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31 2e 37 31  32 20 30 20  54 64 0a 28  27 29 54 6a 
0a 2f 54 31  5f 34 20 31  20 54 66 0a  2d 30 2e 30 
30 30 31 20  54 63 20 31  2e 34 30 39  20 30 20 54 
64 0a 5b 28  62 65 29 2d  32 36 39 28  5c 32 32 33 
6e 69 74 65  29 2d 32 36  38 28 73 65  29 39 28 74 
73 29 2d 32  36 38 28 6f  66 29 2d 32  36 39 28 62 
6c 61 63 29  32 32 28 6b  29 2d 32 36  39 28 61 6e 
64 29 2d 32  36 39 28 77  68 69 74 65  29 2d 32 36 
39 28 70 6f  69 6e 74 73  2c 29 2d 32  36 39 28 72 
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30 28 79 29  35 34 28 2c  29 2d 32 36  39 28 69 6e 
29 2d 32 36  38 28 74 29  2d 38 28 68  65 29 2d 32 
36 39 28 70  6c 61 6e 65  2c 29 2d 32  36 39 28 77 
69 74 29 2d  38 28 68 29  5d 54 4a 0a  2d 30 2e 30 
30 30 33 20  54 63 20 2d  31 32 2e 32  33 20 2d 31 
2e 32 30 31  20 54 64 0a  5b 28 74 29  2d 39 28 68 
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29 2d 32 33  28 74 79 29  2d 33 32 37  28 74 29 2d 
39 28 68 61  74 29 2d 33  32 36 28 65  29 31 39 28 
76 29 32 35  28 65 72 29  2d 32 31 28  79 29 2d 33 
32 36 28 6c  69 6e 65 29  2d 33 32 35  28 73 29 2d 
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2d 39 28 68  61 74 29 2d  33 32 36 28  6a 6f 69 6e 
73 29 2d 33  32 35 28 74  77 29 32 36  28 6f 29 2d 
33 32 35 28  70 6f 69 6e  74 73 29 2d  33 32 36 28 
6f 66 29 2d  33 32 35 28  74 29 2d 39  28 68 65 29 
2d 33 32 35  28 73 61 6d  65 29 2d 33  32 36 28 63 
6f 6c 6f 72  29 2d 33 32  36 28 63 6f  6e 74 29 2d 
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66 29 2d 33  32 35 28 74  29 2d 39 28  68 65 29 5d 
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2d 31 2e 32  20 54 44 0a  5b 28 6f 29  38 28 74 29 
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32 35 31 28  62 6f 29 38  28 74 29 2d  39 28 68 29 
2d 32 35 31  28 73 65 29  39 28 74 73  29 2d 32 35 
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28 73 29 2d  31 28 65 67  6d 65 6e 74  2e 29 5d 54 
4a 0a 45 54  0a 45 4d 43  20 0a
/Part <</MCID 0 
>>BDC .BT./CS0 c
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02 Tc 5.9776 0 0
 5.9776 83.952 8
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5(rim)-250(Size:
)-249(8in)-250(x
)-250(10in)]TJ.0
.0001 Tc 70.059 
0 Td.[(Zeitz)-99
8(c03.te)15(x)-1
000(V)-1(2)-250(
-)-250(10/06/201
6)-1000(12:34pm)
-1000(P)16(age)-
250(70)]TJ.ET.29
.655 791.976 23.
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504 23.913 re.f.
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.802 809.868 0.4
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c 9.9626 0 0 9.9
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.432 791.976 23.
913 0.504 re.f.3
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.009 0.405 re.f.
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.405 18.009 re.f
.BT./T1_1 1 Tf.9
.9626 0 0 9.9626
 44.604 431.9761
 Tm.(\002)Tj.ET.
666.396 431.778 
18.009 0.405 re.
f.675.198 422.96
7 0.405 18.009 r
e.f.BT./T1_1 1 T
f.9.9626 0 0 9.9
626 675.3961 431
.9761 Tm.(\002)T
j.ET.29.655 71.9
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re.f.71.505 30.1
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f.359.802 36.075
 0.405 18.009 re
.f.BT./T1_1 1 Tf
.9.9626 0 0 9.96
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m.(\002)Tj.ET.64
8 30.126 0.504 2
3.913 re.f.666.4
32 71.976 23.913
 0.504 re.f.BT./
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10.9091 112.311 
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j./T1_3 1 Tf.0 T
c 8.9664 0 0 8.9
664 138.3844 726
.816 Tm.[(Chapte
r)-277(3)-1001(T
actics)-278(for)
-277(Solving)-27
8(Problems)]TJ./
T1_4 1 Tf.-0.000
3 Tc 1.203 -3.08
3 Td.[(inter)-21
(v)20(al)-279(in
to)-279(f)32(our
)-280(pieces.)-2
80(What)-280(is)
-280(t)-8(he)-27
9(a)32(v)24(erag
)15(e)-281(lengt
)-8(h)-279(of)-2
80(eac)16(h)]TJ.
-0.0001 Tc 0 -1.
223 TD.[(piece?)
-227(It)-226(see
ms)-225(ob)18(vi
ous)-227(t)-8(ha
t)-226(t)-8(he)-
226(answ)18(er)-
227(\215should\2
16)-226(be)-227(
1/4,)-226(and)]T
J.0 -1.222 TD.[(
t)-8(his)-184(w)
26(ould)-185(be)
-184(tr)-24(ue)-
184(if)-184(t)-8
(he)-184(pr)6(ob
ability)-185(dis
)8(tr)-19(ibutio
ns)-184(\(mean,)
-185(s)8(t)-10(a
n-)]TJ.-0.0002 T
c 0 -1.223 TD.[(
dard)-211(de)19(
viation,)-213(e)
9(tc.\))-212(f)3
2(or)-212(eac)16
(h)-213(of)-211(
t)-8(he)-212(f)3
2(our)-212(lengt
)-8(hs)-211(are)
-212(identical.)
]TJ.-0.0003 Tc T
*.[(And)-192(ind
eed,)-194(t)-8(h
is)-192(is)-191(
tr)-25(ue.)-193(
One)-193(w)28(a)
27(y)-193(to)-19
2(see)-193(t)-8(
his)-192(is)-192
(t)2(o)-192(imag
ine)-193(t)-8(ha
t)]TJ.-0.0002 Tc
 0 -1.222 TD.[(w
)18(e)-345(are)-
346(no)8(t)-345(
actuall)21(y)-34
6(dr)6(opping)-3
46(t)-8(hree)-34
5(pins)-346(on)-
345(a)-346(line)
-345(segment,)]T
J.0 -1.223 TD.[(
but)-211(ins)7(t
ead)-212(dr)6(op
ping)-212(f)32(o
ur)-211(pins)-21
1(on)-212(a)-211
(circle)-212(wit
)-8(h)-212(circu
mf)34(erence)]TJ
.-0.0003 Tc T*.[
(1)-306(unit.)-3
08(Where)19(v)24
(er)-309(t)-8(he
)-307(f)32(our)-
24(t)-8(h)-307(p
oint)-307(lands,
)-307(cut)-307(t
)-8(he)-308(circ
le)-307(t)-8(her
e)]TJ.-0.0002 Tc
 0 -1.222 TD.[(a
nd)-302(\215un)3
2(wrap\216)-304(
it)-302(t)2(o)-3
02(f)32(or)-20(m
)-302(t)-8(he)-3
02(unit)-303(int
er)-20(v)20(al.)
-302(P)16(onder)
-304(t)-8(his)-3
02(ar)16(gu-)]TJ
.-0.0001 Tc 0 -1
.223 TD.[(ment)-
250(until)-250(i
t)-250(mak)13(es
)-251(s)-1(ense.
)-250(Then)-250(
tr)-21(y)-250(t)
-8(he)-251(ne)21
(xt)-250(f)34(e)
19(w)-251(pr)6(o
blems!)]TJ.-0.00
02 Tc 0.778 -2.0
32 Td.[(\(a\))-5
56(An)-330(ordin
ar)-21(y)-329(de
c)22(k)-330(of)-
331(52)-329(card
s)-331(wit)-8(h)
-329(f)32(our)-3
31(aces)-330(is)
-330(shuf-)]TJ.-
0.0003 Tc 1.666 
-1.223 Td.[(\224
ed,)-247(and)-24
8(t)-8(hen)-248(
t)-8(he)-247(car
ds)-249(are)-247
(dra)33(wn)-248(
one)-248(b)20(y)
-247(one)-248(un
til)-247(t)-8(he
)]TJ.0 -1.222 TD
.[(\223rs)7(t)-2
71(ace)-272(appe
ars.)-273(On)-27
2(t)-8(he)-272(a
)32(v)24(erag)15
(e,)-273(ho)22(w
)-273(man)24(y)-
272(cards)-273(a
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c 0 -1.223 TD.[(
dra)33(wn?)]TJ.-
0.0002 Tc -1.721
 -1.762 Td.[(\(b
\))-555(\(Jim)-3
65(Pr)6(opp\))-3
67(Giv)24(en)-36
7(a)-366(dec)22(
k)-367(of)-367(5
2)-366(cards,)-3
67(e)21(xtract)-
367(26)-367(of)]
TJ.-0.0003 Tc 1.
721 -1.223 Td.[(
t)-8(he)-333(car
ds)-334(at)-334(
random)-333(in)-
333(one)-333(of)
-333(t)-8(he)]TJ
./T1_5 1 Tf.0 Tc
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(\013)Tj./T1_6 1
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.9776 0 0 5.9776
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m.(\f)Tj./T1_4 1
 Tf.0.0001 Tc 0.
801 -0.799 Td.[(
possible)-332(w)
29(a)28(y)13(s)]
TJ.-0.0002 Tc -1
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[(and)-263(place
)-263(t)-8(hem)-
263(on)-263(t)-8
(he)-263(t)2(op)
-262(of)-263(t)-
8(he)-262(dec)22
(k)-264(in)-262(
t)-8(he)-263(sam
e)-263(rel-)]TJ.
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222 TD.[(ativ)24
(e)-341(order)-3
41(as)-341(t)-8(
he)21(y)-341(w)1
8(ere)-341(bef)3
2(ore)-341(being
)-342(s)-1(elect
ed.)-342(What)]T
J.-0.0002 Tc 0 -
1.223 TD.[(is)-3
17(t)-8(he)-317(
e)21(xpected)-31
8(number)-318(of
)-317(cards)-318
(t)-8(hat)-316(n
o)22(w)-318(occu
p)7(y)-317(t)-8(
he)]TJ.T*.[(same
)-348(position)-
348(in)-349(t)-8
(he)-348(dec)22(
k)-349(as)-349(b
ef)32(ore?)-349(
\(See)-349(p.)-3
48(222)-349(f)32
(or)]TJ.0 -1.222
 TD.[(more)-250(
pr)6(oblems)-251
(about)-251(e)21
(xpected)-252(v)
20(alue.\))]TJ.0
.0001 Tc -1.666 
-1.763 Td.[(\(c\
))-556(\(Thanks)
-285(to)-286(And
re)20(w)-286(S)1
1(t)2(oc)23(k)13
(er)48(.\))-286(
A)-286(sy)13(s)8
(tem)-285(of)-28
6(13)-286(br)-19
(idg)15(es,)]TJ.
-0.0002 Tc 1.666
 -1.222 Td.[(sho
)22(wn)-383(in)-
383(\223gure,)-3
84(connects)-385
(t)-8(he)-383(no
r)-23(t)-8(h)-38
3(shore)-383(of)
-383(a)-384(r)-1
9(iv)24(er)]TJ.-
0.0007 Tc 0 -1.2
23 TD.[(to)-413(
t)-9(h)-1(e)-414
(s)-1(out)-9(h)-
413(s)-1(hore.)-
413(For)-413(eac
)16(h)-414(b)-1(
r)-20(i)-1(dg)15
(e,)-414(t)-9(h)
-1(ere)-414(i)-1
(s)-414(a)-413(5
0%)]TJ.-0.0002 T
c 26.928 30 Td.[
(pr)6(obability)
-188(t)-8(hat)-1
89(a)-188(pr)6(o
)8(tes)7(t)-188(
marc)16(h)-188(w
ill)-188(bloc)22
(k)-189(tra\003c
)-188(acr)6(oss)
]TJ.T*.[(t)-8(ha
t)-446(br)-19(id
g)15(e,)-445(and
)-446(t)-8(hese)
-445(pr)6(obabil
ities)-445(are)-
445(independent)
]TJ.-0.0001 Tc 0
 -1.222 TD.[(\(i
magine)-403(t)-8
(hat)-403(eac)16
(h)-403(br)-19(i
dg)15(e)-402(\22
4ips)-403(a)-402
(coin\).)-402(Wh
at)-404(is)-402(
t)-8(he)]TJ.0 Tc
 0 -1.223 TD.[(p
r)6(obability)-3
15(t)-8(hat)-315
(it)-314(is)-315
(possible)-314(t
)2(o)-315(cr)6(o
ss)-315(fr)6(om)
-314(one)-315(sh
ore)]TJ.0.0081 T
c T*.[(t)10(o)-2
42(th)8(e)-242(o
)16(th)8(e)8(r)8
(?)]TJ.ET./Docum
ent /MC0 BDC .BT
./CS1 cs 1  scn.
/T1_7 1 Tf.0 Tc 
8 0 0 8 478.8777
 636.0739 Tm.[(N
orth Shor)37(e)]
TJ.0.018 -12.629
 Td.[(South Shor
)37(e)]TJ.ET.q.5
48.751 642.714 -
100.866 -109.407
 re.W n.q.1 0 0 
1 447.8849945 54
4.2700043 cm./CS
1 CS 1  SCN.0.5 
w ./GS1 gs.0 0 m
.100.866 0 l.S.Q
.q.1 0 0 1 447.8
849945 633.07400
51 cm./CS1 CS 1 
 SCN.0.5 w ./GS1
 gs.0 0 m.100.86
6 0 l.S.Q.Q.q.1 
0 0 1 468.305999
8 633.0740051 cm
./CS1 CS 1  SCN.
/GS1 gs.0 0 m.0 
-88.804 l.S.Q.q.
1 0 0 1 528.3309
937 633.0740051 
cm./CS1 CS 1  SC
N./GS1 gs.0 0 m.
0 -88.804 l.S.Q.
q.1 0 0 1 498.31
79932 633.074005
1 cm./CS1 CS 1  
SCN./GS1 gs.0 0 
m.0 -88.804 l.S.
Q.q.1 0 0 1 468.
3049927 603.4720
001 cm./CS1 CS 1
  SCN./GS1 gs.0 
0 m.60.025 0 l.S
.Q.q.1 0 0 1 468
.3049927 573.871
0022 cm./CS1 CS 
1  SCN./GS1 gs.0
 0 m.60.025 0 l.
S.Q.EMC .BT./CS0
 cs 1  scn./T1_4
 1 Tf.-0.0003 Tc
 8.9664 0 0 8.96
64 397.098 513.1
47 Tm.[(\(d\))-5
56(\()-1(Putnam)
-348(1992\))-350
(Four)-349(point
s)-349(are)-349(
c)16(hosen)-348(
at)-350(random)-
349(on)]TJ.-0.00
02 Tc 1.721 -1.2
23 Td.[(t)-8(he)
-217(s)-1(ur)-19
(f)26(ace)-217(o
f)-217(a)-217(s)
-1(phere.)-217(W
hat)-218(is)-216
(t)-8(he)-217(pr
)6(obability)-21
7(t)-8(hat)-217(
t)-8(he)]TJ.0 -1
.222 TD.[(center
)-299(of)-299(t)
-8(he)-298(spher
e)-297(lies)-298
(inside)-298(t)-
8(he)-298(te)9(t
rahedr)6(on)-298
(whose)]TJ.-0.00
01 Tc 0 -1.223 T
D.[(v)24(er)-23(
tices)-250(are)-
251(at)-250(t)-8
(he)-251(f)32(ou
r)-250(points?)]
TJ.-0.0003 Tc -1
.665 -1.703 Td.[
(\(e\))-556(\()-
1(Ba)27(y)-385(A
rea)-386(M)-1(at
)-8(h)-385(M)-1(
ee)9(t)-386(1999
\))-386(Ele)19(v
)24(en)-386(poin
ts)-385(are)-385
(c)16(ho-)]TJ.-0
.0002 Tc 1.665 -
1.223 Td.[(sen)-
314(r)2(andoml)2
1(y)-315(on)-315
(t)-8(he)-314(su
r)-19(f)26(ace)-
315(of)-315(a)-3
14(s)-1(phere.)-
315(What)-315(is
)-314(t)-8(he)]T
J.0 -1.222 TD.[(
pr)6(obability)-
191(t)-8(hat)-19
0(all)-190(11)-1
90(points)-190(l
ie)-190(on)-190(
some)-190(hemisp
here)-191(of)]TJ
.-0.0003 Tc 0 -1
.223 TD.[(t)-8(h
is)-251(sphere?)
]TJ./T1_2 1 Tf.0
.0001 Tc 11.9551
 0 0 11.9551 145
.188 400.7281 Tm
.[(3.2)-999(The)
-278(Extreme)-27
7(Principle)]TJ.
/T1_4 1 Tf.-0.00
03 Tc 9.9626 0 0
 9.9626 176.067 
378.903 Tm.[(Whe
n)-418(y)18(ou)-
417(begin)-418(g
)-10(rappling)-4
18(wit)-9(h)-416
(a)-416(pr)6(obl
em,)-419(one)-41
7(of)-417(t)-9(h
e)-416(di\003cul
ties)-418(is)-41
6(t)-9(hat)-417(
t)-9(here)-417(a
re)-416(jus)8(t)
-417(so)-416(man
)25(y)]TJ.0 -1.2
 TD.[(t)-9(hings
)-422(to)-421(k)
13(eep)-423(trac
)22(k)-421(of)-4
22(and)-422(unde
rs)7(t)-11(and.)
-423(A)-421(pr)6
(oblem)-423(ma)2
7(y)-422(i)-1(n)
31(v)27(ol)20(v)
24(e)-422(a)-422
(s)-1(eq)13(uenc
e)-423(wit)-9(h)
-421(man)24(y)-4
23(\(perhaps)]TJ
.-0.0002 Tc T*.[
(in\223nitel)20(
y)-206(man)25(y\
))-208(elements.
)-207(A)-205(g)1
6(eome)9(tr)-21(
y)-208(pr)6(oble
m)-207(ma)27(y)-
207(use)-206(man
)25(y)-207(di\00
2erent)-206(line
s)-206(and)-207(
o)8(t)-9(her)-20
6(shapes.)-207(A
)-206(good)]TJ.-
0.0003 Tc 0 -1.2
01 TD.[(pr)6(obl
em)-458(sol)20(v
)25(er)]TJ./T1_8
 1 Tf.0.0003 Tc 
6.637 0 Td.[(alw
)19(a)-2(y)13(s)
]TJ./T1_4 1 Tf.-
0.0001 Tc 3.207 
0 Td.[(tr)-19(ie
s)-456(t)2(o)-45
5(or)16(g)11(ani
ze)-458(t)-8(his
)-455(mass)-457(
of)-456(s)8(tu\0
02.)-456(A)-455(
fundament)-10(al
)-458(t)-10(acti
c)-456(is)-456(t
)-8(he)]TJ./T1_8
 1 Tf.-0.0122 Tc
 27.504 0 Td.[(e
x)-12(t)-12(r)18
(e)-12(m)-12(e)]
TJ.-0.0001 Tc -3
7.349 -1.2 Td.[(
pr)-9(inciple:)]
TJ.-0.0003 Tc 2.
501 -2.24 Td.[(I
f)-167(possible,
)-168(assume)-16
6(that)-167(the)
-168(elements)-1
69(of)-168(y)6(o
ur)-169(pr)27(ob
lem)-168(ar)30(e
)-166(\215in)-16
8(or)28(der)62(.
)35(\216)-168(F)
65(ocus)-170(on)
-168(the)-167(\2
15lar)24(g)34(es
)6(t\216)]TJ.0.0
002 Tc 0 -1.2 TD
.[(and)-250(\215
)1(smalles)6(t\2
16)-250(e)1(leme
nts,)-250(as)-24
9(they)-250(may)
-250(b)1(e)-250(
cons)6(tr)28(ain
ed)-250(in)-250(
int)10(e)1(r)31(
e)1(s)6(ting)-25
0(w)19(ay)13(s.)
]TJ./T1_4 1 Tf.-
0.0002 Tc -2.501
 -2.24 Td.[(This
)-257(seems)-257
(almos)8(t)-258(
tr)-19(ite,)-255
(y)23(e)9(t)-257
(it)-257(w)26(or
)7(k)-5(s)-257(w
)26(onders)-258(
in)-256(s)-1(ome
)-257(s)-1(ituat
ions)-256(\(f)31
(or)-256(e)21(x)
11(ample,)-258(t
)-9(he)-257(A\00
3r)-20(mativ)25(
e)-257(A)10(ctio
n)]TJ.-0.0005 Tc
 T*.[(pr)6(oblem
)-252(on)-251(pa
g)15(e)-252(19\)
.)-251(Here)-250
(i)-1(s)-250(a)-
250(simple)-250(
e)21(x)11(ample.
)]TJ./T1_9 1 Tf.
-0.0002 Tc 0 -1.
74 TD.[(Exam)16(
ple)-252(3.2.1)]
TJ./T1_4 1 Tf.-0
.0003 Tc 6.512 0
 Td.[(Le)9(t)]TJ
./T1_10 1 Tf.0 T
c 1.592 0 Td.(\0
07)Tj./T1_4 1 Tf
.-0.0004 Tc 1.00
5 0 Td.(and)Tj./
T1_10 1 Tf.0 Tc 
1.712 0 Td.(')Tj
./T1_4 1 Tf.-0.0
001 Tc 1.409 0 T
d.[(be)-269(\223
nite)-268(se)9(t
s)-268(of)-269(b
lac)22(k)-269(an
d)-269(white)-26
9(points,)-269(r
espectiv)25(el)2
0(y)54(,)-269(in
)-268(t)-8(he)-2
69(plane,)-269(w
it)-8(h)]TJ.-0.0
003 Tc -12.23 -1
.201 Td.[(t)-9(h
e)-325(pr)6(oper
)-23(ty)-327(t)-
9(hat)-326(e)19(
v)25(er)-21(y)-3
26(line)-325(s)-
1(egment)-327(t)
-9(hat)-326(join
s)-325(tw)26(o)-
325(points)-326(
of)-325(t)-9(he)
-325(same)-326(c
olor)-326(cont)-
10(ains)-327(a)-
325(point)-326(o
f)-325(t)-9(he)]
TJ.-0.0002 Tc 0 
-1.2 TD.[(o)8(t)
-9(her)-252(colo
r)47(.)-251(P)-1
(r)6(o)22(v)25(e
)-251(t)-9(hat)-
251(bo)8(t)-9(h)
-251(se)9(ts)-25
0(mus)8(t)-251(l
ie)-250(on)-250(
a)-251(s)-1(ingl
e)-250(line)-250
(s)-1(egment.)]T
J.ET.EMC..