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31 36 28 65  64 2e 29 2d  32 39 35 28  4f 74 29 2d 
39 28 68 65  72 29 2d 31  39 28 77 69  73 65 29 5d 
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33 2e 30 31  39 20 2d 31  2e 32 20 54  64 0a 5b 28 
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30 30 33 20  54 63 20 5b  28 5c 30 32  35 2c 29 2d 
31 36 36 28  5c 30 32 36  29 5d 54 4a  0a 2f 54 31 
5f 37 20 31  20 54 66 0a  30 20 54 63  20 31 2e 37 
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54 31 5f 38  20 31 20 54  66 0a 30 2e  32 37 38 20 
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5c 30 32 35  29 54 6a 0a  2f 54 31 5f  34 20 31 20 
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54 63 20 5b  28 5c 30 32  35 2c 29 2d  31 36 36 28 
5c 30 32 36  29 5d 54 4a  0a 2f 54 31  5f 37 20 31 
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20 54 64 0a  28 5c 29 29  54 6a 0a 2f  54 31 5f 38 
20 31 20 54  66 0a 30 2e  32 37 38 20  54 63 20 30 
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54 66 0a 2d  30 2e 30 30  30 33 20 54  63 20 30 2e 
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29 2d 32 31  28 6e 2c 29  2d 32 35 31  28 65 69 74 
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4d 43 20 0a
/Part <</MCID 0 
>>BDC .BT./CS0 c
s 1  scn./GS0 gs
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02 Tc 5.9776 0 0
 5.9776 83.952 8
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5(rim)-250(Size:
)-249(8in)-250(x
)-250(10in)]TJ.0
.0001 Tc 70.059 
0 Td.[(Zeitz)-99
8(c03.te)15(x)-1
000(V)-1(2)-250(
-)-250(10/06/201
6)-1000(12:34pm)
-1000(P)16(age)-
250(74)]TJ.ET.29
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.432 791.976 23.
913 0.504 re.f.3
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.405 18.009 re.f
.BT./T1_1 1 Tf.9
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 44.604 431.9761
 Tm.(\002)Tj.ET.
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18.009 0.405 re.
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f.9.9626 0 0 9.9
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.9761 Tm.(\002)T
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f.359.802 36.075
 0.405 18.009 re
.f.BT./T1_1 1 Tf
.9.9626 0 0 9.96
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m.(\002)Tj.ET.64
8 30.126 0.504 2
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 0.504 re.f.BT./
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10.9091 112.311 
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c 8.9664 0 0 8.9
664 138.3844 726
.816 Tm.[(Chapte
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actics)-278(for)
-277(Solving)-27
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292(f)31(or)-21(
mal)-291(ar)16(g
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hen)-293(uses)-2
92(induction.)-2
93(Here)-291(is)
-292(ano)8(t)-9(
her)-293(e)21(x)
11(ample.)-292(A
s)-292(abo)22(v)
24(e,)-293(w)18(
e)]TJ.-0.0002 Tc
 0 -1.2 TD.[(bre
ak)-251(do)22(wn
)-251(our)-252(s
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nf)31(or)-20(mal
)-251(in)31(v)25
(es)8(tig)11(ati
on,)-252(f)31(ol
lo)22(w)18(ed)-2
50(b)20(y)-251(a
)-250(f)31(or)-2
0(mal)-251(wr)-1
9(ite-up.)]TJ./T
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le)-252(3.2.4)]T
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(t.)-257(P)13(e)
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258(City)-257(Ol
)20(ympiad)-258(
1996\))-260(Se)1
9(v)25(eral)-260
(positiv)25(e)-2
58(integ)16(ers)
-259(are)-258(wr
)-19(itten)-257(
on)-258(a)-257(b
lac)22(k)49(-)]T
J.-6.512 -1.2 Td
.[(board.)-391(O
ne)-391(can)-390
(erase)-390(an)2
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)-389(dis)8(tinc
t)-391(integ)16(
ers)-391(and)-39
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(g)-10(reates)8(
t)-391(common)-3
91(divisor)-390(
and)-391(leas)8(
t)]TJ.0 -1.2 TD.
[(common)-252(mu
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(e)19(v)25(entua
ll)20(y)-253(t)-
9(he)-250(number
s)-252(will)-250
(s)8(t)1(op)-250
(c)17(hanging.)]
TJ./T1_6 1 Tf.0.
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20(e)1(s)6(tig)3
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_4 1 Tf.-0.0004 
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Bef)31(ore)-212(
w)18(e)-213(begi
n,)-214(w)18(e)-
213(mention)-213
(a)-212(f)34(e)1
9(w)-213(s)-1(im
ple)-212(number)
-214(t)-9(heor)-
21(y)-213(de\223
nitions.)-214(Se
e)-213(Chapter)-
214(7)]TJ.-7.203
 -1.2 Td.[(f)31(
or)-250(more)-25
1(de)9(t)-10(ail
s.)]TJ./T1_7 1 T
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 0 13.9477 191.1
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.[(F)6(or)-302(i
nteg)16(ers)]TJ.
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./T1_4 1 Tf.-0.0
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t)-9(he)-302(no)
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25)Tj./T1_9 1 Tf
.(\r)Tj./T1_8 1 
Tf.(\026)Tj./T1_
4 1 Tf.-0.0004 T
c 1.594 0 Td.[(m
eans)-303(\215)]
TJ./T1_8 1 Tf.0 
Tc (\025)Tj./T1_
4 1 Tf.-0.0002 T
c 4.104 0 Td.(di
vides)Tj./T1_8 1
 Tf.0 Tc 3.191 0
 Td.(\026)Tj./T1
_4 1 Tf.-0.0003 
Tc [(\216;)-302(
i.e.,)-301(t)-9(
here)-302(e)21(x
is)8(ts)-301(an)
-302(integ)16(er
)]TJ./T1_8 1 Tf.
0 Tc 12.432 0 Td
.(*)Tj./T1_4 1 T
f.1.012 0 Td.[(s
uc)17(h)]TJ.-0.0
004 Tc -36.154 -
1.201 Td.[(t)-9(
hat)]TJ./T1_8 1 
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58 0 Td.(\025*)T
j./T1_7 1 Tf.0 T
c 1.49 0 Td.(=)T
j./T1_8 1 Tf.0.9
63 0 Td.(\026)Tj
./T1_4 1 Tf.(.)T
j./T1_7 1 Tf.13.
9477 0 0 13.9477
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Tm.(\002)Tj./T1_
4 1 Tf.-0.0004 T
c 9.9626 0 0 9.9
626 200.9788 563
.79 Tm.(The)Tj./
T1_6 1 Tf.-0.000
2 Tc 1.796 0 Td.
[(g)21(r)30(eat)
10(es)6(t)-241(c
ommon)-244(divis
or)]TJ./T1_4 1 T
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/T1_8 1 Tf.0 Tc 
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)Tj./T1_4 1 Tf.-
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_8 1 Tf.0 Tc 1.6
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./T1_4 1 Tf.-0.0
004 Tc 0.711 0 T
d.[(is)-241(de\2
23ned)-243(to)-2
41(be)-242(t)-9(
he)-241(l)-1(ar)
16(g)15(es)7(t)-
243(integ)15(er)
]TJ./T1_8 1 Tf.0
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(\034)Tj./T1_4 1
 Tf.0.0001 Tc 0.
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fying)-241(b)1(o
)9(t)-8(h)]TJ./T
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149 0 Td.(\034)T
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T1_8 1 Tf.(\025)
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.0004 Tc -37.148
 -1.201 Td.(and)
Tj./T1_8 1 Tf.0 
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034)Tj./T1_9 1 T
f.0.532 0 Td.(\r
)Tj./T1_8 1 Tf.(
\026)Tj./T1_4 1 
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.)-251(The)-251(
no)8(t)-10(ation
)-251(used)-251(
is)-250(GCD)]TJ.
/T1_7 1 Tf.0 Tc 
11.736 0 Td.(\()
Tj./T1_8 1 Tf.0.
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1_7 1 Tf.0 Tc 1.
722 0 Td.(\))Tj.
/T1_4 1 Tf.-0.00
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ome)9(times)]TJ.
/T1_7 1 Tf.0 Tc 
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j./T1_8 1 Tf.0.0
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166(\026)]TJ./T1
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T1_4 1 Tf.0.583 
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lso)-251(used.)]
TJ./T1_7 1 Tf.13
.9477 0 0 13.947
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01 Tm.(\002)Tj./
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9.9626 200.9788 
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)Tj./T1_6 1 Tf.0
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(leas)6(t)-268(c
ommon)-271(multi
ple)]TJ./T1_4 1 
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/T1_8 1 Tf.0 Tc 
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)Tj./T1_4 1 Tf.-
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_8 1 Tf.0 Tc 1.7
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./T1_4 1 Tf.-0.0
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d.[(is)-269(de\2
23ned)-270(to)-2
67(be)-269(t)-9(
he)-269(s)-1(mal
les)8(t)]TJ./T1_
6 1 Tf.0.0001 Tc
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ositiv)20(e)]TJ.
/T1_4 1 Tf.-0.00
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.[(integ)16(er)]
TJ./T1_8 1 Tf.0 
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.0.743 0 Td.(sat
isfying)Tj.-0.00
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.2 Td.[(bo)8(t)-
9(h)]TJ./T1_8 1 
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d.(and)Tj./T1_8 
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/T1_8 1 Tf.(\023
)Tj./T1_4 1 Tf.-
0.0002 Tc [(.)-3
35(The)-335(no)8
(t)-10(ation)-33
6(used)-334(is)-
335(L)1(CM)]TJ./
T1_7 1 Tf.0 Tc 1
2.685 0 Td.(\()T
j./T1_8 1 Tf.0.0
003 Tc [(\025,)-
166(\026)]TJ./T1
_7 1 Tf.0 Tc 1.7
22 0 Td.(\))Tj./
T1_4 1 Tf.-0.000
2 Tc [(.)-334(So
me)9(times)]TJ./
T1_7 1 Tf.0 Tc 5
.687 0 Td.([)Tj.
/T1_8 1 Tf.0.000
3 Tc [(\025,)-16
6(\026)]TJ./T1_7
 1 Tf.0 Tc 1.722
 0 Td.(])Tj./T1_
4 1 Tf.-0.0003 T
c 0.668 0 Td.[(i
s)-334(also)-334
(used.)-335(W)59
(e)-334(ha)32(v)
25(e)-336(to)]TJ
.-0.0001 Tc -28.
003 -1.201 Td.[(
specify)-250(t)-
8(hat)-251(t)-8(
he)-251(leas)8(t
)-251(common)-25
2(multiple)-250(
is)-250(positiv)
25(e,)-251(o)9(t
)-8(her)-19(wise
)-250(it)-251(w)
26(ould)-251(be)
]TJ./T1_7 1 Tf.-
0.0002 Tc 29.226
 0 Td.(\212\b)Tj
./T1_4 1 Tf.0 Tc
 (!)Tj.-0.0004 T
c -30.226 -1.846
 Td.[(S)11(t)-11
(ar)-23(t)-264(w
it)-9(h)-263(a)-
264(simple)-263(
e)21(x)11(ample)
-265(of)-264(t)-
1(w)26(o)-264(nu
mbers)-264(s)-1(
uc)16(h)-265(as)
]TJ./T1_7 1 Tf.2
1.192 0 Td.(10)T
j./T1_8 1 Tf.0 T
c (,)Tj./T1_7 1 
Tf.-0.0004 Tc 1.
416 0 Td.(15)Tj.
/T1_4 1 Tf.[(.)-
265(This)-264(i)
-1(s)-264(i)-1(m
mediatel)20(y)-2
65(t)-1(ransf)31
(or)-21(med)-264
(into)]TJ./T1_7 
1 Tf.0 Tc -24.10
8 -1.2 Td.(5)Tj.
/T1_8 1 Tf.(,)Tj
./T1_7 1 Tf.-0.0
004 Tc 0.916 0 T
d.(30)Tj./T1_4 1
 Tf.[(,)-251(whi
c)16(h)-251(t)-9
(hereaf)-11(ter)
-250(ne)19(v)25(
er)-251(c)16(han
g)16(es,)-253(s)
-1(ince)]TJ./T1_
7 1 Tf.0 Tc 16.6
93 0 Td.(5)Tj./T
1_9 1 Tf.(\r)Tj.
/T1_7 1 Tf.-0.00
04 Tc (30)Tj./T1
_4 1 Tf.[(.)-251
(Here)-249(i)-1(
s)-249(a)-249(mo
re)-249(complica
ted)-252(e)21(x)
11(ample.)-250(W
)59(e)-249(will)
-249(wr)-20(ite)
]TJ.-17.609 -1.2
 Td.[(in)-250(bo
ldf)26(ace)-252(
t)-9(he)-251(tw)
26(o)-250(elemen
ts)-252(t)-9(hat
)-251(g)16(e)9(t
)-252(erased)-25
1(and)-251(repla
ced,)]TJ./T1_7 1
 Tf.15.861 -2.04
 Td.(11)Tj./T1_1
0 1 Tf.2 0 Td.[(
\002\003)-1500(\
004\005)]TJ./T1_
7 1 Tf.5.75 0 Td
.(72)Tj./T1_10 1
 Tf.-7.75 -1.201
 Td.(\002\002)Tj
./T1_7 1 Tf.2.5 
0 Td.[(2)-1001(2
40)]TJ./T1_10 1 
Tf.5.25 0 Td.(\0
06\007)Tj./T1_7 
1 Tf.1.5001 Tc -
7.25 -1.2 Td.(12
)Tj./T1_10 1 Tf.
-0.0004 Tc 3.501
 0 Td.[(\007\b\0
05)-1751(\006\t\
007)]TJ./T1_7 1 
Tf.-3.501 -1.201
 Td.[(1)-1500(2)
-1500(24)-1001(7
920)]TJ./T1_8 1 
Tf.0 Tc (,)Tj./T
1_4 1 Tf.-0.0003
 Tc -16.36 -1.44
2 Td.[(and)-251(
once)-252(ag)11(
ain,)-252(t)-9(h
e)-250(s)-1(eq)1
3(uence)-253(wil
l)-250(no)8(t)-2
52(c)16(hang)16(
e)-253(af)-11(te
r)-251(t)-9(his,
)-250(s)-1(ince)
]TJ./T1_7 1 Tf.0
 Tc 15.464 -1.87
8 Td.(1)Tj./T1_9
 1 Tf.(\r)Tj./T1
_7 1 Tf.(2)Tj./T
1_8 1 Tf.(,)Tj./
T1_7 1 Tf.2.736 
0 Td.(2)Tj./T1_9
 1 Tf.(\r)Tj./T1
_7 1 Tf.-0.0004 
Tc (24)Tj./T1_8 
1 Tf.0 Tc (,)Tj.
/T1_7 1 Tf.-0.00
04 Tc 3.237 0 Td
.(24)Tj./T1_9 1 
Tf.0 Tc (\r)Tj./
T1_7 1 Tf.-0.000
4 Tc (7920)Tj./T
1_8 1 Tf.0 Tc (.
)Tj./T1_4 1 Tf.-
0.0003 Tc -19.93
7 -1.878 Td.[(A)
-250(f)34(e)19(w
)-250(more)-250(
e)21(xper)-20(im
ents)-253(\()-1(
do)-250(t)-9(hem
!\))-251(lead)-2
51(easil)20(y)-2
50(t)1(o)-250(t)
-9(he)-250(f)31(
ollo)22(wing)-25
0(conjecture:)]T
J./T1_6 1 Tf.1 -
1.846 Td.[(Ev)20
(entuall)9(y)12(
,)-242(the)-240(
s)-1(equence)-24
3(will)-240(f)13
(or)-18(m)-240(a
)-240(c)26(hain)
-242(wher)30(e)-
241(eac)26(h)-24
1(element)-243(w
ill)-240(divide)
-242(the)-240(ne
)12(xt)-242(\()-
1(when)]TJ.-0.00
01 Tc T*.[(arr)2
8(ang)34(ed)-234
(in)-233(or)28(d
er\).)-233(Mor)3
0(eo)14(v)20(er)
57(,)-234(t)3(he
)-233(leas)6(t)-
233(element)-234
(and)-234(t)3(he
)-233(g)21(r)30(
eat)10(es)6(t)-2
33(element)-235(
of)-233(this)-23
3(c)27(hain)-234
(ar)30(e)]TJ.0 -
1.201 TD.[(r)30(
espectiv)20(el)1
0(y)-323(t)3(he)
-322(g)21(r)30(e
at)10(es)6(t)-32
3(common)-324(di
visor)-324(and)-
322(leas)6(t)-32
3(common)-325(mu
ltiple)-322(of)-
323(all)-322(t)3
(he)-323(or)-9(i
ginal)]TJ.-0.000
2 Tc 0 -1.2 TD.[
(number)17(s.)]T
J./T1_4 1 Tf.-0.
0003 Tc -1 -1.84
6 Td.[(Ho)22(w)-
314(do)-316(w)18
(e)-315(use)-314
(t)-9(he)-315(e)
21(xtreme)-315(p
r)-20(inciple)-3
16(t)1(o)-314(pr
)6(o)22(v)25(e)-
316(t)-9(his?)-3
14(F)6(ocus)-317
(on)-315(t)-9(he
)-315(leas)8(t)-
316(element)-316
(of)-316(t)-9(he
)-314(s)-1(eq)13
(uence)]TJ.-1.5 
-1.2 Td.[(at)-27
4(eac)16(h)-275(
s)7(t)-11(ag)15(
e.)-275(I)-1(n)-
274(t)-9(he)-274
(e)21(x)11(ample
)-275(abo)22(v)2
4(e,)-276(t)-9(h
e)-274(leas)7(t)
-274(elements)-2
75(w)18(ere)]TJ.
/T1_7 1 Tf.24.38
 0 Td.(11)Tj./T1
_8 1 Tf.0 Tc (,)
Tj./T1_7 1 Tf.1.
416 0 Td.(2)Tj./
T1_8 1 Tf.(,)Tj.
/T1_7 1 Tf.0.916
 0 Td.(1)Tj./T1_
8 1 Tf.(,)Tj./T1
_7 1 Tf.0.916 0 
Td.(1)Tj./T1_4 1
 Tf.-0.0003 Tc [
(.)-276(Lik)13(e
)19(wise,)-274(l
ook)-274(at)-274
(t)-9(he)-274(g)
-10(reates)8(t)]
TJ.-27.627 -1.20
1 Td.[(elements.
)-325(In)-322(ou
r)-324(e)21(x)11
(ample,)-325(t)-
9(hese)-323(elem
ents)-325(w)18(e
re)]TJ./T1_7 1 T
f.19.376 0 Td.(7
2)Tj./T1_8 1 Tf.
0 Tc (,)Tj./T1_7
 1 Tf.-0.0004 Tc
 1.416 0 Td.(240
)Tj./T1_8 1 Tf.0
 Tc (,)Tj./T1_7 
1 Tf.-0.0004 Tc 
1.915 0 Td.(792)
Tj./T1_8 1 Tf.0 
Tc (,)Tj./T1_7 1
 Tf.-0.0004 Tc 1
.915 0 Td.(7290)
Tj./T1_4 1 Tf.[(
.)-329(W)59(e)-3
22(obser)-21(v)2
4(e)-325(t)-9(ha
t)-324(t)-9(he)-
323(s)-1(eq)13(u
ence)-325(of)]TJ
.-24.622 -1.2 Td
.[(leas)8(t)-309
(elements)-311(i
s)-309(non-incre
asing,)-311(whil
e)-309(t)-9(he)-
310(s)-1(eq)13(u
ence)-311(of)-31
0(g)-10(r)1(eate
s)8(t)-310(eleme
nts)-310(is)-309
(non-decreasing.
)-312(Wh)20(y)-3
10(is)]TJ.-0.000
1 Tc T*.[(t)-8(h
is)-250(tr)-25(u
e?)-251(Le)9(t)]
TJ./T1_8 1 Tf.0.
2778 Tc 5.55 0 T
d.(\025<\026)Tj.
/T1_4 1 Tf.-0.00
03 Tc 2.463 0 Td
.[(be)-251(tw)26
(o)-250(elements
)-252(t)-9(hat)-
251(g)16(e)9(t)-
252(erased)-251(
and)-251(replace
d)-252(b)20(y)]T
J.7.696 -1.879 T
d.(GCD)Tj./T1_7 
1 Tf.0 Tc 2.111 
0 Td.(\()Tj./T1_
8 1 Tf.0.0003 Tc
 [(\025,)-166(\0
26)]TJ./T1_7 1 T
f.0 Tc 1.722 0 T
d.(\))Tj./T1_8 1
 Tf.(,)Tj./T1_4 
1 Tf.-0.0008 Tc 
0.75 0 Td.(LCM)T
j./T1_7 1 Tf.0 T
c 2.165 0 Td.(\(
)Tj./T1_8 1 Tf.0
.0003 Tc [(\025,
)-166(\026)]TJ./
T1_7 1 Tf.0 Tc 1
.722 0 Td.(\))Tj
./T1_8 1 Tf.(.)T
j./T1_4 1 Tf.-0.
0001 Tc -24.179 
-1.878 Td.[(N)13
(o)9(tice)-291(t
)-8(hat)-290(if)
]TJ./T1_8 1 Tf.0
 Tc 5.635 0 Td.(
\025)Tj./T1_9 1 
Tf.(\r)Tj./T1_8 
1 Tf.(\026)Tj./T
1_4 1 Tf.-0.0004
 Tc [(,)-291(t)-
9(hen)]TJ./T1_8 
1 Tf.0 Tc 3.853 
0 Td.(\025)Tj./T
1_7 1 Tf.0.78 0 
Td.(=)Tj./T1_4 1
 Tf.-0.0003 Tc 0
.963 0 Td.(GCD)T
j./T1_7 1 Tf.0 T
c 2.111 0 Td.(\(
)Tj./T1_8 1 Tf.0
.0003 Tc [(\025,
)-166(\026)]TJ./
T1_7 1 Tf.0 Tc 1
.722 0 Td.(\))Tj
./T1_4 1 Tf.-0.0
004 Tc 0.622 0 T
d.(and)Tj./T1_8 
1 Tf.0 Tc 1.734 
0 Td.(\026)Tj./T
1_7 1 Tf.0.748 0
 Td.(=)Tj./T1_4 
1 Tf.-0.0008 Tc 
0.963 0 Td.(LCM)
Tj./T1_7 1 Tf.0 
Tc 2.165 0 Td.(\
()Tj./T1_8 1 Tf.
0.0003 Tc [(\025
,)-166(\026)]TJ.
/T1_7 1 Tf.0 Tc 
1.722 0 Td.(\))T
j./T1_4 1 Tf.-0.
0002 Tc [(,)-290
(s)-1(o)-291(t)-
9(he)-291(seq)13
(uence)-292(is)-
290(unc)17(hang)
16(ed.)-295(Ot)-
9(her)-19(wise)]
TJ.-0.0183 Tc -2
3.019 -1.2 Td.[(
we)-233(h)-18(a)
14(v)7(e)-233(G)
-18(C)-18(D)]TJ.
/T1_7 1 Tf.0 Tc 
5.519 0 Td.(\()T
j./T1_8 1 Tf.0.0
003 Tc [(\025,)-
166(\026)]TJ./T1
_7 1 Tf.0 Tc 1.7
22 0 Td.(\))Tj./
T1_8 1 Tf.0.278 
Tc 0.611 0 Td.(<
\025)Tj./T1_4 1 
Tf.-0.0005 Tc 1.
679 0 Td.[(and)-
215(LCM)]TJ./T1_
7 1 Tf.0 Tc 3.82
4 0 Td.(\()Tj./T
1_8 1 Tf.0.0003 
Tc [(\025,)-166(
\026)]TJ./T1_7 1
 Tf.0 Tc 1.722 0
 Td.(\))Tj./T1_8
 1 Tf.0.278 Tc 0
.611 0 Td.(>\026
)Tj./T1_4 1 Tf.-
0.0002 Tc 1.433 
0 Td.[(.)-214(Co
nseq)13(uentl)20
(y)54(,)-216(if)
]TJ./T1_8 1 Tf.0
 Tc 7.166 0 Td.(
\003)Tj./T1_4 1 
Tf.-0.0003 Tc 0.
764 0 Td.[(is)-2
14(t)-9(he)-214(
cur)-27(rent)-21
5(leas)8(t)-215(
element,)-215(on
)-215(t)-9(he)-2
14(ne)21(xt)]TJ.
-0.0001 Tc -25.0
49 -1.2 Td.[(tur
)-21(n,)-251(eit
)-8(her)]TJ.ET.E
MC..