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54 6d 0a 28  5c 30 31 33  29 54 6a 0a  2f 54 31 5f 
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54 0a 45 4d  43 20 0a
/Part <</MCID 0 
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)-249(8in)-250(x
)-250(10in)]TJ.0
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-)-250(10/11/201
6)-1000(7:45pm)-
1000(P)16(age)-2
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.405 18.009 re.f
.BT./T1_1 1 Tf.9
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f.9.9626 0 0 9.9
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.f.BT./T1_1 1 Tf
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(numbers)-203(ar
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.3.056 0 Td.[(Pr
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0(f)32(or)-341(e
ac)16(h)-341(pr)
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a)341(n)]TJ./T1_
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f.-0.0001 Tc 0.7
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ci)-252(number)4
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-365(pr)6(o)22(v
)24(e)-366(t)-8(
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)Tj./T1_6 1 Tf.-
0.0001 Tc [(\002
,)-167(\006)]TJ.
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ut)-240(ins)8(te
ad)-241(jus)8(t)
-240(using)-240(
t)-8(he)-241(de\
223nitions)-240(
of)-240(GCD)-241
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(LCM.)-249(T)24(
r)-21(y)-250(it!
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\002,)-167(\006)
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1_7 1 Tf.0 Tc 2.
051 0 Td.(])Tj.0
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.(\()Tj./T1_6 1 
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\002,)-167(\006,
)-168(\030)]TJ./
T1_7 1 Tf.0 Tc 2
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.(\()Tj./T1_6 1 
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\002,)-167(\006)
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j./T1_6 1 Tf.-0.
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)\()Tj./T1_6 1 T
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o)-196(consecuti
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19(imes)-195(is)
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t)-8(han)-251(\2
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-251(249)-250(ze
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 Tf.0.2777 Tc 0.
778 0 Td.(<\025<
\004)Tj.0 Tc 5.9
776 0 0 5.9776 1
49.814 430.0051 
Tm.(\023)Tj./T1_
5 1 Tf.8.9664 0 
0 8.9664 152.757
 426.873 Tm.(.)T
j./T1_4 1 Tf.-0.
0001 Tc -4.367 -
2.209 Td.(7.1.24
)Tj./T1_5 1 Tf.3
.056 0 Td.[(Sho)
22(w)-250(t)-8(h
at)-251(if)]TJ./
T1_6 1 Tf.0.2769
 Tc 5.125 0 Td.(
\b>)Tj./T1_7 1 T
f.0 Tc 1.737 0 T
d.(1)Tj./T1_5 1 
Tf.0.2499 Tc [(,
t)242(h)250(e)25
0(n)]TJ./T1_7 1 
Tf.0.2217 Tc -2.
127 -2.351 Td.(1
+)Tj.0 Tc 1.763 
0.58 Td.(1)Tj.ET
.199.26 387.939 
4.491 0.594 re.f
.BT./T1_7 1 Tf.8
.9664 0 0 8.9664
 199.26 379.713 
Tm.(2)Tj.0.855 0
.7 Td.(+)Tj.1.04
1 0.58 Td.(1)Tj.
ET.216.261 387.9
39 4.491 0.594 r
e.f.BT./T1_7 1 T
f.8.9664 0 0 8.9
664 216.261 379.
713 Tm.(3)Tj.0.2
222 Tc 0.855 0.7
 Td.(+\267\267\2
67+)Tj.0 Tc 3.36
5 0.58 Td.(1)Tj.
ET.254.097 387.9
39 4.491 0.594 r
e.f.BT./T1_6 1 T
f.8.9664 0 0 8.9
664 254.106 379.
713 Tm.(\b)Tj./T
1_5 1 Tf.-0.0002
 Tc -15.643 -1.6
22 Td.[(is)-251(
no)8(t)-250(an)-
251(integ)15(er)
48(.)]TJ./T1_4 1
 Tf.-0.0001 Tc -
0.027 -2.208 Td.
(7.1.25)Tj./T1_5
 1 Tf.3.056 0 Td
.[(Sho)22(w)-400
(t)-8(hat)-401(i
f)]TJ./T1_6 1 Tf
.0 Tc 5.575 0 Td
.(\b)Tj./T1_5 1 
Tf.-0.0004 Tc 0.
897 0 Td.[(divid
es)-401(a)-401(s
ingle)-401(Fibon
acci)-402(number
)25(,)]TJ.-0.000
2 Tc -9.501 -1.2
23 Td.[(t)-8(hen
)-251(it)-250(wi
ll)-250(divide)-
251(in\223nitel)
21(y)-250(man)24
(y)-251(Fibonacc
i)-252(numbers.)
]TJ./T1_4 1 Tf.-
0.0001 Tc -0.027
 -2.208 Td.(7.1.
26)Tj./T1_5 1 Tf
.-0.0003 Tc 3.05
6 0 Td.[(Pr)6(o)
22(v)24(e)-426(t
)-8(hat)-426(t)-
8(here)-426(are)
-426(in\223nitel
)21(y)-426(man)2
4(y)-427(pr)-20(
imes)-425(of)-42
6(t)-8(he)]TJ.-0
.0319 Tc -3.028 
-1.223 Td.[(fo)-
32(r)-52(m)]TJ./
T1_7 1 Tf.0 Tc 2
.504 0 Td.(4)Tj.
/T1_6 1 Tf.(\025
)Tj./T1_7 1 Tf.0
.2224 Tc 1.264 0
 Td.(+3)Tj./T1_5
 1 Tf.-0.0002 Tc
 1.407 0 Td.[(;)
-572(i.e.,)-572(
t)-8(hat)-571(t)
-8(he)-572(s)-1(
eq)13(uence)]TJ.
/T1_7 1 Tf.10.99
8 0 Td.({3)Tj./T
1_6 1 Tf.0 Tc (,
)Tj./T1_7 1 Tf.1
.397 0 Td.(7)Tj.
/T1_6 1 Tf.(,)Tj
./T1_7 1 Tf.-0.0
001 Tc 0.916 0 T
d.(11)Tj./T1_6 1
 Tf.0 Tc (,)Tj./
T1_7 1 Tf.-0.000
1 Tc 1.416 0 Td.
(19)Tj./T1_6 1 T
f.0 Tc (,)Tj./T1
_7 1 Tf.-0.0002 
Tc 1.417 0 Td.(\
203})Tj./T1_5 1 
Tf.0 Tc 2.052 0 
Td.(is)Tj.0.0001
 Tc -23.373 -1.2
23 Td.(in\223nit
e.)Tj./T1_4 1 Tf
.-0.0001 Tc -0.0
27 -2.208 Td.(7.
1.27)Tj./T1_5 1 
Tf.-0.0003 Tc 3.
056 0 Td.[(Pr)6(
o)22(v)24(e)-426
(t)-8(hat)-426(t
)-8(here)-426(ar
e)-426(in\223nit
el)21(y)-426(man
)24(y)-427(pr)-2
0(imes)-425(of)-
426(t)-8(he)]TJ.
-0.0319 Tc -3.02
8 -1.223 Td.[(fo
)-32(r)-52(m)]TJ
./T1_7 1 Tf.0 Tc
 2.182 0 Td.(6)T
j./T1_6 1 Tf.(\b
)Tj./T1_7 1 Tf.0
.2224 Tc 1.22 0 
Td.(\2121)Tj./T1
_5 1 Tf.0 Tc 1.4
07 0 Td.(.)Tj./T
1_4 1 Tf.-0.0001
 Tc -4.836 -1.89
2 Td.(7.1.28)Tj.
/T1_5 1 Tf.-0.00
03 Tc 3.056 0 Td
.[(\(Ba)27(y)-25
7(Area)-259(Mat)
-8(hematical)-25
9(Ol)21(ympiad)-
259(1999\))-259(
Pr)6(o)22(v)24(e
)-258(t)-8(hat)]
TJ.-0.0002 Tc -3
.028 -1.223 Td.[
(among)-299(an)2
4(y)-300(12)-298
(consecutiv)24(e
)-300(positiv)24
(e)-299(integ)15
(ers)-300(t)-8(h
ere)-298(is)-299
(at)-299(leas)7(
t)]TJ.0 Tc 0 -1.
222 TD.[(one)-20
4(whic)16(h)-205
(is)-203(smaller
)-204(t)-8(han)-
205(t)-8(he)-203
(sum)-204(of)-20
4(its)-204(pr)6(
oper)-204(diviso
rs.)-203(\(The)]
TJ.0 -1.223 TD.[
(pr)6(oper)-208(
divisors)-207(of
)-208(a)-207(pos
itiv)24(e)-207(i
nteg)15(er)]TJ./
T1_6 1 Tf.14.2 0
 Td.(\b)Tj./T1_5
 1 Tf.-0.0001 Tc
 0.705 0 Td.[(ar
e)-207(all)-208(
positiv)24(e)-20
8(integ)15(ers)]
TJ.-0.0002 Tc -1
4.904 -1.223 Td.
[(o)8(t)-8(her)-
303(t)-8(han)-30
2(1)-301(and)]TJ
./T1_6 1 Tf.0 Tc
 6.935 0 Td.(\b)
Tj./T1_5 1 Tf.-0
.0001 Tc 0.799 0
 Td.[(whic)16(h)
-302(divide)]TJ.
/T1_6 1 Tf.0 Tc 
5.531 0 Td.(\b)T
j./T1_5 1 Tf.-0.
0004 Tc [(.)-302
(F)5(or)-302(e)2
1(x)11(ample,)-3
03(t)-8(he)-302(
pr)5(oper)]TJ.-0
.0001 Tc -13.265
 -1.222 Td.[(div
isors)-249(of)-2
50(14)-251(are)-
250(2)-250(and)-
251(7.\))]TJ./T1
_4 1 Tf.26.9 56.
753 Td.(7.1.29)T
j./T1_5 1 Tf.-0.
0003 Tc 3.056 0 
Td.[(\(Ba)27(y)-
258(Area)-258(Ma
t)-8(hematical)-
260(Ol)21(ympiad
)-259(2000\))-25
8(Pr)6(o)22(v)24
(e)-258(t)-8(hat
)]TJ.-0.0002 Tc 
-3.028 -1.223 Td
.[(an)24(y)-386(
integ)15(er)-386
(g)-10(r)2(eater
)-386(t)-8(han)-
385(or)-386(eq)1
3(ual)-386(t)2(o
)-385(7)-384(can
)-386(be)-385(wr
)-19(itten)-385(
as)-385(a)]TJ.-0
.0001 Tc T*.[(su
m)-393(of)-394(t
w)26(o)-393(rela
tiv)24(el)21(y)-
394(pr)-19(ime)-
393(integ)15(ers
,)-393(bo)8(t)-8
(h)-393(g)-10(r)
2(eater)-395(t)-
8(han)-393(1.)]T
J.-0.0005 Tc 0 -
1.222 TD.[(For)-
550(e)21(x)11(am
ple,)-550(22)-54
9(and)-549(15)-5
49(are)-549(r)1(
elativ)24(el)21(
y)-550(pr)-20(im
e,)-549(and)-549
(t)-9(hus)]TJ./T
1_7 1 Tf.-0.0001
 Tc 0 -1.223 TD.
[(37)-278(=)-279
(22)-222(+)-222(
15)]TJ./T1_5 1 T
f.-0.0003 Tc 5.6
2 0 Td.[(represe
nts)-251(t)-8(he
)-251(number)-25
0(37)-251(in)-25
0(t)-8(he)-250(d
esired)-251(w)28
(a)27(y)71(.)]TJ
./T1_4 1 Tf.-0.0
001 Tc -5.647 -1
.943 Td.(7.1.30)
Tj./T1_5 1 Tf.-0
.0003 Tc 3.056 0
 Td.[(\(Ba)27(y)
-622(Area)-624(M
at)-8(hematical)
-625(Ol)21(ympia
d)-624(2006\))-6
24(Since)]TJ./T1
_7 1 Tf.0.2223 T
c -3.028 -1.222 
Td.[(2)222(4)-56
(=)-56(3)1(+5+7+
9)]TJ./T1_5 1 Tf
.-0.0001 Tc 7.63
 0 Td.[(,)-218(t
)-8(he)-218(numb
er)]TJ./T1_7 1 T
f.5.189 0 Td.(24
)Tj./T1_5 1 Tf.1
.218 0 Td.[(can)
-219(be)-219(wr)
-19(itten)-218(a
s)-218(t)-8(he)-
219(sum)]TJ.-14.
036 -1.223 Td.[(
of)-250(at)-251(
leas)8(t)-250(tw
)26(o)-251(conse
cutiv)24(e)-251(
odd)-251(positiv
)24(e)-250(integ
)15(ers.)]TJ.-0.
0002 Tc 0.779 -2
.034 Td.[(\(a\))
-556(C)-1(an)]TJ
./T1_7 1 Tf.-0.0
001 Tc 3.625 0 T
d.(2005)Tj./T1_5
 1 Tf.2.348 0 Td
.[(be)-348(wr)-1
9(itten)-348(as)
-349(t)-8(he)-34
8(sum)-347(of)-3
48(at)-348(leas)
8(t)-348(tw)26(o
)-348(con-)]TJ.0
 Tc -4.306 -1.22
3 Td.[(secutiv)2
4(e)-346(odd)-34
6(positiv)24(e)-
347(integ)15(ers
?)-346(If)-345(y
)23(es,)-346(giv
)24(e)-346(an)-3
47(e)21(x)11(am-
)]TJ.-0.0001 Tc 
T*.[(ple)-473(of
)-474(ho)22(w)-4
74(it)-474(can)-
475(be)-473(done
.)-475(If)-473(n
o,)-475(pr)6(o)2
2(vide)-473(a)-4
74(pr)6(oof)]TJ.
-0.0003 Tc 0 -1.
222 TD.[(wh)20(y
)-250(no)8(t.)]T
J.-0.0001 Tc -1.
721 -1.764 Td.[(
\(b\))-555(C)-1(
an)]TJ./T1_7 1 T
f.3.68 0 Td.(200
6)Tj./T1_5 1 Tf.
2.348 0 Td.[(be)
-348(wr)-19(itte
n)-348(as)-349(t
)-8(he)-348(sum)
-347(of)-348(at)
-348(leas)8(t)-3
48(tw)26(o)-348(
con-)]TJ.0 Tc -4
.306 -1.223 Td.[
(secutiv)24(e)-3
46(odd)-346(posi
tiv)24(e)-347(in
teg)15(ers?)-346
(If)-345(y)23(es
,)-346(giv)24(e)
-346(an)-347(e)2
1(x)11(am-)]TJ.-
0.0001 Tc 0 -1.2
23 TD.[(ple)-473
(of)-474(ho)22(w
)-474(it)-474(ca
n)-475(be)-473(d
one.)-475(If)-47
3(no,)-475(pr)6(
o)22(vide)-473(a
)-474(pr)6(oof)]
TJ.-0.0003 Tc 0 
-1.222 TD.[(wh)2
0(y)-250(no)8(t.
)]TJ./T1_4 1 Tf.
-0.0001 Tc -2.47
2 -1.943 Td.(7.1
.31)Tj./T1_5 1 T
f.3.056 0 Td.[(A
)-195(pol)21(yno
mial)-196(wit)-8
(h)-196(integ)15
(er)-196(coe\003
cients)-196(is)-
195(called)]TJ./
T1_10 1 Tf.18.77
8 0 Td.[(pr)-9(i
m-)]TJ.0 Tc -21.
806 -1.222 Td.[(
itiv)20(e)]TJ./T
1_5 1 Tf.-0.0003
 Tc 2.164 0 Td.[
(if)-461(its)-46
1(coe\003cients)
-462(are)-462(r)
2(elativ)24(el)2
1(y)-463(pr)-20(
ime.)-462(F)5(or
)-461(e)21(x)11(
ample,)]TJ./T1_7
 1 Tf.0 Tc -2.16
4 -1.223 Td.(3)T
j./T1_6 1 Tf.(\0
16)Tj./T1_7 1 Tf
.5.9776 0 0 5.97
76 364.698 479.8
56 Tm.(2)Tj.0.22
24 Tc 8.9664 0 0
 8.9664 370.179 
476.7151 Tm.(+9)
Tj./T1_6 1 Tf.0 
Tc 1.407 0 Td.(\
016)Tj./T1_7 1 T
f.0.2214 Tc 0.77
3 0 Td.(+7)Tj./T
1_5 1 Tf.0 Tc 1.
657 0 Td.[(is)-2
49(pr)-19(imitiv
)24(e)-251(while
)]TJ./T1_7 1 Tf.
-0.0001 Tc 7.301
 0 Td.(10)Tj./T1
_6 1 Tf.0 Tc (\0
16)Tj./T1_7 1 Tf
.5.9776 0 0 5.97
76 483.939 479.8
56 Tm.(2)Tj.0.22
24 Tc 8.9664 0 0
 8.9664 489.42 4
76.7151 Tm.(\212
5)Tj./T1_6 1 Tf.
0 Tc 1.407 0 Td.
(\016)Tj./T1_7 1
 Tf.0.2224 Tc 0.
773 0 Td.[(+1)22
3(5)]TJ./T1_5 1 
Tf.0 Tc 2.157 0 
Td.[(is)-249(no)
8(t.)]TJ.-0.0001
 Tc -18.518 -2.3
59 Td.[(\(a\))-5
56(Pr)6(o)22(v)2
4(e)-246(t)-8(ha
t)-246(t)-8(he)-
246(pr)6(oduct)-
247(of)-245(tw)2
6(o)-247(pr)-19(
imitiv)24(e)-246
(pol)21(ynomials
)-246(is)]TJ.0 T
c 1.666 -1.223 T
d.[(pr)-19(imiti
v)24(e.)-250(Hin
t:)-251(e)21(xtr
eme)-251(pr)-19(
inciple.)]TJ.-0.
0003 Tc -1.721 -
1.764 Td.[(\(b\)
)-556(Use)-197(t
)-8(his)-197(to)
-197(pr)6(o)22(v
)24(e)]TJ./T1_10
 1 Tf.-0.0002 Tc
 8.518 0 Td.[(Ga
uss)12(\220)51(s
)-196(Lemma)]TJ.
/T1_5 1 Tf.-0.00
01 Tc [(:)-199(I
f)-196(a)-197(po
l)21(ynomial)-19
8(wit)-8(h)]TJ.-
0.0003 Tc -6.797
 -1.222 Td.[(int
eg)15(er)-372(co
e\003cients)-372
(can)-372(be)-37
0(f)26(actored)-
373(into)-371(po
l)21(ynomials)]T
J.0 -1.223 TD.[(
wit)-8(h)-331(ra
tional)-334(coe\
003cients,)-332(
it)-332(can)-333
(also)-331(be)-3
32(f)26(actored)
-332(into)]TJ.-0
.0001 Tc T*.[(pr
)-19(imitiv)24(e
)-376(pol)21(yno
mials)-377(wit)-
8(h)-376(integ)1
5(er)-377(coe\00
3cients.)-377(\(
See)]TJ.0 Tc 0 -
1.222 TD.[(also)
-250(pag)15(e)-2
51(171.\))]TJ./T
1_4 1 Tf.-0.0001
 Tc -2.472 -2.67
5 Td.(7.1.32)Tj.
/T1_5 1 Tf.3.056
 0 Td.[(T)24(r)-
24(ue)-250(or)-2
50(f)26(alse)-25
0(and)-251(wh)20
(y)8(:)]TJ.-2.25
 -2.351 Td.[(\(a
\))-556(The)-615
(pr)6(oduct)-616
(of)-616(tw)26(o
)-615(consecutiv
)24(e)-617(posit
iv)24(e)-615(int
eg)15(ers)]TJ.-0
.0004 Tc 1.666 -
1.222 Td.[(canno
)8(t)-251(be)-25
0(eq)13(ual)-251
(to)-251(a)-250(
per)-20(f)34(ect
)-251(sq)13(uare
.)]TJ.-0.0001 Tc
 -1.721 -2.08 Td
.[(\(b\))-555(Th
e)-527(pr)6(oduc
t)-527(of)-527(t
)-8(hree)-528(co
nsecutiv)24(e)-5
28(positiv)24(e)
-527(integ)15(er
s)]TJ.-0.0004 Tc
 1.721 -1.223 Td
.[(canno)8(t)-25
1(be)-250(eq)13(
ual)-251(to)-251
(a)-250(per)-20(
f)34(ect)-251(sq
)13(uare.)]TJ./T
1_4 1 Tf.-0.0001
 Tc -2.472 -1.94
2 Td.(7.1.33)Tj.
/T1_5 1 Tf.0 Tc 
3.056 0 Td.[(\(R
)14(ussia)-515(1
995\))-516(The)-
516(seq)13(uence
)]TJ./T1_6 1 Tf.
12.589 0 Td.(\00
2)Tj./T1_7 1 Tf.
5.9776 0 0 5.977
6 499.815 279.67
81 Tm.(1)Tj./T1_
6 1 Tf.0.1666 Tc
 8.9664 0 0 8.96
64 503.307 281.9
191 Tm.(,\002)Tj
./T1_7 1 Tf.0 Tc
 5.9776 0 0 5.97
76 511.542 279.6
781 Tm.(2)Tj./T1
_6 1 Tf.8.9664 0
 0 8.9664 515.03
39 281.9191 Tm.(
,)Tj./T1_7 1 Tf.
0.417 0 Td.(\203
)Tj./T1_5 1 Tf.-
0.0004 Tc 1.682 
0 Td.[(of)-517(n
atural)]TJ.0 Tc 
-19.915 -1.223 T
d.[(numbers)-251
(satis\223es)]TJ
.0.0001 Tc 7.015
 -2.312 Td.(GCD)
Tj./T1_7 1 Tf.0 
Tc (\()Tj./T1_6 
1 Tf.(\002)Tj.5.
9776 0 0 5.9776 
444.6 247.989 Tm
.(\013)Tj.0.1666
 Tc 8.9664 0 0 8
.9664 446.958 25
0.2301 Tm.(,\002
)Tj.0 Tc 5.9776 
0 0 5.9776 455.1
93 247.989 Tm.(\
034)Tj./T1_7 1 T
f.0.2773 Tc 8.96
64 0 0 8.9664 45
8.379 250.2301 T
m.(\)=)Tj./T1_5 
1 Tf.0.0001 Tc (
GCD)Tj./T1_7 1 T
f.0 Tc (\()Tj./T
1_6 1 Tf.0.0002 
Tc [(\013,)-166(
\034)]TJ./T1_7 1
 Tf.0 Tc 5.195 0
 Td.(\))Tj./T1_5
 1 Tf.-0.0319 Tc
 -16.692 -2.312 
Td.[(fo)-32(r)-2
82(a)-32(l)-32(l
)]TJ./T1_6 1 Tf.
0 Tc 2.635 0 Td.
(\013)Tj./T1_11 
1 Tf.0.588 0 Td.
(\004)Tj./T1_6 1
 Tf.0.963 0 Td.(
\034)Tj./T1_5 1 
Tf.0.2499 Tc 0.4
5 0 Td.[(.P)250(
r)256(o)272(v)27
4(et)242(h)250(a
)250(t)]TJ./T1_6
 1 Tf.0 Tc 4.79 
0 Td.(\002)Tj.5.
9776 0 0 5.9776 
444.294 227.262 
Tm.(\013)Tj./T1_
7 1 Tf.8.9664 0 
0 8.9664 449.145
 229.5031 Tm.(=)
Tj./T1_6 1 Tf.0.
963 0 Td.(\013)T
j./T1_5 1 Tf.-0.
0319 Tc 0.561 0 
Td.[(fo)-32(r)-2
81(a)-32(l)-32(l
)]TJ./T1_6 1 Tf.
0 Tc 2.634 0 Td.
(\013)Tj./T1_5 1
 Tf.(.)Tj./T1_4 
1 Tf.-0.0001 Tc 
-14.653 -1.943 T
d.(7.1.34)Tj./T1
_5 1 Tf.3.056 0 
Td.[(\(US)30(AMO
)-173(1973\))-17
3(Sho)22(w)-173(
t)-8(hat)-174(t)
-8(he)-173(cube)
-174(r)6(oo)8(ts
)-173(of)-173(t)
-8(hree)-173(dis
-)]TJ.-3.028 -1.
223 Td.[(tinct)-
322(pr)-19(ime)-
322(numbers)-322
(canno)8(t)-322(
be)-322(t)-8(hre
e)-322(ter)-20(m
s)-322(\(no)8(t)
-321(necessar)-1
9(il)21(y)]TJ.T*
.[(consecutiv)24
(e\))-252(of)-25
0(an)-250(ar)-19
(it)-8(hme)9(tic
)-251(pr)6(og)-1
0(ression.)]TJ.E
T.EMC..