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ble,)-279(y)18(o
u)-279(kno)22(w)
-278(t)-9(he)-27
8(answ)18(er)8(:
)-280(t)-9(he)]T
J./T1_5 1 Tf.0.0
002 Tc 27.837 0 
Td.[(par)-8(ity)
]TJ./T1_4 1 Tf.-
0.0001 Tc 2.679 
0 Td.[(\(e)19(v)
25(enness)-280(o
r)-279(oddness\)
)-280(of)]TJ.-0.
0003 Tc -30.516 
-1.201 Td.[(t)-9
(he)-243(number)
-245(of)-244(tim
es)-244(t)-9(he)
-243(loc)22(k)13
(er)17(\220)48(s
)-244(s)8(t)-10(
ate)-243(c)16(ha
ng)16(ed.)-247(A
)-243(loc)22(k)1
3(er)-244(is)-24
3(closed)-244(or
)-244(open)-245(
according)-246(a
s)-244(t)-9(he)-
243(number)-245(
of)]TJ.T*.[(s)8(
t)-10(ate)-206(c
)16(hang)16(es)-
208(w)28(as)-207
(odd)-207(or)-20
7(e)19(v)25(en.)
-207(Appl)20(y)-
207(t)-9(he)-206
(penultimate)-20
7(s)8(tep)-206(i
dea)-207(once)-2
07(more:)-206(wh
at)-206(causes)-
207(a)-206(s)8(t
)-10(ate)-206(c)
16(hang)16(e?)]T
J.T*.[(When)-267
(does)-268(a)-26
6(l)-1(oc)22(k)1
3(er)-267(g)15(e
)9(t)-268(touc)1
6(hed?)-269(Simp
lify)-266(t)-9(h
ings)-267(f)31(o
r)-266(a)-267(mo
ment,)-268(and)-
267(jus)7(t)-266
(f)31(ocus)-267(
on)-266(one)-268
(loc)22(k)13(er)
25(,)-267(s)-1(a
)27(y)-266(#6.)]
TJ.-0.0002 Tc 0 
-1.201 TD.[(It)-
281(w)28(as)-281
(altered)-282(at
)-282(s)8(teps)]
TJ./T1_6 1 Tf.0 
Tc 8.977 0 Td.(1
)Tj./T1_7 1 Tf.(
,)Tj./T1_6 1 Tf.
1.083 0 Td.(2)Tj
./T1_7 1 Tf.(,)T
j./T1_6 1 Tf.1.0
83 0 Td.(3)Tj./T
1_4 1 Tf.-0.0003
 Tc [(,)-282(and
)-282(6,)-282(a)
-281(t)1(o)8(t)-
10(al)-282(of)-2
82(f)31(our)-282
(times)-282(\(an
)-282(e)19(v)25(
en)-283(number)2
6(,)-283(hence)-
283(t)-9(he)-282
(loc)22(k)13(er)
-282(r)1(emains)
]TJ.-11.143 -1.2
 Td.[(open\).)-2
52(Look)-252(at)
-251(loc)22(k)13
(er)-251(#10.)-2
52(It)-250(w)28(
as)-251(altered)
-250(at)-251(s)8
(teps)]TJ./T1_6 
1 Tf.0 Tc 19.645
 0 Td.(1)Tj./T1_
7 1 Tf.(,)Tj./T1
_6 1 Tf.1.083 0 
Td.(2)Tj./T1_7 1
 Tf.(,)Tj./T1_6 
1 Tf.1.084 0 Td.
(5)Tj./T1_4 1 Tf
.-0.0003 Tc [(,)
-251(and)-251(10
.)-251(N)13(o)22
(w)-250(it)29(\2
20)48(s)-249(cle
ar)8(:)]TJ./T1_5
 1 Tf.0.0003 Tc 
-19.313 -1.967 T
d.[(Loc)29(ker)-
253(#)]TJ./T1_7 
1 Tf.0 Tc 3.505 
0 Td.(\013)Tj./T
1_5 1 Tf.-0.0097
 Tc 0.746 0 Td.[
(i)-10(s)-259(a)
-10(l)-10(te)-9(
r)21(e)-9(d)-259
(a)-10(t)-259(s)
-4(te)-9(p)]TJ./
T1_7 1 Tf.0 Tc 6
.839 0 Td.(\016)
Tj./T1_5 1 Tf.-0
.0001 Tc 0.791 0
 Td.[(if)-250(an
d)-251(onl)10(y)
-251(if)]TJ./T1_
7 1 Tf.0 Tc 5.32
5 0 Td.(\016)Tj.
/T1_5 1 Tf.-0.00
02 Tc 0.791 0 Td
.(divides)Tj./T1
_7 1 Tf.0 Tc 3.0
83 0 Td.(\013)Tj
./T1_5 1 Tf.(.)T
j./T1_4 1 Tf.-0.
0004 Tc -23.581 
-1.968 Td.[(Henc
e)-252(w)18(e)-2
50(ha)32(v)24(e)
-252(res)7(t)-11
(ated)-251(our)-
251(conjecture)-
252(i)-1(nto)-25
0(an)-251(unreco
gnizabl)20(y)-25
3(di\002erent,)-
251(y)23(e)9(t)-
251(eq)13(uiv)20
(alent,)-253(f)3
1(or)-21(m:)]TJ.
/T1_5 1 Tf.2.5 -
1.968 Td.[(Pr)27
(o)14(v)20(e)-25
1(t)3(hat)-250(a
)-1(n)-250(int)9
(eg)34(er)-252(h
as)-250(a)-1(n)-
250(odd)-251(num
ber)-253(of)-251
(divisor)17(s)-2
50(if)-250(and)-
251(onl)9(y)-251
(if)-250(it)-250
(is)-250(a)-250(
per)-22(f)20(ect
)-252(squar)30(e
.)]TJ./T1_4 1 Tf
.-2.5 -1.968 Td.
[(There)-327(are
)-326(man)25(y)-
327(w)28(a)27(y)
13(s)-327(to)-32
6(t)-9(hink)-326
(about)-328(t)-9
(his)-326(par)-2
3(ticular)-328(p
r)6(oblem.)-328(
See)-327(t)-9(he
)-327(discussion
)-326(on)-326(p.
)-327(64)-327(an
d)-327(Pr)6(ob-)
]TJ.0 -1.2 TD.[(
lem)-250(6.1.21)
-251(f)31(or)-25
0(tw)26(o)-251(c
omple)9(tel)20(y
)-251(di\002eren
t)-252(appr)6(oa
c)16(hes.)]TJ./T
1_8 1 Tf.-0.0002
 Tc 0 -1.724 TD.
[(Exam)16(ple)-2
52(2.2.4)]TJ./T1
_4 1 Tf.-0.0003 
Tc 6.512 0 Td.[(
\(LMO)-190(1988\
))-191(There)-19
0(are)-190(25)-1
90(people)-191(s
)-1(itting)-190(
ar)6(ound)-191(a
)-190(t)-10(able
,)-191(and)-190(
eac)16(h)-191(pe
rson)-190(has)-1
91(tw)26(o)-190(
cards.)]TJ.-6.51
2 -1.201 Td.[(On
e)-181(of)-181(t
)-9(he)-180(numb
ers)]TJ./T1_6 1 
Tf.0 Tc 7.895 0 
Td.(1)Tj./T1_7 1
 Tf.(,)Tj./T1_6 
1 Tf.0.916 0 Td.
(2)Tj./T1_7 1 Tf
.(,)Tj./T1_6 1 T
f.0.916 0 Td.(3)
Tj./T1_7 1 Tf.(,
)Tj./T1_6 1 Tf.0
.916 0 Td.(\203)
Tj./T1_7 1 Tf.1.
166 0 Td.(,)Tj./
T1_6 1 Tf.-0.000
4 Tc 0.416 0 Td.
(25)Tj./T1_4 1 T
f.1.183 0 Td.[(i
s)-180(wr)-20(it
ten)-180(on)-180
(eac)16(h)-182(c
ard,)-182(and)-1
81(eac)16(h)-182
(number)-182(occ
urs)-182(on)-181
(e)21(x)11(actl)
20(y)-181(tw)26(
o)-180(cards.)]T
J.-13.409 -1.2 T
d.[(A)13(t)-238(
a)-237(s)-1(igna
l,)-239(eac)16(h
)-239(person)-23
8(passes)-239(on
e)-238(of)-238(h
er)-239(cards\20
4t)-9(he)-238(on
e)-239(wit)-9(h)
-237(t)-9(he)-23
8(s)-1(maller)-2
38(number)28(\20
4to)-238(her)-23
9(r)-20(ight-han
d)]TJ.-0.0002 Tc
 0 -1.2 TD.[(nei
ghbor)47(.)-252(
P)-1(r)6(o)22(v)
25(e)-250(t)-9(h
at,)-251(s)-1(oo
ner)-252(or)-251
(later)26(,)-251
(one)-251(of)-25
1(t)-9(he)-250(p
la)27(y)23(ers)-
251(will)-250(ha
)32(v)25(e)-252(
tw)26(o)-251(car
ds)-251(wit)-9(h
)-250(t)-9(he)-2
50(s)-1(ame)-250
(numbers.)]TJ./T
1_5 1 Tf.-0.0001
 Tc 1.5 -1.201 T
d.[(P)54(ar)-12(
tial)-176(Soluti
on:)]TJ./T1_4 1 
Tf.-0.0002 Tc 6.
815 0 Td.[(A)13(
t)-177(\223rs)8(
t,)-176(t)-9(his
)-177(pr)6(oblem
)-179(seems)-178
(impene)9(trable
.)-178(Ho)22(w)-
177(can)-178(y)1
8(ou)-178(pr)6(o
)22(v)25(e)-179(
some)9(t)-9(hing
)-178(lik)13(e)-
177(t)-9(his?)]T
J.-8.315 -1.2 Td
.[(Small)-260(do
ses)-260(of)-260
(g)16(e)9(tting)
-260(our)-260(ha
nds)-262(dir)-23
(ty)-259(and)-26
0(making)-260(it
)-259(easier)-26
0(go)-260(a)-259
(long)-260(w)28(
a)27(y)72(.)-261
(Le)9(t)29(\220)
48(s)-259(help)-
259(our)-261(und
ers)8(t)-10(and-
)]TJ.-0.0003 Tc 
T*.[(ing)-301(b)
20(y)-300(making
)-302(t)-9(he)-3
01(pr)6(oblem)-3
02(easier)47(.)-
300(There)-301(i
s)-300(pr)6(obab
l)20(y)-302(no)8
(t)-9(hing)-302(
special)-301(abo
ut)-302(t)-9(he)
-300(number)-302
(25,)-300(alt)-9
(hough)]TJ.0 -1.
201 TD.[(w)18(e)
-361(are)-361(i)
-1(mmediatel)20(
y)-362(aler)-23(
t)-1(ed)-361(to)
-361(bo)8(t)-9(h
)-361(sq)13(uare
s)-361(and)-362(
odd)-362(numbers
.)-362(Le)9(t)29
(\220)48(s)-361(
t)-1(r)-21(y)-36
0(an)-362(e)21(x
)11(ample)-361(w
it)-9(h)-361(t)-
1(w)26(o)-361(pe
o-)]TJ.0 -1.2 TD
.[(ple.)-307(If)
-305(eac)16(h)-3
07(person)-307(h
as)-306(t)-9(he)
-306(cards)-307(
numbered)-307(1)
-306(and)-307(2,
)-306(w)18(e)-30
6(see)-306(t)-9(
hat)-306(t)-9(he
)-306(patter)-21
(n)-306(is)-306(
per)-20(iodic:)-
307(eac)16(h)-30
8(person)]TJ.T*.
[(jus)8(t)-369(p
asses)-369(t)-9(
he)-369(number)-
370(1)-369(t)1(o
)-368(her)-370(n
eighbor)26(,)-37
1(and)-369(eac)1
6(h)-371(person)
-369(alw)28(a)27
(y)13(s)-370(hol
ds)-369(numbers)
-371(1)-368(and)
-370(2.)-369(So)
-369(t)-9(he)]TJ
.ET.EMC..