24(e,)-195(an
d)]TJ.0 -1.223 T
D.[(t)-8(hat)-34
6(one)-346(can)-
347(break)-346(u
p)-345(complicat
ed)-348(random)-
346(v)20(ar)-20(
iables)-347(usin
g)]TJ.-0.0001 Tc
 T*.[(sums)-249(
of)-250(indicato
r)-251(functions
.)]TJ.0 Tc 0.778
 -2.155 Td.(\(a\
))Tj./T1_9 1 Tf.
-0.0002 Tc 1.666
 0 Td.(Sums)Tj./
T1_5 1 Tf.0.291 
Tc 2.111 0 Td.[(
.I)291(f)]TJ./T1
_6 1 Tf.0.0602 T
c 1.498 0 Td.[($
,)-106(&)]TJ./T1
_5 1 Tf.-0.0003 
Tc 2.293 0 Td.[(
are)-291(r)2(and
om)-291(v)20(ar)
-20(iables,)-291
(t)-8(hen)-292(w
)18(e)-291(can)-
291(cre-)]TJ.-0.
0002 Tc -5.901 -
1.223 Td.[(ate)-
221(a)-221(ne)19
(w)-221(random)-
221(v)20(ar)-19(
iable)-222(fr)6(
om)-220(t)-8(he)
-221(s)-1(um)]TJ
./T1_6 1 Tf.0 Tc
 16.128 0 Td.($)
Tj./T1_7 1 Tf.1.
072 0 Td.(+)Tj./
T1_6 1 Tf.0.907 
0 Td.(&)Tj./T1_5
 1 Tf.0.2198 Tc 
0.736 0 Td.[(.P)
220(r)226(o)242(
v)244(e)]TJ.0.00
81 Tc -18.843 -1
.223 Td.[(th)8(a
)8(t)]TJ./T1_6 1
 Tf.0 Tc 1.865 0
 Td.(#)Tj./T1_7 
1 Tf.0.774 0 Td.
([)Tj./T1_6 1 Tf
.($)Tj./T1_7 1 T
f.1.405 0 Td.(+)
Tj./T1_6 1 Tf.0.
906 0 Td.(&)Tj./
T1_7 1 Tf.0.2773
 Tc 0.736 0 Td.(
]=)Tj./T1_6 1 Tf
.0 Tc (#)Tj./T1_
7 1 Tf.2.347 0 T
d.([)Tj./T1_6 1 
Tf.($)Tj./T1_7 1
 Tf.0.2221 Tc 1.
183 0 Td.(]+)Tj.
/T1_6 1 Tf.0 Tc 
(#)Tj./T1_7 1 Tf
.2.236 0 Td.([)T
j./T1_6 1 Tf.(&)
Tj./T1_7 1 Tf.1.
068 0 Td.(])Tj./
T1_5 1 Tf.[(.)-3
56(This)-357(com
mon-sense)]TJ.-0
.0002 Tc -12.521
 -1.222 Td.[(f)2
6(act)-389(holds
)-389(e)19(v)24(
en)-389(when)-38
9(t)-8(he)-388(v
)20(ar)-19(iable
s)]TJ./T1_6 1 Tf
.0 Tc 14.82 0 Td
.($)Tj./T1_5 1 T
f.-0.0002 Tc 1.2
39 0 Td.(and)Tj.
/T1_6 1 Tf.0 Tc 
1.832 0 Td.(&)Tj
./T1_5 1 Tf.-0.0
002 Tc 1.123 0 T
d.[(\215inter)29
(-)]TJ.-0.0003 T
c -19.013 -1.223
 Td.[(f)34(ere\2
16)-172(wit)-8(h
)-173(one)-172(a
no)8(t)-8(her)26
(,)-173(f)32(or)
-171(e)21(x)11(a
mple)-174(suppos
e)-171(t)-8(hat)
]TJ./T1_6 1 Tf.0
 Tc 19.005 0 Td.
($)Tj./T1_7 1 Tf
.0.2776 Tc 1.127
 0 Td.(=1)Tj./T1
_5 1 Tf.-0.0001 
Tc 6.796 56.413 
Td.[(when)-443(a
)-441(coin)-443(
\224ip)-442(is)-
441(heads,)-443(
and)-442(zer)6(o
)-443(o)8(t)-8(h
er)-19(wise,)-44
2(and)]TJ./T1_6 
1 Tf.0 Tc T*.(&)
Tj./T1_7 1 Tf.0.
2776 Tc 1.013 0 
Td.(=2)Tj./T1_5 
1 Tf.-0.0002 Tc 
1.868 0 Td.[(whe
ne)19(v)24(er)]T
J./T1_6 1 Tf.0 T
c 4.25 0 Td.($)T
j./T1_7 1 Tf.0.2
776 Tc 1.127 0 T
d.(=0)Tj./T1_5 1
 Tf.-0.0002 Tc 1
.868 0 Td.[(and)
-407(if)]TJ./T1_
6 1 Tf.0 Tc 2.86
6 0 Td.($)Tj./T1
_7 1 Tf.0.2776 T
c 1.128 0 Td.(=1
)Tj./T1_5 1 Tf.-
0.0001 Tc 1.462 
0 Td.[(,)-406(t)
-8(hen)-405(y)18
(ou)-406(\224ip)
]TJ.-15.583 -1.2
22 Td.[(ano)8(t)
-8(her)-213(coin
)-212(and)-212(i
f)]TJ./T1_9 1 Tf
.-0.0011 Tc 7.62
3 0 Td.(that)Tj.
/T1_5 1 Tf.0 Tc 
1.783 0 Td.[(coi
n)-212(is)-211(h
eads,)]TJ./T1_6 
1 Tf.5.551 0 Td.
(&)Tj./T1_7 1 Tf
.0.2776 Tc 1.013
 0 Td.[(=\212)27
8(1)]TJ./T1_5 1 
Tf.-0.0002 Tc 2.
359 0 Td.[(and)-
213(o)8(t)-8(h-)
]TJ.0 Tc -18.328
 -1.223 Td.[(er)
-19(wise)]TJ./T1
_6 1 Tf.3.015 0 
Td.(&)Tj./T1_7 1
 Tf.0.2776 Tc 1.
013 0 Td.(=1)Tj.
/T1_5 1 Tf.-0.00
01 Tc 1.462 0 Td
.[(.)-385(On)-38
6(t)-8(he)-386(o
)8(t)-8(her)-387
(hand,)-386(con)
31(vince)-387(y)
18(ourself)]TJ.0
.0081 Tc -5.491 
-1.223 Td.[(th)8
(a)8(t)]TJ./T1_6
 1 Tf.0 Tc 1.832
 0 Td.(#)Tj./T1_
7 1 Tf.0.774 0 T
d.([)Tj./T1_6 1 
Tf.($)Tj./T1_10 
1 Tf.1.405 0 Td.
(\002)Tj./T1_6 1
 Tf.0.508 0 Td.(
&)Tj./T1_7 1 Tf.
0.2773 Tc 0.736 
0 Td.(]=)Tj./T1_
6 1 Tf.0 Tc (#)T
j./T1_7 1 Tf.2.3
47 0 Td.([)Tj./T
1_6 1 Tf.($)Tj./
T1_7 1 Tf.1.183 
0 Td.(])Tj./T1_6
 1 Tf.(#)Tj./T1_
7 1 Tf.1.107 0 T
d.([)Tj./T1_6 1 
Tf.(&)Tj./T1_7 1
 Tf.1.068 0 Td.(
])Tj./T1_5 1 Tf.
0.656 0 Td.(if)T
j./T1_6 1 Tf.0.9
35 0 Td.($)Tj./T
1_5 1 Tf.-0.0002
 Tc 1.173 0 Td.(
and)Tj./T1_6 1 T
f.0 Tc 1.769 0 T
d.(&)Tj./T1_5 1 
Tf.-0.0004 Tc 1.
059 0 Td.[(are)-
324(indepen-)]TJ
.-0.0001 Tc -16.
553 -1.222 Td.[(
dent,)-234(but)-
233(no)8(t)-233(
o)8(t)-8(her)-19
(wise.)-234(\(\2
15Independent\21
6)-235(has)-233(
a)-233(r)-19(igo
r)6(ous)]TJ.0 Tc
 T*.[(de\223niti
on,)-251(but)-25
0(f)32(or)-250(n
o)22(w)51(,)-251
(use)-250(y)18(o
ur)-250(intuitio
n.\))]TJ.0.0001 
Tc -1.721 -1.666
 Td.(\(b\))Tj./T
1_9 1 Tf.-0.0001
 Tc 1.721 0 Td.[
(Indicat)8(or)-3
66(functions)]TJ
./T1_5 1 Tf.-0.0
003 Tc 7.747 0 T
d.[(.)-367(Suppo
se)-366(w)18(e)-
366(are)-365(c)1
6(hoosing)-366(a
)-366(ran-)]TJ.-
0.0001 Tc -7.747
 -1.223 Td.[(dom
)-368(per)-20(mu
t)-10(ation)]TJ.
/T1_6 1 Tf.0 Tc 
7.378 0 Td.(2)Tj
./T1_5 1 Tf.-0.0
001 Tc 0.977 0 T
d.(of)Tj./T1_7 1
 Tf.-0.0002 Tc 1
.201 0 Td.({1)Tj
./T1_6 1 Tf.0 Tc
 (,)Tj./T1_7 1 T
f.1.397 0 Td.(2)
Tj./T1_6 1 Tf.(,
)Tj./T1_7 1 Tf.0
.916 0 Td.(\203)
Tj./T1_6 1 Tf.0.
1666 Tc 1.166 0 
Td.(,\006)Tj./T1
_7 1 Tf.0 Tc 0.9
13 0 Td.(})Tj./T
1_5 1 Tf.-0.0001
 Tc [(.)-369(De\
223ne)]TJ./T1_6 
1 Tf.0 Tc 4.136 
0 Td.($)Tj.5.977
6 0 0 5.9776 581
.769 605.28 Tm.(
\t)Tj./T1_5 1 Tf
.-0.0011 Tc 8.96
64 0 0 8.9664 58
7.4299 607.5211 
Tm.[(to)-369(be)
]TJ.-0.0001 Tc -
19.506 -1.223 Td
.[(t)-8(he)-383(
r)2(andom)-383(v
)20(ar)-19(iable
)-384(t)-8(hat)-
384(outputs)-383
(1)-383(if)]TJ./
T1_6 1 Tf.0 Tc 1
5.748 0 Td.(2)Tj
./T1_7 1 Tf.0.60
8 0 Td.(\()Tj./T
1_6 1 Tf.(\t)Tj.
/T1_7 1 Tf.0.277
3 Tc (\)=)Tj./T1
_6 1 Tf.0 Tc (\t
)Tj./T1_5 1 Tf.-
0.0002 Tc 2.911 
0 Td.[(and)-384(
0)]TJ.-0.0001 Tc
 -19.267 -1.222 
Td.[(o)8(t)-8(he
r)-19(wise.)-357
(Use)-356(t)-8(h
is,)-356(along)-
357(wit)-8(h)-35
6(\(a\),)-356(to
)-356(sho)22(w)-
357(t)-8(hat)-35
6(t)-8(he)]TJ.T*
.[(e)21(xpected)
-329(number)-328
(of)-328(\223x)2
4(ed)-328(points
)-328(will)-327(
be)-328(1,)-327(
no)-327(matter)]
TJ.-0.0003 Tc T*
.(what)Tj./T1_6 
1 Tf.0 Tc 2.194 
0 Td.(\006)Tj./T
1_5 1 Tf.0.0003 
Tc 0.747 0 Td.(i
s!)Tj.-0.0001 Tc
 -4.606 -1.666 T
d.[(\(c\))-555(A
n)-291(ur)-21(n)
-291(has)]TJ./T1
_6 1 Tf.0 Tc 6.4
47 0 Td.(\006)Tj
./T1_5 1 Tf.-0.0
001 Tc 0.787 0 T
d.[(balls)-292(l
abeled)]TJ./T1_7
 1 Tf.0 Tc 5.359
 0 Td.(1)Tj./T1_
6 1 Tf.(,)Tj./T1
_7 1 Tf.0.916 0 
Td.(2)Tj./T1_6 1
 Tf.(,)Tj./T1_7 
1 Tf.0.917 0 Td.
(3)Tj./T1_6 1 Tf
.(,)Tj./T1_7 1 T
f.0.916 0 Td.(\2
03)Tj./T1_6 1 Tf
.0.1666 Tc 1.166
 0 Td.(,\006)Tj.
/T1_5 1 Tf.-0.00
01 Tc 0.913 0 Td
.[(.)-291(Pic)22
(k)-291(a)-291(b
all)-291(at)]TJ.
-0.0003 Tc -15.7
58 -1.223 Td.[(r
andom,)-329(reco
rd)-329(it)30(\2
20)49(s)-328(num
ber)26(,)-329(an
d)-329(r)1(eplac
e)-330(it.)-328(
Do)-329(t)-8(his
)]TJ./T1_6 1 Tf.
0 Tc 21.098 0 Td
.(\006)Tj./T1_5 
1 Tf.-0.0001 Tc 
-21.098 -1.223 T
d.[(times.)-230(
The)-229(number)
-230(of)-230(dis
)8(tinct)-229(v)
20(alues)-230(wi
ll)-230(rang)15(
e)-230(fr)6(om)]
TJ./T1_7 1 Tf.0 
Tc 21.095 0 Td.(
1)Tj./T1_5 1 Tf.
-21.095 -1.222 T
d.[(\(wit)-8(h)-
273(pr)6(obabili
ty)]TJ./T1_6 1 T
f.7.048 0 Td.(\0
06)Tj./T1_7 1 Tf
.(\005)Tj./T1_6 
1 Tf.(\006)Tj.5.
9776 0 0 5.9776 
489.33 518.9971 
Tm.(\006)Tj./T1_
5 1 Tf.0.2733 Tc
 8.9664 0 0 8.96
64 492.804 515.8
651 Tm.[(\)t)275
(o)]TJ./T1_6 1 T
f.0 Tc 1.656 0 T
d.(\006)Tj./T1_5
 1 Tf.0.77 0 Td.
[(\(wit)-8(h)-27
4(pr)6(obability
)]TJ./T1_6 1 Tf.
7.049 0 Td.(*)Tj
.5.9776 0 0 5.97
76 584.847 513.6
24 Tm.(\006)Tj./
T1_7 1 Tf.8.9664
 0 0 8.9664 588.
312 515.8651 Tm.
(\005)Tj./T1_6 1
 Tf.(\006)Tj.5.9
776 0 0 5.9776 5
97.456 518.9971 
Tm.(\006)Tj./T1_
5 1 Tf.0.0003 Tc
 8.9664 0 0 8.96
64 600.9299 515.
8651 Tm.(\).)Tj.
-0.0001 Tc -21.0
12 -1.223 Td.[(B
ut)-250(what)-25
0(is)-250(t)-8(h
e)-251(e)21(xpec
ted)-251(v)20(al
ue?)]TJ.0.0001 T
c -1.721 -1.982 
Td.(\(d\))Tj./T1
_9 1 Tf.-0.0001 
Tc 1.721 0 Td.[(
Expect)10(ed)-45
7(s)6(t)8(opping
)-456(time)]TJ./
T1_5 1 Tf.-0.000
2 Tc [(.)-457(It
)-456(s)-1(eems)
-456(ob)18(vious
)-456(t)-8(hat)-
456(6)-456(is)]T
J.-0.0001 Tc -0 
-1.223 Td.[(t)-8
(he)-336(e)21(xp
ected)-338(numbe
r)-337(of)-336(t
imes)-337(y)18(o
u)-336(mus)8(t)-
336(t)2(oss)-336
(a)-336(die)-336
(in)]TJ.-0.0003 
Tc T*.[(order)-4
00(t)2(o)-401(s)
-1(ee)-399(a)-40
0(\2153.)37(\216
)-401(I)-1(ndeed
,)-402(if)-400(a
n)-401(e)21(xper
)-20(iment)30(\2
20)49(s)-401(e)1
9(v)24(ent)]TJ.-
0.0001 Tc 0 -1.2
22 TD.[(has)-377
(pr)6(obability)
]TJ./T1_6 1 Tf.0
 Tc 6.468 0 Td.(
\022)Tj./T1_5 1 
Tf.-0.0002 Tc [(
,)-377(t)-8(he)-
376(e)21(xpected
)-377(number)-37
8(of)-376(trails
)-376(y)18(ou)]T
J.-0.0004 Tc -6.
468 -1.223 Td.[(
mus)7(t)-424(do)
-424(in)-424(ord
er)-424(to)-424(
see)-425(t)-8(he
)-424(e)19(v)24(
ent)-425(will)-4
24(be)]TJ./T1_7 
1 Tf.-0.0001 Tc 
17.966 0 Td.(1\0
05)Tj./T1_6 1 Tf
.0 Tc (\022)Tj./
T1_5 1 Tf.0.4235
 Tc [(,a)424(n)4
24(d)]TJ.-0.0002
 Tc -17.966 -1.2
23 Td.[(t)-8(his
)-429(can)-431(b
e)-429(computed)
-431(f)26(air)7(
l)21(y)-430(easi
l)21(y)-430(usin
g)-429(t)-8(he)-
430(de\223ni-)]T
J.T*.[(tion)-477
(of)-477(e)21(xp
ect)-10(ation)-4
79(\(y)18(ou)-47
7(will)-478(need
)-478(to)-477(su
m)-476(an)-478(i
n\223-)]TJ.-0.00
01 Tc 0 -1.223 T
D.[(nite)-417(se
r)-19(ies,)-418(
but)-418(it)-417
(should\220)42(t
)-418(be)-417(t)
2(oo)-417(hard\)
.)-418(Then)-418
(sho)22(w)]TJ.T*
.[(t)-8(hat)-377
(y)18(ou)-377(ca
n)-377(g)15(e)9(
t)-377(t)-8(he)-
377(answ)18(er)-
377(e\002or)-23(
tlessl)21(y)-376
(using)-376(recu
r)29(-)]TJ.-0.00
03 Tc 0 -1.222 T
D.[(rence.)-280(
Deno)8(te)-281(t
)-8(he)-280(e)21
(xpected)-281(v)
20(alue)-280(b)2
0(y)]TJ./T1_6 1 
Tf.0 Tc 14.859 0
 Td.(\024)Tj./T1
_5 1 Tf.0.279 Tc
 [(,a)279(n)279(
d)-1(v)303(e)279
(r)260(i)279(f)2
79(yt)271(h)279(
a)279(t)]TJ./T1_
6 1 Tf.0 Tc -14.
859 -1.223 Td.(\
024)Tj./T1_7 1 T
f.0.591 0 Td.(=)
Tj./T1_6 1 Tf.0.
963 0 Td.(\022)T
j./T1_10 1 Tf.0.
711 0 Td.(\002)T
j./T1_7 1 Tf.0.2
221 Tc 0.509 0 T
d.[(1+\()222(1\2
12)]TJ./T1_6 1 T
f.0 Tc (\022)Tj.
/T1_7 1 Tf.0.000
3 Tc (\)\()Tj./T
1_6 1 Tf.0 Tc (\
024)Tj./T1_7 1 T
f.0.2224 Tc 5.28
2 0 Td.[(+1)223(
\))]TJ./T1_6 1 T
f.0 Tc 1.741 0 T
d.(.)Tj./T1_5 1 
Tf.-11.461 -1.66
6 Td.(\(e\))Tj./
T1_9 1 Tf.0.0005
 Tc 1.665 0 Td.[
(Lo)6(tt)11(er)-
31(y)-436(tic)29
(ke)16(ts)]TJ./T
1_5 1 Tf.-0.0001
 Tc [(.)-437(Sup
pose)-435(a)-436
(lo)8(tter)-21(y
)-437(tic)22(k)1
3(e)9(t)-437(has
)-437(a)]TJ./T1_
7 1 Tf.19.572 0 
Td.(1\00510)Tj./
T1_5 1 Tf.-19.57
2 -1.223 Td.[(pr
)6(obability)-19
3(of)-192(sho)22
(wing)-193(a)-19
2($10)-192(pr)-1
9(ize,)-193(and)
-193(a)]TJ./T1_7
 1 Tf.16.22 0 Td
.(1\0051000)Tj./
T1_5 1 Tf.3.215 
0 Td.[(pr)6(ob-)
]TJ.-19.435 -1.2
23 Td.[(abilty)-
214(of)-213(sho)
22(wing)-214(a)-
214($500)-214(pr
)-19(ize.)-214(I
t)-213(is)-213(e
asy)-213(t)2(o)-
214(s)-1(ee)-214
(t)-8(hat)-213(t
)-8(he)]TJ.T*.[(
tic)22(k)13(e)9(
t)-211(is)-210(\
215w)26(or)-23(t
)-8(h\216)-212(t
)-8(he)-211(e)21
(xpected)-212(v)
20(alue)-211(of)
-211($1.50.)-211
(But)-210(what)]
TJ.-0.0003 Tc 0 
-1.223 TD.[(if)-
318(t)-8(here)-3
17(is)-318(also)
-317(a)]TJ./T1_7
 1 Tf.-0.0001 Tc
 6.925 0 Td.(1\0
055)Tj./T1_5 1 T
f.1.84 0 Td.[(pr
)6(obability)-31
8(t)-8(hat)-317(
t)-8(he)-318(pr)
-19(ize)-318(is)
-317(jus)8(t)]TJ
.-8.765 -1.223 T
d.[(ano)8(t)-8(h
er)-251(lo)8(tte
r)-21(y)-250(tic
)22(k)13(e)9(t?)
]TJ.0 Tc -1.555 
-1.666 Td.[(\(f\
))-555(Giv)24(en
)-404(an)24(y)-4
05(seq)13(uence)
-404(of)]TJ./T1_
6 1 Tf.11.496 0 
Td.(\006)Tj./T1_
5 1 Tf.0.9 0 Td.
[(dis)8(tinct)-4
05(integ)15(ers,
)-403(w)18(e)-40
4(com-)]TJ.-10.8
42 -1.223 Td.[(p
ute)-358(its)-35
7(\215sw)28(ap)-
358(number\216)-
358(in)-357(t)-8
(he)-358(f)32(ol
lo)22(wing)-358(
w)28(a)27(y)8(:)
-358(R)14(ead-)]
TJ.-0.0002 Tc T*
.[(ing)-385(fr)6
(om)-385(lef)-10
(t)-385(t)2(o)-3
85(r)-19(ight,)-
385(whene)19(v)2
4(er)-387(w)18(e
)-385(r)2(eac)16
(h)-385(a)-385(n
umber)]TJ.-0.000
1 Tc 0 -1.222 TD
.[(t)-8(hat)-330
(is)-330(less)-3
30(t)-8(han)-329
(t)-8(he)-330(\2
23rs)8(t)-329(nu
mber)-331(in)-32
9(t)-8(he)-330(s
eq)13(uence,)-33
1(w)18(e)]TJ.0 T
c 0 -1.223 TD.[(
sw)28(ap)-208(it
s)-208(position)
-207(wit)-8(h)-2
09(t)-8(he)-207(
\223rs)8(t)-207(
number)-208(in)-
208(t)-8(he)-207
(seq)13(uence.)]
TJ.-0.0001 Tc T*
.[(W)61(e)-411(c
ontinue)-411(in)
-411(t)-8(his)-4
10(w)28(a)27(y)-
412(until)-411(w
)18(e)-411(g)15(
e)9(t)-411(t)2(o
)-411(t)-8(he)-4
10(end)-411(of)]
TJ.0 -1.222 TD.[
(t)-8(he)-430(s)
-1(eq)13(uence.)
-432(The)-430(s)
-1(w)28(ap)-432(
number)-431(of)-
431(t)-8(he)-430
(seq)13(uence)-4
31(is)]TJ.-0.000
3 Tc 0 -1.223 TD
.[(t)-8(he)-271(
t)2(o)8(t)-10(al
)-271(number)-27
2(of)-271(s)-1(w
)28(aps.)-270(F)
5(or)-272(e)21(x
)11(ample,)-272(
t)-8(he)-270(s)-
1(eq)13(uence)]T
J./T1_7 1 Tf.0 T
c T*.(3)Tj./T1_6
 1 Tf.(,)Tj./T1_
7 1 Tf.0.916 0 T
d.(4)Tj./T1_6 1 
Tf.(,)Tj./T1_7 1
 Tf.0.916 0 Td.(
2)Tj./T1_6 1 Tf.
(,)Tj./T1_7 1 Tf
.0.917 0 Td.(1)T
j./T1_5 1 Tf.0.8
 0 Td.[(has)-302
(a)-301(sw)28(ap
)-301(number)-30
1(of)-300(2,)-30
1(f)32(or)-301(w
)18(e)-301(sw)28
(ap)-301(3)-300(
wit)-8(h)]TJ.0.3
969 Tc -3.55 -1.
222 Td.[(2t)399(
og)412(e)406(t)]
TJ./T1_7 1 Tf.0 
Tc 3.665 0 Td.(2
)Tj./T1_6 1 Tf.(
,)Tj./T1_7 1 Tf.
0.916 0 Td.(4)Tj
./T1_6 1 Tf.(,)T
j./T1_7 1 Tf.0.9
16 0 Td.(3)Tj./T
1_6 1 Tf.(,)Tj./
T1_7 1 Tf.0.916 
0 Td.(1)Tj./T1_5
 1 Tf.0.3971 Tc 
0.897 0 Td.[(a)3
97(n)397(dt)389(
h)397(e)397(nw)4
15(es)397(w)426(
a)397(p2w)397(i)
397(t)389(h)1(1t
)399(og)412(e)40
7(t).TJ.ET.EMC..