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31 20 54 66  0a 30 2e 30  30 30 31 20  54 63 20 30 
2e 37 36 33  20 30 20 54  64 0a 5b 28  2d 70 72 29 
2d 31 39 28  69 6d 65 73  2e 29 5d 54  4a 0a 30 20 
54 63 20 2d  32 2e 33 31  38 20 2d 31  2e 37 36 38 
20 54 64 0a  5b 28 5c 28  66 5c 29 29  2d 35 35 35 
28 43 6f 6e  63 6c 75 64  65 29 2d 31  39 38 28 74 
29 2d 38 28  68 61 74 29  5d 54 4a 0a  2f 54 31 5f 
37 20 31 20  54 66 0a 37  2e 32 39 31  20 30 20 54 
64 0a 28 5c  30 33 31 29  54 6a 0a 2f  54 31 5f 35 
20 31 20 54  66 0a 2d 30  2e 30 30 30  31 20 54 63 
20 30 2e 39  36 31 20 30  20 54 64 0a  5b 28 64 6f 
65 73 29 2d  31 39 38 28  6e 6f 29 38  28 74 29 2d 
31 39 38 28  70 6f 73 73  65 73 73 29  2d 31 39 37 
28 75 6e 69  71 29 31 33  28 75 65 29  2d 31 39 38 
28 66 29 32  36 28 61 63  74 6f 72 29  2d 31 39 28 
69 7a 61 74  69 6f 6e 2e  29 5d 54 4a  0a 45 54 0a 
45 4d 43 20  0a
/Part <</MCID 0 
>>BDC .BT./CS0 c
s 1  scn./GS0 gs
./T1_0 1 Tf.0.00
02 Tc 5.9776 0 0
 5.9776 83.952 8
21.8561 Tm.[(T)3
5(rim)-250(Size:
)-249(8in)-250(x
)-250(10in)]TJ.0
.0001 Tc 70.059 
0 Td.[(Zeitz)-99
8(c07.te)15(x)-1
000(V)-1(2)-250(
-)-250(10/11/201
6)-1000(7:45pm)-
1000(P)16(age)-2
50(230)]TJ.ET.29
.655 791.976 23.
913 0.504 re.f.7
1.505 809.904 0.
504 23.913 re.f.
351 818.67 18.00
9 0.405 re.f.359
.802 809.868 0.4
05 18.009 re.f.B
T./T1_1 1 Tf.0 T
c 9.9626 0 0 9.9
626 360 818.868 
Tm.(\002)Tj.ET.6
48 809.904 0.504
 23.913 re.f.666
.432 791.976 23.
913 0.504 re.f.3
5.604 431.778 18
.009 0.405 re.f.
44.406 422.967 0
.405 18.009 re.f
.BT./T1_1 1 Tf.9
.9626 0 0 9.9626
 44.604 431.9761
 Tm.(\002)Tj.ET.
666.396 431.778 
18.009 0.405 re.
f.675.198 422.96
7 0.405 18.009 r
e.f.BT./T1_1 1 T
f.9.9626 0 0 9.9
626 675.3961 431
.9761 Tm.(\002)T
j.ET.29.655 71.9
76 23.913 0.504 
re.f.71.505 30.1
26 0.504 23.913 
re.f.351 44.877 
18.009 0.405 re.
f.359.802 36.075
 0.405 18.009 re
.f.BT./T1_1 1 Tf
.9.9626 0 0 9.96
26 360 45.0751 T
m.(\002)Tj.ET.64
8 30.126 0.504 2
3.913 re.f.666.4
32 71.976 23.913
 0.504 re.f.BT./
T1_2 1 Tf.0.0001
 Tc 10.9091 0 0 
10.9091 112.311 
726.816 Tm.(230)
Tj./T1_3 1 Tf.8.
9664 0 0 8.9664 
144.4506 726.816
 Tm.[(Chapter)-2
77(7)-1001(Numbe
r)-277(Theory)]T
J.ET.149.175 704
.235 458.289 0.9
99 re.f.BT./T1_2
 1 Tf.10.9091 0 
0 10.9091 149.17
5 687.2971 Tm.[(
Problems)-276(an
d)-277(Exercises
)]TJ./T1_4 1 Tf.
-0.0001 Tc 8.966
4 0 0 8.9664 148
.923 658.1821 Tm
.(7.1.9)Tj./T1_5
 1 Tf.2.556 0 Td
.[(W)31(r)-19(it
e)-250(out)-251(
a)-250(f)32(or)-
20(mal)-250(pr)6
(oof)-250(of)-25
0(t)-8(he)-251(F
T)53(A)5(.)]TJ./
T1_4 1 Tf.-2.556
 -1.905 Td.(7.1.
10)Tj./T1_5 1 Tf
.-0.0002 Tc 3.05
6 0 Td.[(R)13(e)
19(vie)19(w)-456
(Ex)11(ample)-45
7(3.2.4)-456(on)
-456(pag)15(e)-4
57(74,)-456(an)-
456(interes)7(ti
ng)]TJ.-0.0001 T
c -3.027 -1.223 
Td.[(pr)6(oblem)
-250(in)31(v)27(
ol)21(ving)-251(
GCD,)-250(L)1(CM
,)-249(and)-251(
t)-8(he)-251(e)2
1(xtreme)-251(pr
)-19(inciple.)]T
J./T1_4 1 Tf.-0.
028 -1.906 Td.(7
.1.11)Tj./T1_5 1
 Tf.-0.0002 Tc 3
.056 0 Td.[(Pr)6
(o)22(v)24(e)-25
7(t)-8(hat)-257(
t)-8(he)-257(fra
ction)]TJ./T1_6 
1 Tf.0 Tc 9.156 
0 Td.(\()Tj./T1_
7 1 Tf.(\b)Tj./T
1_6 1 Tf.5.9776 
0 0 5.9776 265.8
51 616.188 Tm.(3
)Tj.0.2224 Tc 8.
9664 0 0 8.9664 
271.323 613.0471
 Tm.(+2)Tj./T1_7
 1 Tf.0 Tc 1.407
 0 Td.(\b)Tj./T1
_6 1 Tf.0.0002 T
c (\)\002\()Tj./
T1_7 1 Tf.0 Tc (
\b)Tj./T1_6 1 Tf
.5.9776 0 0 5.97
76 303.516 616.1
88 Tm.(4)Tj.0.22
24 Tc 8.9664 0 0
 8.9664 308.997 
613.0471 Tm.(+3)
Tj./T1_7 1 Tf.0 
Tc 1.407 0 Td.(\
b)Tj./T1_6 1 Tf.
5.9776 0 0 5.977
6 326.07 616.188
 Tm.(2)Tj.0.2224
 Tc 8.9664 0 0 8
.9664 331.551 61
3.0471 Tm.[(+1)2
23(\))]TJ./T1_5 
1 Tf.0.0001 Tc 1
.996 0 Td.[(is)-
256(in)]TJ.-0.00
01 Tc -22.336 -1
.222 Td.[(lo)22(
w)18(es)8(t)-250
(ter)-20(ms)-250
(f)32(or)-250(e)
19(v)24(er)-21(y
)-250(positiv)24
(e)-251(integ)15
(er)]TJ./T1_7 1 
Tf.0 Tc 15.543 0
 Td.(\b)Tj./T1_5
 1 Tf.(.)Tj./T1_
4 1 Tf.-0.0001 T
c -15.571 -1.906
 Td.(7.1.12)Tj./
T1_8 1 Tf.-0.000
3 Tc 3.056 0 Td.
[(The)-308(E)-1(
uclidean)-308(A)
-1(lgor)-9(ithm)
]TJ./T1_5 1 Tf.-
0.0001 Tc 10.232
 0 Td.[(.)-307(R
)13(epeated)-309
(use)-307(of)-30
8(t)-8(he)-308(d
ivi-)]TJ.-0.0002
 Tc -13.259 -1.2
23 Td.[(sion)-22
6(algor)-19(it)-
8(hm)-228(allo)2
2(w)23(s)-227(on
e)-228(to)-227(e
asil)21(y)-227(c
ompute)-229(t)-8
(he)-227(GCD)-22
7(of)-227(tw)26(
o)]TJ.-0.0003 Tc
 0 -1.222 TD.[(n
umbers.)-250(F)5
(or)-250(e)21(x)
11(ample,)-251(w
)18(e)-251(shall
)-250(compute)]T
J./T1_6 1 Tf.0 T
c 16.659 0 Td.(\
(333)Tj./T1_7 1 
Tf.(,)Tj./T1_6 1
 Tf.-0.0001 Tc 2
.251 0 Td.(51\))
Tj./T1_5 1 Tf.0 
Tc (:)Tj./T1_6 1
 Tf.-0.0001 Tc -
11.497 -2.2 Td.[
(333)-1112(=)-11
11(6)]TJ./T1_9 1
 Tf.0 Tc 5.13 0 
Td.(\002)Tj./T1_
6 1 Tf.-0.0001 T
c 0.508 0 Td.[(5
1)-223(+)-221(27
;)]TJ.-5.137 -1.
556 Td.[(51)-111
1(=)-1111(1)]TJ.
/T1_9 1 Tf.0 Tc 
4.629 0 Td.(\002
)Tj./T1_6 1 Tf.-
0.0001 Tc 0.508 
0 Td.[(27)-223(+
)-221(24;)]TJ.-5
.137 -1.556 Td.[
(27)-1111(=)-111
1(1)]TJ./T1_9 1 
Tf.0 Tc 4.629 0 
Td.(\002)Tj./T1_
6 1 Tf.-0.0001 T
c 0.508 0 Td.[(2
4)-223(+)-221(3;
)]TJ.-5.137 -1.5
56 Td.[(24)-1111
(=)-1111(8)]TJ./
T1_9 1 Tf.0 Tc 4
.629 0 Td.(\002)
Tj./T1_6 1 Tf.0.
2221 Tc 0.508 0 
Td.(3+0)Tj./T1_7
 1 Tf.0 Tc 2.129
 0 Td.(.)Tj./T1_
5 1 Tf.-0.0001 T
c -15.18 -2.2 Td
.[(W)61(e)-334(s
)8(t)-10(ar)-23(
t)-333(b)20(y)-3
34(dividing)-335
(333)-334(b)20(y
)-334(51.)-334(T
hen)-334(w)18(e)
-334(divide)-334
(51)-334(b)20(y)
-334(t)-8(he)]TJ
.-0.0002 Tc T*.[
(remainder)-172(
fr)6(om)-171(t)-
8(he)-172(pre)19
(vious)-171(s)7(
tep.)-172(A)13(t
)-172(eac)16(h)-
173(s)-1(uccessi
v)24(e)-171(s)7(
tep,)-172(w)18(e
)]TJ.0 -1.223 TD
.[(divide)-296(t
)-8(he)-296(las)
7(t)-295(r)2(ema
inder)-297(b)20(
y)-296(t)-8(he)-
296(pre)19(vious
)-297(remainder)
48(.)-297(W)61(e
)-296(do)]TJ.-0.
0001 Tc T*.[(t)-
8(his)-214(until
)-216(t)-8(he)-2
15(r)2(emainder)
-216(is)-215(zer
)6(o,)-216(and)-
216(our)-215(ans
w)18(er)29(\204t
)-8(he)-216(GCD\
204)]TJ.0 -1.222
 TD.[(is)-249(t)
-8(he)-251(\223n
al)-250(non-zer)
6(o)-251(r)2(ema
inder)-251(\(in)
-250(t)-8(his)-2
49(case,)-251(3\
).)]TJ.-0.0006 T
c 1.666 -1.456 T
d.[(Here)-251(i)
-1(s)-250(ano)8(
t)-9(her)-252(e)
21(x)11(ample.)-
252(T)31(o)-250(
compute)]TJ./T1_
6 1 Tf.0.0001 Tc
 15.23 0 Td.(\(8
9)Tj./T1_7 1 Tf.
0 Tc (,)Tj./T1_6
 1 Tf.-0.0001 Tc
 1.75 0 Td.(24\)
)Tj./T1_5 1 Tf.0
.2503 Tc [(,w)26
9(eh)250(a)283(v
)275(e)]TJ./T1_6
 1 Tf.-0.0001 Tc
 -10.984 -2.2 Td
.[(89)-1112(=)-1
111(3)]TJ./T1_9 
1 Tf.0 Tc 4.63 0
 Td.(\002)Tj./T1
_6 1 Tf.-0.0001 
Tc 0.508 0 Td.[(
24)-223(+)-221(1
7;)]TJ.-5.138 -1
.556 Td.[(24)-11
12(=)-1111(1)]TJ
./T1_9 1 Tf.0 Tc
 4.63 0 Td.(\002
)Tj./T1_6 1 Tf.-
0.0001 Tc 0.508 
0 Td.[(17)-223(+
)-221(7;)]TJ.-5.
138 -1.555 Td.[(
17)-1112(=)-1111
(2)]TJ./T1_9 1 T
f.0 Tc 4.63 0 Td
.(\002)Tj./T1_6 
1 Tf.0.2221 Tc 0
.508 0 Td.[(7+3)
222(;)]TJ.1.1109
 Tc -4.637 -1.55
6 Td.(7=2)Tj./T1
_9 1 Tf.0 Tc 4.1
29 0 Td.(\002)Tj
./T1_6 1 Tf.0.22
21 Tc 0.508 0 Td
.[(3+1)222(;)]TJ
./T1_5 1 Tf.0.00
02 Tc -12.801 -2
.2 Td.[(so)-249(
t)-8(he)-250(G)1
(CD)-249(is)-249
(1.)]TJ.-0.0001 
Tc 1.666 -1.456 
Td.[(This)-261(m
e)9(t)-8(hod)-26
3(is)-261(called
)-263(t)-8(he)]T
J./T1_8 1 Tf.-0.
0003 Tc 10.372 0
 Td.[(Euclidean)
-262(A)-1(lgor)-
9(ithm)]TJ./T1_5
 1 Tf.-0.0001 Tc
 8.378 0 Td.[(.)
-262(Explain)]TJ
.-0.0002 Tc -20.
416 -1.222 Td.[(
wh)20(y)-250(it)
-250(w)26(or)7(k
)-5(s)-1(!)]TJ./
T1_4 1 Tf.-0.000
1 Tc -0.028 -1.9
06 Td.(7.1.13)Tj
./T1_8 1 Tf.-0.0
002 Tc 3.056 0 T
d.[(Linear)-263(
Diophantine)-262
(Equations)]TJ./
T1_5 1 Tf.0.2619
 Tc 12.251 0 Td.
[(.S)262(i)262(n
)262(c)262(e)]TJ
./T1_6 1 Tf.-0.0
001 Tc (17)Tj./T
1_10 1 Tf.0 Tc 4
.273 0 Td.(\002)
Tj./T1_6 1 Tf.-0
.0001 Tc 0.971 0
 Td.(11)Tj./T1_5
 1 Tf.0.2619 Tc 
[(,t)254(h)262(e
)262(r)264(e)]TJ
.-0.0001 Tc -20.
522 -1.222 Td.[(
e)21(xis)8(t)-41
7(integ)15(ers)]
TJ./T1_7 1 Tf.0.
0001 Tc 5.845 0 
Td.[(\016,)-333(
\017)]TJ./T1_5 1
 Tf.-0.0001 Tc 2
.047 0 Td.[(suc)
16(h)-417(t)-8(h
at)]TJ./T1_6 1 T
f.4.16 0 Td.(17)
Tj./T1_7 1 Tf.0 
Tc (\016)Tj./T1_
6 1 Tf.0.2214 Tc
 1.773 0 Td.[(+1
)222(1)]TJ./T1_7
 1 Tf.0 Tc 1.906
 0 Td.(\017)Tj./
T1_6 1 Tf.0.2776
 Tc 0.775 0 Td.(
=1)Tj./T1_5 1 Tf
.-0.0005 Tc 1.46
2 0 Td.[(.)-418(
F)4(or)-417(e)21
(x)11(ample,)]TJ
./T1_7 1 Tf.0 Tc
 -17.968 -1.223 
Td.(\016)Tj./T1_
6 1 Tf.0.2776 Tc
 0.827 0 Td.(=2)
Tj./T1_7 1 Tf.0.
3342 Tc 1.462 0 
Td.(,\017)Tj./T1
_6 1 Tf.0.2776 T
c 1.358 0 Td.[(=
\212)278(3)]TJ./
T1_5 1 Tf.-0.000
4 Tc 2.373 0 Td.
[(w)26(or)6(k)1(
.)-227(Here)-227
(is)-226(a)-227(
neat)-227(tr)-20
(ic)22(k)-226(f)
32(or)-226(g)15(
enerating)-227(m
ore)]TJ.-6.021 -
1.223 Td.[(integ
)15(er)-251(s)-1
(olutions)-251(t
o)]TJ./T1_6 1 Tf
.-0.0001 Tc 7.9 
0 Td.(17)Tj./T1_
7 1 Tf.0 Tc (\01
6)Tj./T1_6 1 Tf.
0.2214 Tc 1.773 
0 Td.[(+1)222(1)
]TJ./T1_7 1 Tf.0
 Tc 1.906 0 Td.(
\017)Tj./T1_6 1 
Tf.0.2776 Tc 0.7
75 0 Td.(=1)Tj./
T1_5 1 Tf.0.2495
 Tc 1.462 0 Td.[
(:J)249(u)250(s)
257(tl)250(e)259
(t)]TJ./T1_7 1 T
f.0 Tc -7.679 -2
.2 Td.(\016)Tj./
T1_6 1 Tf.0.2776
 Tc 0.828 0 Td.[
(=2)55(+)56(1)27
8(1)]TJ./T1_7 1 
Tf.0.0002 Tc 3.5
92 0 Td.[(\r,)-1
167(\017)]TJ./T1
_6 1 Tf.0.2776 T
c 2.504 0 Td.[(=
\212)278(3)55(\2
12)55(1)278(7)]T
J./T1_7 1 Tf.0.0
002 Tc 4.277 0 T
d.(\r,)Tj./T1_5 
1 Tf.-0.0006 Tc 
-17.338 -2.2 Td.
(where)Tj./T1_7 
1 Tf.0 Tc 2.69 0
 Td.(\r)Tj./T1_5
 1 Tf.0.563 0 Td
.(is)Tj./T1_8 1 
Tf.-0.0001 Tc 0.
917 0 Td.[(an)7(
y)]TJ./T1_5 1 Tf
.1.688 0 Td.[(in
teg)15(er)48(.)]
TJ.-5.081 -2.238
 Td.[(\(a\))-556
(V)70(er)-19(ify
)-345(t)-8(hat)]
TJ./T1_7 1 Tf.0 
Tc 6.423 0 Td.(\
016)Tj./T1_6 1 T
f.0.2776 Tc 0.82
8 0 Td.[(=2)56(+
)55(1)278(1)]TJ.
/T1_7 1 Tf.0.000
2 Tc 3.592 0 Td.
[(\r,)-166(\017)
]TJ./T1_6 1 Tf.0
.2776 Tc 1.504 0
 Td.[(=\212)278(
3)55(\212)55(1)2
78(7)]TJ./T1_7 1
 Tf.0 Tc 4.277 0
 Td.(\r)Tj./T1_5
 1 Tf.-0.0001 Tc
 0.658 0 Td.[(wi
ll)-345(be)-345(
a)-345(s)-1(olu-
)]TJ.0 Tc -15.61
6 -1.223 Td.[(ti
on)-348(t)2(o)]T
J./T1_6 1 Tf.-0.
0001 Tc 3.027 0 
Td.(17)Tj./T1_7 
1 Tf.0 Tc (\016)
Tj./T1_6 1 Tf.0.
2224 Tc 1.772 0 
Td.[(+1)223(1)]T
J./T1_7 1 Tf.0 T
c 1.907 0 Td.(\0
17)Tj./T1_6 1 Tf
.0.2776 Tc 0.774
 0 Td.(=1)Tj./T1
_5 1 Tf.0.3483 T
c 1.462 0 Td.[(,
n)348(om)348(a)3
49(t)348(t)348(e
)349(rw)349(h)34
8(a)349(t)]TJ./T
1_7 1 Tf.0 Tc (\
r)Tj./T1_5 1 Tf.
0.3476 Tc 7.801 
0 Td.[(i)348(s)3
47(.T)347(h)348(
i)348(si)348(sa)
]TJ.-0.0003 Tc -
16.745 -1.223 Td
.[(simple)-238(a
lg)15(ebra)-240(
e)21(x)24(ercise
,)-240(and)-239(
is)-239(r)2(eall
)21(y)-239(jus)7
(t)-238(a)-239(n
ice)-240(e)21(x)
11(am-)]TJ.-0.00
02 Tc T*.[(ple)-
250(of)-250(t)-8
(he)-251(add)-25
0(zer)6(o)-251(c
reativ)24(el)21(
y)-252(t)2(ool.)
]TJ.-0.0001 Tc 2
5.206 53.64 Td.[
(\(b\))-555(Sho)
22(w)-268(t)-8(h
at)]TJ./T1_8 1 T
f.6.021 0 Td.(al
l)Tj./T1_5 1 Tf.
-0.0003 Tc 1.326
 0 Td.[(integ)15
(er)-270(s)-1(ol
utions)-268(to)]
TJ./T1_6 1 Tf.-0
.0001 Tc 7.954 0
 Td.(17)Tj./T1_7
 1 Tf.0 Tc (\016
)Tj./T1_6 1 Tf.0
.2214 Tc 1.773 0
 Td.[(+1)222(1)]
TJ./T1_7 1 Tf.0 
Tc 1.906 0 Td.(\
017)Tj./T1_6 1 T
f.0.2776 Tc 0.77
5 0 Td.(=1)Tj./T
1_5 1 Tf.-0.0001
 Tc 1.73 0 Td.[(
ha)32(v)24(e)]TJ
.-19.763 -1.223 
Td.[(t)-8(his)-2
65(f)32(or)-20(m
;)-264(i.e.,)-26
5(if)]TJ./T1_7 1
 Tf.0 Tc 6.803 0
 Td.(\016)Tj./T1
_5 1 Tf.-0.0002 
Tc 0.815 0 Td.(a
nd)Tj./T1_7 1 Tf
.0 Tc 1.707 0 Td
.(\017)Tj./T1_5 
1 Tf.-0.0002 Tc 
0.761 0 Td.[(are
)-265(integ)15(e
rs)-265(s)-1(ati
sfying)]TJ./T1_6
 1 Tf.-0.0001 Tc
 9.052 0 Td.(17)
Tj./T1_7 1 Tf.0 
Tc (\016)Tj./T1_
6 1 Tf.1.772 0 T
d.(+)Tj.-0.0001 
Tc -20.91 -1.223
 Td.(11)Tj./T1_7
 1 Tf.0 Tc (\017
)Tj./T1_6 1 Tf.0
.2776 Tc 1.774 0
 Td.(=1)Tj./T1_5
 1 Tf.0.6132 Tc 
1.462 0 Td.[(,t)
605(h)613(e)614(
n)]TJ./T1_7 1 Tf
.0 Tc 3.207 0 Td
.(\016)Tj./T1_6 
1 Tf.0.2786 Tc 0
.827 0 Td.[(=2)5
7(+)56(1)279(1)]
TJ./T1_7 1 Tf.0.
0002 Tc 3.592 0 
Td.[(\r,)-333(\0
17)]TJ./T1_6 1 T
f.0.2776 Tc 1.67
 0 Td.[(=\212)27
8(3)55(\212)55(1
)278(7)]TJ./T1_7
 1 Tf.0 Tc 4.277
 0 Td.(\r)Tj./T1
_5 1 Tf.-0.0001 
Tc 0.926 0 Td.[(
f)32(or)-614(s)-
1(ome)]TJ.-17.73
7 -1.222 Td.[(in
teg)15(er)]TJ./T
1_7 1 Tf.0 Tc 3.
012 0 Td.(\r)Tj.
/T1_5 1 Tf.(.)Tj
.-0.0001 Tc -4.6
77 -1.769 Td.[(\
(c\))-555(It)-53
5(w)28(as)-537(e
asy)-536(t)2(o)-
535(\223nd)-536(
t)-8(he)-536(s)-
1(olution)]TJ./T
1_7 1 Tf.0 Tc 16
.116 0 Td.(\016)
Tj./T1_6 1 Tf.0.
2776 Tc 0.828 0 
Td.(=2)Tj./T1_7 
1 Tf.0.1666 Tc 1
.462 0 Td.(,\017
)Tj./T1_6 1 Tf.0
.2776 Tc 1.19 0 
Td.[(=\212)278(3
)]TJ./T1_5 1 Tf.
-0.0202 Tc 2.683
 0 Td.(by)Tj.-0.
0001 Tc -20.615 
-1.222 Td.[(tr)-
19(ial)-479(and)
-479(er)-26(r)6(
or)26(,)-479(but
)-479(f)32(or)-4
78(lar)16(g)15(e
r)-480(numbers)-
479(w)18(e)-479(
can)-480(use)]TJ
.0 -1.223 TD.[(t
)-8(he)-318(Eucl
idean)-319(algor
)-19(it)-8(hm)]T
J./T1_8 1 Tf.0 T
c 10.099 0 Td.[(
in)-318(r)31(ev)
20(er)17(se)]TJ.
/T1_5 1 Tf.-0.00
04 Tc [(.)-319(F
)5(or)-318(e)21(
x)11(ample,)-320
(use)]TJ.-10.099
 -1.223 Td.[(t)-
8(he)-340(e)21(x
)11(ample)-342(i
n)-341(Pr)5(oble
m)-341(7.1.12)-3
41(to)-341(\223n
d)]TJ./T1_7 1 Tf
.0.0001 Tc 15.96
 0 Td.[(\016,)-3
33(\017)]TJ./T1_
5 1 Tf.-0.0001 T
c 1.969 0 Td.[(s
uc)16(h)-340(t)-
8(hat)]TJ./T1_6 
1 Tf.-17.929 -1.
222 Td.(89)Tj./T
1_7 1 Tf.0 Tc (\
016)Tj./T1_6 1 T
f.0.2214 Tc 1.77
3 0 Td.[(+2)222(
4)]TJ./T1_7 1 Tf
.0 Tc 1.906 0 Td
.(\017)Tj./T1_6 
1 Tf.0.2776 Tc 0
.775 0 Td.(=1)Tj
./T1_5 1 Tf.-0.0
001 Tc 1.462 0 T
d.[(.)-225(S)11(
t)-10(ar)-23(t)-
225(b)20(y)-225(
wr)-19(iting)-22
5(1)-225(as)-225
(a)-225(linear)-
226(combina-)]TJ
.-5.916 -1.223 T
d.[(tion)-233(of
)-233(3)-233(and
)-233(7;)-233(t)
-8(hen)-233(wr)-
19(ite)-234(3)-2
33(as)-232(a)-23
3(linear)-234(co
mbination)-234(o
f)]TJ.-0.0002 Tc
 T*.[(7)-250(and
)-251(17;)-250(e
)9(tc.)]TJ.-0.00
01 Tc -1.721 -1.
451 Td.[(\(d\))-
555(C)-1(er)-23(
t)-10(ainl)21(y)
-196(if)]TJ./T1_
7 1 Tf.0 Tc 6.45
8 0 Td.(\016)Tj.
/T1_6 1 Tf.0.277
6 Tc 0.828 0 Td.
(=2)Tj./T1_7 1 T
f.0.1676 Tc 1.46
2 0 Td.(,\017)Tj
./T1_6 1 Tf.0.27
86 Tc 1.19 0 Td.
[(=\212)279(3)]T
J./T1_5 1 Tf.0 T
c 2.345 0 Td.[(i
s)-195(a)-196(so
lution)-196(t)2(
o)]TJ./T1_6 1 Tf
.-0.0001 Tc 5.89
4 0 Td.(17)Tj./T
1_7 1 Tf.0 Tc (\
016)Tj./T1_6 1 T
f.0.2224 Tc 1.77
2 0 Td.[(+1)223(
1)]TJ./T1_7 1 Tf
.0 Tc 1.907 0 Td
.(\017)Tj./T1_6 
1 Tf.0.774 0 Td.
(=)Tj.-20.91 -1.
223 Td.(1)Tj./T1
_5 1 Tf.0.1836 T
c [(,t)176(h)184
(e)184(n)]TJ./T1
_7 1 Tf.0 Tc 2.8
48 0 Td.(\016)Tj
./T1_6 1 Tf.0.27
76 Tc 0.828 0 Td
.(=2)Tj./T1_7 1 
Tf.-0.0002 Tc 1.
462 0 Td.[(\024,
)-168(\017)]TJ./
T1_6 1 Tf.0.2786
 Tc 1.664 0 Td.[
(=\212)279(3)]TJ
./T1_7 1 Tf.0 Tc
 2.148 0 Td.(\02
4)Tj./T1_5 1 Tf.
0.658 0 Td.[(is)
-184(a)-183(solu
tion)-184(t)2(o)
]TJ./T1_6 1 Tf.-
0.0001 Tc 5.846 
0 Td.(17)Tj./T1_
7 1 Tf.0 Tc (\01
6)Tj./T1_6 1 Tf.
0.2224 Tc 1.772 
0 Td.[(+1)223(1)
]TJ./T1_7 1 Tf.0
 Tc 1.907 0 Td.(
\017)Tj./T1_6 1 
Tf.0.774 0 Td.(=
)Tj./T1_7 1 Tf.0
.963 0 Td.(\024)
Tj./T1_5 1 Tf.(.
)Tj.-0.0001 Tc -
20.87 -1.222 Td.
[(And)-268(as)-2
68(abo)22(v)24(e
,)-269(v)24(er)-
19(ify)-267(t)-8
(hat)]TJ./T1_8 1
 Tf.10.374 0 Td.
(all)Tj./T1_5 1 
Tf.-0.0002 Tc 1.
326 0 Td.[(solut
ions)-268(are)-2
67(of)-267(t)-8(
he)-268(f)32(or)
-20(m)]TJ./T1_7 
1 Tf.0 Tc -11.7 
-1.223 Td.(\016)
Tj./T1_6 1 Tf.0.
2776 Tc 0.828 0 
Td.(=2)Tj./T1_7 
1 Tf.0 Tc 1.462 
0 Td.(\024)Tj./T
1_6 1 Tf.0.2214 
Tc 0.697 0 Td.[(
+1)222(1)]TJ./T1
_7 1 Tf.0.0002 T
c 1.906 0 Td.[(\
r,)-167(\017)]TJ
./T1_6 1 Tf.0.27
76 Tc 1.505 0 Td
.[(=\212)278(3)]
TJ./T1_7 1 Tf.0 
Tc 2.147 0 Td.(\
024)Tj./T1_6 1 T
f.0.2224 Tc 0.69
7 0 Td.[(\2121)2
23(7)]TJ./T1_7 1
 Tf.0 Tc 1.907 0
 Td.(\r)Tj./T1_5
 1 Tf.(.)Tj.-0.0
003 Tc -12.814 -
1.451 Td.[(\(e\)
)-556(T)-1(his)-
350(me)9(t)-8(ho
d)-350(can)-350(
cer)-24(t)-10(ai
nl)21(y)-350(be)
-350(g)15(eneral
ized)-351(to)-35
0(an)24(y)-350(l
in-)]TJ.-0.0002 
Tc 1.665 -1.223 
Td.[(ear)-198(eq
)13(uation)-199(
of)-198(t)-8(he)
-198(f)32(or)-20
(m)]TJ./T1_7 1 T
f.-0.0001 Tc 9.6
35 0 Td.(\002\01
6)Tj./T1_6 1 Tf.
0 Tc 1.274 0 Td.
(+)Tj./T1_7 1 Tf
.-0.0002 Tc 0.90
7 0 Td.(\006\017
)Tj./T1_6 1 Tf.0
 Tc 1.244 0 Td.(
=)Tj./T1_7 1 Tf.
0.964 0 Td.(\030
)Tj./T1_5 1 Tf.0
.1977 Tc 0.465 0
 Td.[(,w)198(h)1
98(e)198(r)200(e
)]TJ./T1_7 1 Tf.
-0.0002 Tc 3.087
 0 Td.[(\002,)-3
33(\006,)-333(\0
30)]TJ./T1_5 1 T
f.-0.0011 Tc 2.8
01 0 Td.(are)Tj.
-0.0002 Tc -20.3
76 -1.223 Td.[(c
ons)7(t)-10(ants
.)-272(Firs)7(t)
-271(w)18(e)-272
(divide)-273(bo)
8(t)-8(h)-272(s)
-1(ides)-272(b)2
0(y)-272(t)-8(he
)-272(GCD)-272(o
f)]TJ./T1_7 1 Tf
.0 Tc 21.093 0 T
d.(\002)Tj./T1_5
 1 Tf.-0.0002 Tc
 -21.093 -1.222 
Td.(and)Tj./T1_7
 1 Tf.0 Tc 1.685
 0 Td.(\006)Tj./
T1_5 1 Tf.0.2419
 Tc [(;i)242(ft)
234(h)242(i)242(
sG)242(C)241(Di)
242(s)]TJ./T1_8 
1 Tf.-0.0026 Tc 
(not)Tj./T1_5 1 
Tf.0 Tc 8.332 0 
Td.[(a)-242(divi
sor)-241(of)]TJ.
/T1_7 1 Tf.4.78 
0 Td.(\030)Tj./T
1_5 1 Tf.-0.0004
 Tc 0.707 0 Td.[
(t)-8(here)-242(
canno)8(t)-243(b
e)]TJ.-0.0001 Tc
 -15.504 -1.223 
Td.[(solutions.)
-224(Then)-226(w
)18(e)-225(\223n
d)-225(a)-226(s)
-1(ingle)-224(s)
-1(olution)-225(
eit)-8(her)-226(
b)20(y)-225(tr)-
19(ial)]TJ.T*.[(
and)-251(er)-26(
r)6(or)26(,)-250
(or)-250(b)20(y)
-250(using)-250(
t)-8(he)-250(Euc
lidean)-251(algo
r)-19(it)-8(hm.)
]TJ.-0.0002 Tc -
1.555 -1.451 Td.
[(\(f\))-555(T)3
2(o)-294(see)-29
4(ano)8(t)-8(her
)-296(e)21(x)11(
ample)-295(of)-2
95(g)15(eneratin
g)-295(in\223nit
el)21(y)-295(man
)24(y)]TJ.1.555 
-1.223 Td.[(solu
tions)-309(to)-3
09(a)-309(diopha
ntine)-309(eq)13
(uation,)-310(lo
ok)-309(at)-309(
t)-8(he)-309(pr)
6(ob-)]TJ.-0.000
1 Tc 0 -1.222 TD
.[(lems)-250(abo
ut)-251(P)14(ell
\220)49(s)-250(E
q)13(uation)-250
(\(7.4.17\2057.4
.22\).)]TJ./T1_4
 1 Tf.-2.472 -1.
879 Td.(7.1.14)T
j./T1_5 1 Tf.0 T
c 3.056 0 Td.[(C
onsider)-172(t)-
8(he)-172(se)9(t
)]TJ./T1_7 1 Tf.
6.459 0 Td.(\031
)Tj./T1_6 1 Tf.-
0.0001 Tc 1.041 
0 Td.[(\003=)-27
8({)]TJ./T1_7 1 
Tf.0 Tc (\002)Tj
./T1_6 1 Tf.2.67
8 0 Td.(+)Tj./T1
_7 1 Tf.0.907 0 
Td.(\006)Tj./T1_
11 1 Tf.0.469 0.
966 Td.(\005)Tj.
ET.529.695 386.8
59 10.629 0.594 
re.f.BT./T1_6 1 
Tf.-0.0004 Tc 8.
9664 0 0 8.9664 
529.6953 378.201
 Tm.(\2126)Tj./T
1_7 1 Tf.0.1671 
Tc [(,\002)167(,
\006)]TJ./T1_6 1
 Tf.0 Tc 3.268 0
 Td.(\005)Tj./T1
_12 1 Tf.0.963 0
 Td.(\002)Tj./T1
_6 1 Tf.(})Tj./T
1_5 1 Tf.-0.0001
 Tc [(.)-173(De\
223ne)]TJ.0.0081
 Tc -19.742 -1.4
08 Td.[(th)8(e)]
TJ./T1_8 1 Tf.-0
.0001 Tc 1.46 0 
Td.[(nor)-18(m)]
TJ./T1_5 1 Tf.0 
Tc 2.359 0 Td.(f
unction)Tj./T1_7
 1 Tf.3.564 0 Td
.(\t)Tj./T1_5 1 
Tf.-0.0202 Tc 1.
171 0 Td.(by)Tj.
/T1_7 1 Tf.0 Tc 
1.211 0 Td.(\t)T
j./T1_6 1 Tf.0.9
41 0 Td.(\()Tj./
T1_7 1 Tf.(\002)
Tj./T1_6 1 Tf.1.
057 0 Td.(+)Tj./
T1_7 1 Tf.0.907 
0 Td.(\006)Tj./T
1_11 1 Tf.0.469 
0.966 Td.(\005)T
j.ET.516.771 374
.232 10.629 0.59
4 re.f.BT./T1_6 
1 Tf.-0.0003 Tc 
8.9664 0 0 8.966
4 516.7712 365.5
74 Tm.[(\2126\))
-279(=)]TJ./T1_7
 1 Tf.0 Tc 2.758
 0 Td.(\002)Tj./
T1_6 1 Tf.5.9776
 0 0 5.9776 546.
0029 368.7151 Tm
.(2)Tj.0.2224 Tc
 8.9664 0 0 8.96
64 551.484 365.5
74 Tm.(+6)Tj./T1
_7 1 Tf.0 Tc 1.4
07 0 Td.(\006)Tj
./T1_6 1 Tf.5.97
76 0 0 5.9776 56
8.314 368.7151 T
m.(2)Tj./T1_5 1 
Tf.0.2305 Tc 8.9
664 0 0 8.9664 5
71.806 365.574 T
m.[(.T)230(h)231
(i)230(si)230(sa
)]TJ.-0.0002 Tc 
-20.207 -1.222 T
d.[(\215natural\
216)-267(de\223n
ition;)-266(it)-
266(is)-267(jus)
7(t)-265(t)-8(he
)-266(s)-1(q)13(
uare)-267(of)-26
5(t)-8(he)-267(m
agnitude)-267(of
)]TJ.-0.0004 Tc 
0 -1.316 TD.[(t)
-8(he)-196(compl
e)21(x)-197(numb
er)]TJ./T1_7 1 T
f.0 Tc 8.292 0 T
d.(\002)Tj./T1_6
 1 Tf.0.725 0 Td
.(+)Tj./T1_7 1 T
f.-0.0002 Tc 0.9
06 0 Td.(\006\01
3)Tj./T1_11 1 Tf
.0 Tc 0.781 0.96
6 Td.(\005)Tj.ET
.494.919 351.48 
4.491 0.594 re.f
.BT./T1_6 1 Tf.8
.9664 0 0 8.9664
 494.9193 342.82
21 Tm.(6)Tj./T1_
5 1 Tf.-0.0002 T
c [(,)-196(and)-
197(it)-196(is)-
195(a)-197(usefu
l)-196(t)-8(hing
)-196(to)-196(pl
a)27(y)]TJ.-11.6
33 -1.222 Td.[(a
r)6(ound)-250(wi
t)-8(h,)-251(bec
ause)-251(its)-2
51(v)20(alues)-2
51(are)-251(inte
g)15(ers.)]TJ.-0
.0003 Tc 0.779 -
1.99 Td.[(\(a\))
-556(Sho)22(w)-4
09(t)-8(hat)-409
(t)-8(he)-409(\2
15nor)-21(m)-410
(of)-409(t)-8(he
)-408(pr)6(oduct
)-410(is)-409(eq
)13(ual)-410(to)
-409(t)-8(he)]TJ
.-0.0001 Tc 1.66
5 -1.223 Td.[(pr
)6(oduct)-292(of
)-291(t)-8(he)-2
92(nor)-20(m\216
;)-292(i.e.,)-29
2(if)]TJ./T1_7 1
 Tf.0.0401 Tc 11
.797 0 Td.[(\032
,)-126(\033)]TJ.
/T1_6 1 Tf.0 Tc 
1.817 0 Td.(\005
)Tj./T1_7 1 Tf.0
.963 0 Td.(\031)
Tj./T1_5 1 Tf.0.
292 Tc 0.763 0 T
d.[(,t)284(h)292
(e)292(n)]TJ./T1
_7 1 Tf.0 Tc (\t
)Tj./T1_6 1 Tf.3
.505 0 Td.(\()Tj
./T1_7 1 Tf.0.03
91 Tc (\032\033)
Tj./T1_6 1 Tf.0.
2773 Tc 1.454 0 
Td.(\)=)Tj./T1_7
 1 Tf.0 Tc -20.2
99 -1.222 Td.(\t
)Tj./T1_6 1 Tf.0
.941 0 Td.(\()Tj
./T1_7 1 Tf.(\03
2)Tj./T1_6 1 Tf.
0.896 0 Td.(\))T
j./T1_7 1 Tf.(\t
)Tj./T1_6 1 Tf.1
.275 0 Td.(\()Tj
./T1_7 1 Tf.(\03
3)Tj./T1_6 1 Tf.
0.891 0 Td.(\))T
j./T1_5 1 Tf.(.)
Tj.-5.725 -1.769
 Td.[(\(b\))-555
(Obser)-20(v)24(
e)-266(t)-8(hat)
-266(if)]TJ./T1_
7 1 Tf.7.966 0 T
d.(\032)Tj./T1_6
 1 Tf.0.841 0 Td
.(\005)Tj./T1_7 
1 Tf.0.963 0 Td.
(\031)Tj./T1_5 1
 Tf.-0.0001 Tc 1
.029 0 Td.[(is)-
266(no)8(t)-266(
an)-267(integ)15
(er)-266(\(i.e.,
)-266(if)-265(it
)-266(has)-266(a
)]TJ.-9.077 -1.2
22 Td.[(non-zer)
6(o)-251(imagina
r)-21(y)-251(par
)-23(t\),)-250(t
)-8(hen)]TJ./T1_
7 1 Tf.0 Tc 12.5
15 0 Td.(\t)Tj./
T1_6 1 Tf.0.941 
0 Td.(\()Tj./T1_
7 1 Tf.(\032)Tj.
/T1_6 1 Tf.0.896
 0 Td.(\))Tj./T1
_13 1 Tf.0.611 0
 Td.(\002)Tj./T1
_6 1 Tf.0.963 0 
Td.(6)Tj./T1_5 1
 Tf.(.)Tj.-17.59
2 -1.769 Td.[(\(
c\))-555(An)]TJ.
/T1_7 1 Tf.3.094
 0 Td.(\031)Tj./
T1_5 1 Tf.-0.000
1 Tc 0.763 0 Td.
[(-pr)-19(ime)-2
06(is)-206(an)-2
07(element)-208(
of)]TJ./T1_7 1 T
f.0 Tc 9.327 0 T
d.(\031)Tj./T1_5
 1 Tf.-0.0004 Tc
 0.97 0 Td.[(t)-
8(hat)-207(has)-
208(no)-206(f)25
(actors)-208(in)
]TJ./T1_7 1 Tf.0
 Tc 8.344 0 Td.(
\031)Tj./T1_5 1 
Tf.-0.0002 Tc -2
0.832 -1.222 Td.
[(o)8(t)-8(her)-
192(t)-8(han)-19
2(1)-191(and)-19
2(itself.)-191(S
ho)22(w)-192(t)-
8(hat)-191(2)-19
2(and)-192(5)-19
1(are)]TJ./T1_7 
1 Tf.0 Tc 17.508
 0 Td.(\031)Tj./
T1_5 1 Tf.0.0001
 Tc 0.763 0 Td.[
(-pr)-19(imes.)]
TJ.-0.0004 Tc -1
9.992 -1.769 Td.
[(\(d\))-556(Sho
)22(w)-251(t)-8(
hat)-250(7)-250(
and)-251(31)-250
(are)]TJ./T1_8 1
 Tf.-0.0026 Tc 1
1.149 0 Td.(not)
Tj./T1_7 1 Tf.0 
Tc 1.541 0 Td.(\
031)Tj./T1_5 1 T
f.0.0001 Tc 0.76
3 0 Td.[(-pr)-19
(imes.)]TJ.0 Tc 
-13.396 -1.859 T
d.[(\(e\))-555(L
ik)13(e)19(wise,
)-661(sho)22(w)-
661(t)-8(hat)]TJ
./T1_6 1 Tf.0.22
27 Tc 11.129 0 T
d.(2\212)Tj./T1_
11 1 Tf.0 Tc 1.6
3 0.966 Td.(\005
)Tj.ET.520.317 2
14.617 10.629 0.
594 re.f.BT./T1_
6 1 Tf.-0.0004 T
c 8.9664 0 0 8.9
664 520.317 205.
959 Tm.(\2126)Tj
./T1_5 1 Tf.-0.0
002 Tc 1.846 0 T
d.(and)Tj./T1_6 
1 Tf.0.2227 Tc 2
.105 0 Td.(2+)Tj
./T1_11 1 Tf.0 T
c 1.63 0.966 Td.
(\005)Tj.ET.578.
673 214.617 10.6
29 0.594 re.f.BT
./T1_6 1 Tf.-0.0
004 Tc 8.9664 0 
0 8.9664 578.673
 205.959 Tm.(\21
26)Tj./T1_5 1 Tf
.-0.0011 Tc 1.84
6 0 Td.(are)Tj./
T1_7 1 Tf.0 Tc -
20.375 -1.223 Td
.(\031)Tj./T1_5 
1 Tf.0.0001 Tc 0
.763 0 Td.[(-pr)
-19(imes.)]TJ.0 
Tc -2.318 -1.768
 Td.[(\(f\))-555
(Conclude)-198(t
)-8(hat)]TJ./T1_
7 1 Tf.7.291 0 T
d.(\031)Tj./T1_5
 1 Tf.-0.0001 Tc
 0.961 0 Td.[(do
es)-198(no)8(t)-
198(possess)-197
(uniq)13(ue)-198
(f)26(actor)-19(
ization.)]TJ.ET.
EMC..