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Q.q.1 0 0 1 309.
8139954 653.3509
979 cm.0 0 m.0 -
1.381 -1.119 -2.
5 -2.5 -2.5 c.-3
.881 -2.5 -5 -1.
381 -5 0 c.-5 1.
381 -3.881 2.5 -
2.5 2.5 c.-1.119
 2.5 0 1.381 0 0
 c.f.Q.q.1 0 0 1
 309.8139954 623
.9160004 cm.0 0 
m.0 -1.381 -1.11
9 -2.5 -2.5 -2.5
 c.-3.881 -2.5 -
5 -1.381 -5 0 c.
-5 1.381 -3.881 
2.5 -2.5 2.5 c.-
1.119 2.5 0 1.38
1 0 0 c.f.Q.q.1 
0 0 1 339.248992
9 653.3509979 cm
.0 0 m.0 -1.381 
-1.119 -2.5 -2.5
 -2.5 c.-3.881 -
2.5 -5 -1.381 -5
 0 c.-5 1.381 -3
.881 2.5 -2.5 2.
5 c.-1.119 2.5 0
 1.381 0 0 c.f.Q
.q.1 0 0 1 339.2
489929 623.91600
04 cm.0 0 m.0 -1
.381 -1.119 -2.5
 -2.5 -2.5 c.-3.
881 -2.5 -5 -1.3
81 -5 0 c.-5 1.3
81 -3.881 2.5 -2
.5 2.5 c.-1.119 
2.5 0 1.381 0 0 
c.f.Q.q.1 0 0 1 
368.6840057 653.
3509979 cm.0 0 m
.0 -1.381 -1.119
 -2.5 -2.5 -2.5 
c.-3.881 -2.5 -5
 -1.381 -5 0 c.-
5 1.381 -3.881 2
.5 -2.5 2.5 c.-1
.119 2.5 0 1.381
 0 0 c.f.Q.q.1 0
 0 1 368.6840057
 623.9160004 cm.
0 0 m.0 -1.381 -
1.119 -2.5 -2.5 
-2.5 c.-3.881 -2
.5 -5 -1.381 -5 
0 c.-5 1.381 -3.
881 2.5 -2.5 2.5
 c.-1.119 2.5 0 
1.381 0 0 c.f.Q.
q.1 0 0 1 307.31
39954 653.350997
9 cm./CS1 CS 1  
SCN.0.5 w ./GS1 
gs.0 0 m.29.435 
-29.435 l.S.Q.q.
1 0 0 1 336.7489
929 653.3509979 
cm./CS1 CS 1  SC
N.0.5 w ./GS1 gs
.0 0 m.29.435 -2
9.435 l.S.Q.BT./
T1_6 1 Tf.10 0 0
 10 333.694 608.
6375 Tm.(B)Tj.ET
.q.1 0 0 1 402.4
810028 623.91600
04 cm./CS1 CS 1 
 SCN.0.5 w ./GS1
 gs.0 0 m.-5.448
 0 -9.864 6.589 
-9.864 14.718 c.
-9.864 22.846 -5
.448 29.435 0 29
.435 c.S.Q.q.471
.465 659.564 -25
8.633 -53.096 re
.W n.q.1 0 0 1 4
61.3509979 623.9
160004 cm./CS1 C
S 1  SCN.0.5 w .
/GS1 gs.0 0 m.5.
448 0 9.864 6.58
9 9.864 14.718 c
.9.864 22.846 5.
448 29.435 0 29.
435 c.S.Q.EMC .Q
.BT./CS0 cs 1  s
cn./GS0 gs./T1_4
 1 Tf.-0.0006 Tc
 9.9626 0 0 9.96
26 155.682 586.6
771 Tm.(Graphs)T
j./T1_7 1 Tf.0 T
c 3.206 0 Td.(\0
04)Tj./T1_4 1 Tf
.-0.0004 Tc 1.03
7 0 Td.(and)Tj./
T1_7 1 Tf.0 Tc 1
.763 0 Td.(\006)
Tj./T1_4 1 Tf.0.
0002 Tc 1.07 0 T
d.[(ha)32(v)25(e
)-321(Euler)-19(
ian)-320(w)28(a)
1(lks,)-320(whil
e)]TJ./T1_7 1 Tf
.0 Tc 11.3 0 Td.
(\005)Tj./T1_4 1
 Tf.-0.0004 Tc 1
.055 0 Td.[(does
)-321(no)8(t.)-3
21(Fur)-23(t)-9(
her)-21(more,)]T
J./T1_7 1 Tf.0 T
c 9.609 0 Td.(\0
04)Tj./T1_4 1 Tf
.-0.0001 Tc [(\2
20)48(s)-319(Eul
er)-19(ian)-320(
w)28(alk)-320(is
)-319(no)9(t)]TJ
.-0.0002 Tc -30.
542 -1.201 Td.[(
a)-302(closed)-3
02(w)28(alk:)-30
3(it)-302(mus)8(
t)-302(s)8(t)-10
(ar)-23(t)-302(a
nd)-303(end)-302
(at)-303(v)25(er
)-23(tices)]TJ./
T1_8 1 Tf.0 Tc 1
9.172 0 Td.(1)Tj
./T1_4 1 Tf.-0.0
004 Tc 0.801 0 T
d.(and)Tj./T1_8 
1 Tf.0 Tc 1.746 
0 Td.(2)Tj./T1_4
 1 Tf.-0.0002 Tc
 [(.)-302(W)59(e
)-302(call)-302(
t)-9(his)-302(an
)]TJ./T1_5 1 Tf.
0.0001 Tc 7.429 
0 Td.[(Euler)-8(
ian)-301(tr)28(a
il.)]TJ./T1_4 1 
Tf.-0.0002 Tc 6.
059 0 Td.[(The)-
302(Euler)-19(ia
n)]TJ.-0.0004 Tc
 -35.207 -1.2 Td
.[(w)28(alk)-5(s
)-321(on)-321(g)
-10(raph)]TJ./T1
_7 1 Tf.0 Tc 6.5
56 0 Td.(\006)Tj
./T1_4 1 Tf.-0.0
004 Tc 1.07 0 Td
.[(are)-321(clos
ed:)-322(t)-9(he
)21(y)-321(can)-
322(s)7(t)-11(ar
)-23(t)-320(an)2
4(ywhere)-323(an
d)-321(end)-322(
where)-322(y)18(
ou)-322(s)7(t)-1
1(ar)-23(t.)-320
(These)-322(are)
]TJ./T1_5 1 Tf.0
 Tc 29.335 0 Td.
[(Euler)-8(ian)]
TJ.-0.0001 Tc -3
6.961 -1.201 Td.
[(cir)25(cuits)]
TJ./T1_4 1 Tf.0 
Tc 2.975 0 Td.(.
)Tj.7.472 0 0 7.
472 172.872 554.
295 Tm.(5)Tj.-0.
0004 Tc 9.9626 0
 0 9.9626 155.68
2 537.735 Tm.[(I
f)-301(y)18(ou)-
302(dra)34(w)-30
1(enough)-303(g)
-10(r)1(aphs)-30
2(\(and)-301(pse
udog)-10(raphs\)
,)-303(y)18(ou)-
301(are)-301(ine
scapabl)20(y)-30
3(l)-1(ed)-301(t
o)-300(f)31(ocus
)-301(on)-301(t)
-9(he)-301(v)24(
er)-23(tices)]TJ
.-1.5 -1.2 Td.[(
wit)-9(h)-258(od
d)-260(deg)-10(r
ee.)-261(Le)9(t)
]TJ./T1_7 1 Tf.0
 Tc 8.568 0 Td.(
\016)Tj./T1_4 1 
Tf.-0.0003 Tc 0.
764 0 Td.[(be)-2
59(a)-259(v)25(e
r)-23(te)21(x)-2
60(wit)-9(h)-258
(odd)-260(deg)-1
0(ree)-260(in)-2
59(a)-258(g)-10(
r)1(aph)-260(t)-
9(hat)-260(posse
sses)-259(an)-25
9(Euler)-20(ian)
-260(w)28(alk.)-
259(There)]TJ.-0
.0005 Tc -9.332 
-1.2 Td.[(are)-2
50(t)-9(hree)-25
0(cases:)]TJ.-0.
0003 Tc 1.25 -2.
56 Td.[(1.)-500(
The)-251(w)28(al
k)-251(can)-251(
s)8(t)-10(ar)-23
(t)-251(at)]TJ./
T1_7 1 Tf.0 Tc 9
.828 0 Td.(\016)
Tj./T1_4 1 Tf.(.
)Tj.-0.0004 Tc -
9.828 -2.447 Td.
[(2.)-500(The)-2
51(w)28(alk)-251
(can)-251(end)-2
52(at)]TJ./T1_7 
1 Tf.0 Tc 9.525 
0 Td.(\016)Tj./T
1_4 1 Tf.(.)Tj.-
0.0002 Tc -9.525
 -2.447 Td.[(3.)
-500(The)-293(w)
28(alk)-293(s)8(
t)-10(ar)-23(ts)
-292(and)-293(en
ds)-293(else)19(
where,)-294(or)-
293(is)-292(a)-2
92(closed)-292(w
)28(alk)-293(\(n
o)-292(s)8(t)-10
(ar)-23(t)-292(o
r)-293(end\).)-2
93(This)-293(is)
-292(no)8(t)-293
(possible,)]TJ.1
.249 -1.201 Td.[
(because)-263(wh
ene)19(v)25(er)-
264(t)-9(he)-262
(w)28(alk)-262(e
nters)]TJ./T1_7 
1 Tf.0 Tc 13.85 
0 Td.(\016)Tj./T
1_4 1 Tf.-0.0003
 Tc 0.767 0 Td.[
(along)-263(an)-
262(edg)16(e,)-2
63(it)-262(will)
-262(need)-263(t
o)-261(e)21(xit)
]TJ./T1_7 1 Tf.0
 Tc 13.634 0 Td.
(\016)Tj./T1_4 1
 Tf.-0.0004 Tc 0
.767 0 Td.[(alon
g)-263(a)-262(di
\002erent)-263(e
dg)15(e.)]TJ.-29
.018 -1.2 Td.[(T
his)-251(means)-
252(t)-9(hat)]TJ
./T1_7 1 Tf.0 Tc
 6.591 0 Td.(\01
3)Tj./T1_8 1 Tf.
0.592 0 Td.(\()T
j./T1_7 1 Tf.(\0
16)Tj./T1_8 1 Tf
.(\))Tj./T1_4 1 
Tf.-0.0002 Tc 1.
423 0 Td.[(is)-2
50(e)19(v)25(en.
)]TJ.-0.0003 Tc 
-11.105 -2.559 T
d.[(Theref)31(or
e)-249(if)-249(a
)-249(g)-10(r)1(
aph)-249(has)-25
0(an)-249(Euler)
-20(ian)-250(pat
)-9(h,)-250(it)-
249(mus)8(t)-250
(ha)32(v)25(e)-2
50(eit)-9(her)-2
49(zer)6(o)-250(
or)-250(e)21(x)1
1(actl)20(y)-249
(tw)26(o)-249(od
d-deg)-10(ree)-2
51(v)25(er)-23(t
ices.)]TJ.0 -1.2
01 TD.[(In)-250(
f)26(act,)-251(t
)-9(his)-250(is)
-250(a)-250(nece
ssar)-21(y)-252(
and)-251(su\003c
ient)-252(condit
ion.)-253(More)-
250(precisel)20(
y)53(,)]TJ./T1_5
 1 Tf.-0.0001 Tc
 2.5 -2.345 Td.[
(A)-237(connect)
10(ed)-239(g)21(
r)28(aph)-236(\(
or)-236(pseudog)
21(r)28(aph\))-2
38(possesses)-23
7(an)-236(Euler)
-9(ian)-236(w)18
(alk)-236(if)-23
6(and)-237(onl)1
0(y)-237(if)-236
(it)-237(has)-23
6(zer)28(o)]TJ.-
0.0002 Tc T*.[(o
r)-262(e)12(x)-3
(actl)10(y)-263(
tw)19(o)-262(odd
-deg)21(r)30(ee)
-263(v)20(er)-12
(tices.)-262(I)-
1(n)-262(t)3(he)
-262(f)13(or)-18
(mer)-262(case,)
-261(t)3(he)-262
(w)18(a)-1(lk)-2
62(is)-262(a)-26
2(cir)25(cuit.)-
262(In)-262(the)
-262(latt)10(er)
56(,)]TJ.-0.0003
 Tc 0 -1.2 TD.[(
the)-250(w)18(al
k)-250(is)-250(a
)-251(tr)27(ail)
-249(t)3(hat)-25
0(begins)-252(an
d)-250(end)-251(
at)-250(the)-250
(odd-deg)21(r)30
(ee)-253(v)20(er
)-12(tices.)]TJ.
/T1_4 1 Tf.-0.00
01 Tc -2.5 -2.93
3 Td.[(It)-193(i
s)-192(possible)
-193(t)2(o)-192(
pr)6(o)22(v)25(e
)-195(t)-8(his)-
192(b)20(y)-193(
\(s)8(tr)6(ong\)
)-194(induction,
)-195(and)-194(i
ndeed,)-195(t)-8
(he)-192(ar)16(g
ument)-195(belo)
22(w)-193(can)-1
94(easil)20(y)-1
93(be)-193(r)1(e
)19(wr)-19(itten
)]TJ.-0.0003 Tc 
0 -1.201 TD.[(as
)-191(an)-191(in
duction)-192(pr)
6(oof.)-191(But)
-192(it)-190(is)
-190(muc)16(h)-1
92(more)-191(ins
)8(tr)-25(uctiv)
25(e)-190(t)1(o)
-190(present)-19
2(a)-190(ne)19(w
)-192(type)-191(
of)-191(ar)16(gu
ment,)-193(an)]T
J./T1_5 1 Tf.35.
798 0 Td.[(algor
)-9(ithmic)]TJ./
T1_4 1 Tf.-35.79
8 -1.2 Td.[(pr)6
(oof,)-252(in)-2
49(whic)16(h)-25
2(w)18(e)-250(gi
v)25(e)-252(a)-2
50(g)16(eneral)-
253(recipe)-251(
f)31(or)-250(t)-
9(he)-250(cons)8
(tr)-25(uction)-
251(of)-251(an)-
251(Euler)-20(ia
n)-251(w)28(alk.
)]TJ.-0.0002 Tc 
1.5 -1.312 Td.[(
Consider)-246(\2
23rs)8(t)-242(a)
-245(g)-10(r)1(a
ph)-245(wit)-9(h
)-244(e)21(x)11(
actl)20(y)-245(t
w)26(o)-245(odd-
deg)-10(ree)-246
(v)25(er)-23(tic
es,)-245(whic)17
(h)-245(w)18(e)-
245(will)-243(ca
ll)]TJ./T1_7 1 T
f.0 Tc 31.598 0 
Td.(\022)Tj./T1_
4 1 Tf.-0.0004 T
c 0.684 0 Td.(an
d)Tj./T1_7 1 Tf.
0 Tc 1.687 0 Td.
(\023)Tj./T1_4 1
 Tf.0.2442 Tc 0.
675 0 Td.[(.L)24
5(e)254(t)-1(u)2
45(st)244(r)223(
y)]TJ.-0.0004 Tc
 -36.144 -1.201 
Td.[(to)-229(nai
v)24(el)20(y)-23
0(dra)34(w)-231(
an)-230(Euler)-2
0(i)-1(an)-230(w
)28(alk)-5(,)-23
0(s)7(t)-11(ar)-
23(ting)-229(f)-
1(r)6(om)]TJ./T1
_7 1 Tf.0 Tc 18.
958 0 Td.(\022)T
j./T1_4 1 Tf.-0.
0003 Tc [(.)-230
(W)59(e)-228(wil
l)-229(tra)32(v)
25(el)-230(rando
ml)20(y)53(,)-23
2(\223)-1(gur)-2
0(ing)-229(t)-9(
hat)-230(w)18(e)
-230(can)40(\220
)41(t)-230(lose:
)]TJ.-18.958 -1.
2 Td.[(if)-270(w
)18(e)-270(enter
)-272(an)-270(e)
19(v)25(en-deg)-
10(ree)-273(v)25
(er)-23(te)21(x,
)-272(w)18(e)-27
0(can)-271(t)-9(
hen)-270(lea)32(
v)25(e)-272(it,)
-269(and)-271(ei
t)-9(her)-271(t)
-9(his)-270(v)25
(er)-23(te)21(x)
-272(will)-269(h
a)32(v)25(e)-272
(no)-270(untra)3
2(v)25(eled)]TJ.
0 -1.2 TD.[(edg)
16(es)-253(lef)-
11(t)-250(or)-25
1(an)-251(e)19(v
)25(en)-252(numb
er)-252(of)-251(
t)-9(hem,)-251(i
n)-250(whic)16(h
)-252(case)-251(
w)18(e)-250(can)
-251(tra)32(v)25
(el)-251(t)-9(hr
)6(ough)-252(lat
er)47(.)]TJ.ET.1
40.742 215.022 1
61.28 0.405 re.f
.BT./T1_4 1 Tf.0
 Tc 5.9776 0 0 5
.9776 155.187 20
8.389 Tm.(5)Tj.-
0.0002 Tc 7.9701
 0 0 7.9701 158.
679 205.599 Tm.[
(In)-326(contras
)8(t)-327(to)-32
7(pat)-8(hs)-327
(\(w)28(alks)-32
7(wit)-8(h)-328(
no)-327(r)2(epea
ted)-327(v)23(er
)-23(tices\),)-3
28(a)]TJ./T1_5 1
 Tf.-0.0001 Tc 2
3.098 0 Td.[(tr)
29(ail)]TJ./T1_4
 1 Tf.-0.0002 Tc
 2.023 0 Td.[(is
)-327(a)-326(w)2
8(alk)-328(wit)-
8(h)-327(no)-327
(repeated)-328(e
dg)14(es.)-326(A
)-326(closed)-32
8(trail)-327(\(s
)8(t)-10(ar)-23(
ting)]TJ.-0.0001
 Tc -27.371 -1.1
87 Td.[(and)-286
(ending)-285(v)2
3(er)-23(tices)-
286(are)-286(t)-
8(he)-287(same\)
)-286(is)-286(ca
lled)-286(a)]TJ.
/T1_5 1 Tf.18.18
1 0 Td.[(cir)25(
cuit)]TJ./T1_4 1
 Tf.-0.0003 Tc [
(.)-288(The)-286
(mnemonic)-285(a
id)-286(t)-8(h)-
1(at)-287(I)-285
(u)-1(se)-287(to
)-286(k)13(eep)-
286(trac)21(k)-2
86(o)-1(f)-285(t
)-8(he)-286(ter)
-21(ms)-287(pat)
-8(h)-1(,)-286(t
rail,)-287(cy)14
(cle,)]TJ.-0.000
2 Tc -18.181 -1.
188 Td.[(circuit
)-277(is)-276(to
)-276(t)-8(hink)
-276(of)-276(t)-
8(he)-275(mo)21(
vie)-275(\215E.)
-275(T)45(.)38(\
216)-278(and)-27
6(t)-8(hus)]TJ./
T1_9 1 Tf.0 Tc 1
9.281 0 Td.(t)Tj
./T1_4 1 Tf.-0.0
005 Tc [(rails)-
277(in)30(v)26(o
)-1(l)21(v)23(e)
]TJ./T1_9 1 Tf.0
 Tc 5.502 0 Td.(
e)Tj./T1_4 1 Tf.
-0.0002 Tc [(dg)
14(es)-275(and)-
276(circui)]TJ./
T1_9 1 Tf.0 Tc 6
.532 0 Td.(t)Tj.
/T1_4 1 Tf.-0.00
04 Tc [(s)-276(a
re)-277(trails.)
-277(N)14(o)7(te
)-277(t)-8(hat)-
277(all)-277(cy)
14(cles)-276(are
)-276(circuits,)
-278(but)]TJ.0.0
001 Tc -31.315 -
1.187 Td.[(no)8(
t)-249(con)30(v)
24(ersel)22(y)71
(.).TJ.ET.EMC..