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 1 Tf.8.9664 0 0
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9664 0 0 8.9664 
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BT./T1_7 1 Tf.8.
9664 0 0 8.9664 
229.68 585.5161 
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2)Tj.8.9664 0 0 
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4 re.f.BT./T1_7 
1 Tf.8.9664 0 0 
8.9664 250.164 5
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.5.9776 0 0 5.97
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.974 0.594 re.f.
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270.657 585.5161
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(2)Tj.0.222 Tc 8
.9664 0 0 8.9664
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 Tm.(+\267\267\2
67)Tj./T1_5 1 Tf
.0 Tc 2.434 0 Td
.(.)Tj./T1_6 1 T
f.-0.0001 Tc -17
.256 -2.42 Td.(9
.4.22)Tj./T1_4 1
 Tf.0.0003 Tc 3.
056 0 Td.[(Le)10
(t)]TJ./T1_5 1 T
f.0 Tc 1.655 0 T
d.(\027)Tj./T1_4
 1 Tf.-0.0002 Tc
 1.051 0 Td.[(be
)-331(t)-8(he)-3
31(s)-1(e)9(t)-3
30(of)-332(integ
)15(ers)-332(who
se)-331(pr)-19(i
me)-331(f)26(act
or)-19(iza-)]TJ.
-0.0001 Tc -5.73
4 -1.223 Td.[(ti
ons)-208(include
)-210(onl)21(y)-
209(t)-8(he)-210
(pr)-19(imes)-20
8(3,)-209(5,)-21
0(and)-209(7.)-2
09(Does)-209(t)-
8(he)-210(sum)-2
08(of)-209(t)-8(
he)]TJ.-0.0002 T
c 0 -1.222 TD.[(
recipr)6(ocals)-
210(of)-209(t)-8
(he)-210(element
s)-210(of)]TJ./T
1_5 1 Tf.0 Tc 11
.876 0 Td.(\027)
Tj./T1_4 1 Tf.-0
.0001 Tc 0.929 0
 Td.[(con)31(v)2
4(er)16(g)15(e,)
-211(and)-211(if
)-209(so,)-209(t
)2(o)-210(what?)
]TJ./T1_6 1 Tf.-
12.833 -2.223 Td
.(9.4.23)Tj./T1_
4 1 Tf.3.056 0 T
d.[(Consider)-25
0(t)-8(he)-250(a
r)16(gument)-251
(used)-250(in)-2
50(Ex)11(ample)-
251(9.4.7.)]TJ.-
0.0003 Tc -2.25 
-2.243 Td.[(\(a\
))-557(Did)-287(
t)-8(his)-288(ar
)16(gument)-288(
reall)21(y)-287(
req)13(uire)-288
(t)-8(he)-287(fu
ndament)-10(al)-
288(t)-8(he-)]TJ
.-0.0002 Tc 1.66
6 -1.223 Td.[(or
em)-250(of)-250(
ar)-19(it)-8(hme
)9(tic)-251(\(un
iq)13(ue)-251(f)
26(actor)-19(iza
tion\)?)]TJ.-0.0
001 Tc -1.721 -2
.009 Td.[(\(b\))
-555(Mak)13(e)-5
17(t)-8(his)-516
(ar)16(gument)-5
17(r)-19(igor)6(
ous,)-516(b)20(y
)-517(consider)-
19(ing)-517(onl)
21(y)]TJ.1.721 -
1.222 Td.[(\223n
ite)-250(par)-23
(tial)-251(s)-1(
ums)-249(and)-25
1(pr)6(oducts.)]
TJ./T1_6 1 Tf.-2
.472 -2.527 Td.(
9.4.24)Tj./T1_4 
1 Tf.-0.0002 Tc 
3.056 0 Td.[(Sho
)22(w)-251(t)-8(
hat)]TJ./T1_5 1 
Tf.0 Tc 4.264 0 
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 Tf.0.535 0 Td.(
\()Tj./T1_5 1 Tf
.( )Tj./T1_7 1 T
f.0.2783 Tc (\)=
)Tj./T1_8 1 Tf.0
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0 Td.[(pr)-19(im
e)]TJ./T1_5 1 Tf
.0 Tc 8.9664 0 0
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7)Tj.5.9776 0 0 
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f.BT./T1_7 1 Tf.
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 Tf.0 Tc 1.629 0
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776 0 0 5.9776 2
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 Tf.8.9664 0 0 8
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T1_6 1 Tf.-0.000
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j./T1_4 1 Tf.-0.
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T1_7 1 Tf.0 Tc 0
.413 -2.205 Td.(
\()Tj./T1_5 1 Tf
.(0)Tj./T1_7 1 T
f.0.868 0 Td.[(\
(2\))-222(\212)-
222(1\))-222(+)-
222(\()]TJ./T1_5
 1 Tf.(0)Tj./T1_
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d.[(\(3\))-222(\
212)-222(1\))-22
2(+)-222(\()]TJ.
/T1_5 1 Tf.(0)Tj
./T1_7 1 Tf.0.22
19 Tc 5.126 0 Td
.[(\()222(4)222(
\)\2121)222(\))-
1(+\267\267\267)
]TJ./T1_5 1 Tf.0
 Tc 5.786 0 Td.(
.)Tj./T1_6 1 Tf.
-0.0001 Tc -20.3
76 -2.756 Td.(9.
4.26)Tj./T1_4 1 
Tf.0.0003 Tc 3.0
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t)]TJ./T1_5 1 Tf
.0 Tc 1.554 0 Td
.(%)Tj./T1_7 1 T
f.0.2776 Tc 1.02
2 0 Td.[(={)278(
4)]TJ./T1_5 1 Tf
.0 Tc 1.942 0 Td
.(,)Tj./T1_7 1 T
f.0.417 0 Td.(8)
Tj./T1_5 1 Tf.(,
)Tj./T1_7 1 Tf.0
.917 0 Td.(9)Tj.
/T1_5 1 Tf.(,)Tj
./T1_7 1 Tf.-0.0
001 Tc 0.916 0 T
d.(16)Tj./T1_5 1
 Tf.0 Tc (,)Tj./
T1_7 1 Tf.-0.000
2 Tc 1.416 0 Td.
(\203})Tj./T1_4 
1 Tf.-0.0001 Tc 
1.71 0 Td.[(be)-
230(t)-8(he)-230
(s)-1(e)9(t)-230
(of)-230(per)-19
(f)34(ect)-230(p
o)22(w)18(ers,)]
TJ.0 Tc -12.923 
-1.222 Td.[(i.e.
,)-241(t)-8(he)-
242(se)9(t)-241(
of)-241(positiv)
24(e)-242(integ)
15(ers)-241(of)-
241(t)-8(he)-242
(f)32(or)-20(m)]
TJ./T1_5 1 Tf.17
.096 0 Td.(\006)
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9776 306.963 366
.3661 Tm.(\005)T
j./T1_4 1 Tf.0.2
408 Tc 8.9664 0 
0 8.9664 310.275
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)241(h)241(e)241
(r)243(e)]TJ./T1
_5 1 Tf.0 Tc 3.1
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./T1_4 1 Tf.-0.0
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1 Tf.0 Tc 1.685 
0 Td.(\005)Tj./T
1_4 1 Tf.-0.0003
 Tc -23.568 -1.2
23 Td.[(are)-250
(integ)15(ers)-2
51(g)-10(reater)
-251(t)-8(han)-2
51(1.)-250(Pr)6(
o)22(v)24(e)-250
(t)-8(hat)]TJ./T
1_8 1 Tf.0 Tc 9.
122 -1.743 Td.(\
023)Tj./T1_5 1 T
f.5.9776 0 0 5.9
776 231.147 318.
8011 Tm.(*)Tj./T
1_7 1 Tf.0.449 0
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 1 Tf.(%)Tj./T1_
7 1 Tf.8.9664 0 
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0.411 18.639 0.5
94 re.f.BT./T1_5
 1 Tf.8.9664 0 0
 8.9664 245.241 
322.1851 Tm.(*)T
j./T1_7 1 Tf.0.2
224 Tc 0.67 0 Td
.(\2121)Tj.0.277
6 Tc 1.819 0.7 T
d.(=1)Tj./T1_5 1
 Tf.0 Tc 1.462 0
 Td.(.)Tj./T1_6 
1 Tf.-0.0001 Tc 
-14.694 -2.993 T
d.(9.4.27)Tj./T1
_4 1 Tf.-0.0002 
Tc 3.056 0 Td.[(
Modify)-250(t)-8
(he)-251(ar)16(g
ument)-251(used)
-251(in)-251(Ex)
11(ample)-251(9.
4.8)-251(to)-250
(sho)22(w)]TJ.0.
0081 Tc -3.027 -
1.222 Td.[(th)8(
a)8(t)]TJ./T1_5 
1 Tf.0 Tc 1.758 
0 Td.(0)Tj./T1_7
 1 Tf.0.0001 Tc 
0.535 0 Td.[(\(4
\))-277(=)]TJ./T
1_5 1 Tf.0 Tc 2.
406 0 Td.(\034)T
j./T1_7 1 Tf.5.9
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.9664 200.25 290
.6671 Tm.(\00790
)Tj./T1_4 1 Tf.-
0.0002 Tc [(.)-2
50(C)-1(an)-250(
y)18(ou)-250(g)1
5(eneralize)-252
(t)-8(his)-251(t
)2(o)-250(\223nd
)-250(a)-250(f)3
2(or)-20(mula)]T
J.-0.0319 Tc -5.
696 -1.223 Td.[(
fo)-32(r)]TJ./T1
_5 1 Tf.0 Tc 1.3
83 0 Td.(0)Tj./T
1_7 1 Tf.0.0003 
Tc 0.535 0 Td.(\
(2)Tj./T1_5 1 Tf
.0 Tc 0.833 0 Td
.(\017)Tj./T1_7 
1 Tf.(\))Tj./T1_
4 1 Tf.-0.0001 T
c [(?)-251(Ho)22
(w)-250(about)]T
J./T1_5 1 Tf.0 T
c 6.168 0 Td.(0)
Tj./T1_7 1 Tf.0.
0003 Tc 0.535 0 
Td.(\(2)Tj./T1_5
 1 Tf.0 Tc 0.833
 0 Td.(\017)Tj./
T1_7 1 Tf.0.2214
 Tc 0.72 0 Td.[(
+1)222(\))]TJ./T
1_4 1 Tf.0 Tc 1.
74 0 Td.(?)Tj./T
1_6 1 Tf.-0.0001
 Tc -12.775 -2.2
23 Td.(9.4.28)Tj
./T1_4 1 Tf.-0.0
007 Tc 3.056 0 T
d.[(Find)-250(a)
-251(s)-1(eq)13(
uence)]TJ./T1_5 
1 Tf.0 Tc 6.675 
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1)Tj./T1_5 1 Tf.
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 0 0 8.9664 244.
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(,\017)Tj./T1_7 
1 Tf.0 Tc 5.9776
 0 0 5.9776 252.
306 257.5291 Tm.
(2)Tj./T1_5 1 Tf
.8.9664 0 0 8.96
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701 Tm.(,)Tj./T1
_7 1 Tf.0.417 0 
Td.(\203)Tj./T1_
4 1 Tf.-0.0001 T
c 1.251 0 Td.[(s
uc)16(h)-250(t)-
8(hat)]TJ./T1_7 
1 Tf.0 Tc -4.53 
-2.691 Td.(lim)T
j./T1_5 1 Tf.5.9
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m.(")Tj./T1_9 1 
Tf.(\002)Tj./T1_
7 1 Tf.(\006)Tj.
/T1_5 1 Tf.8.966
4 0 0 8.9664 245
.943 242.2561 Tm
.(2)Tj./T1_7 1 T
f.(\()Tj./T1_5 1
 Tf.(\017)Tj.5.9
776 0 0 5.9776 2
59.173 240.0151 
Tm.(")Tj./T1_7 1
 Tf.8.9664 0 0 8
.9664 262.908 24
2.2561 Tm.(\))Tj
.ET.245.943 237.
585 19.953 0.594
 re.f.BT./T1_5 1
 Tf.8.9664 0 0 8
.9664 251.82 229
.359 Tm.(\017)Tj
.5.9776 0 0 5.97
76 256.275 227.1
181 Tm.(")Tj./T1
_7 1 Tf.0.2786 T
c 8.9664 0 0 8.9
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6411 Tm.(=0)Tj./
T1_5 1 Tf.0 Tc 1
.463 0 Td.(.)Tj.
/T1_6 1 Tf.-0.00
01 Tc -14.92 -2.
65 Td.(9.4.29)Tj
./T1_4 1 Tf.3.05
6 0 Td.[(Pr)6(o)
22(v)24(e)-251(t
)-8(hat)]TJ./T1_
7 1 Tf.0 Tc 6.24
7 -2.09 Td.(1)Tj
.ET.227.223 189.
885 14.715 0.594
 re.f.BT./T1_5 1
 Tf.8.9664 0 0 8
.9664 227.223 18
1.6681 Tm.(0)Tj.
/T1_7 1 Tf.0.535
 0 Td.(\()Tj./T1
_5 1 Tf.( )Tj./T
1_7 1 Tf.(\))Tj.
1.517 0.7 Td.(=)
Tj.5.9776 0 0 5.
9776 257.283 199
.3981 Tm.(\006)T
j./T1_8 1 Tf.8.9
664 0 0 8.9664 2
54.259 196.1131 
Tm.(\023)Tj./T1_
5 1 Tf.5.9776 0 
0 5.9776 255.024
 178.167 Tm.(\01
7)Tj./T1_7 1 Tf.
0.0002 Tc (=1)Tj
./T1_5 1 Tf.0 Tc
 8.9664 0 0 8.96
64 268.533 193.8
99 Tm.(3)Tj./T1_
7 1 Tf.0.609 0 T
d.(\()Tj./T1_5 1
 Tf.(\017)Tj./T1
_7 1 Tf.(\))Tj.E
T.268.533 189.88
5 15.894 0.594 r
e.f.BT./T1_5 1 T
f.8.9664 0 0 8.9
664 272.682 181.
6681 Tm.(\017)Tj
.5.9776 0 0 5.97
76 277.137 184.1
34 Tm.( )Tj.8.96
64 0 0 8.9664 28
5.615 187.9411 T
m.(.)Tj./T1_6 1 
Tf.-0.0001 Tc 11
.683 57.001 Td.(
9.4.30)Tj./T1_4 
1 Tf.-0.0002 Tc 
3.056 0 Td.[(Use
)-170(t)-8(he)-1
71(ideas)-171(fr
)6(om)-170(Pr)6(
oblem)-172(9.2.3
7)-171(and)-172(
Ex)11(ample)-170
(9.4.7)]TJ.-3.02
7 -1.223 Td.[(to
)-175(sho)22(w)-
175(t)-8(hat,)-1
75(f)32(or)-174(
an)24(y)-176(pos
itiv)24(e)-174(i
nteg)15(er)]TJ./
T1_5 1 Tf.0 Tc 1
4.303 0 Td.(\017
)Tj./T1_4 1 Tf.-
0.0002 Tc [(,)-1
75(t)-8(he)-174(
sum)-175(of)-174
(t)-8(he)-175(re
cipr)6(o-)]TJ.-0
.0001 Tc -14.303
 -1.223 Td.[(cal
s)-203(of)-204(t
)-8(he)-202(pr)-
19(ime)-203(numb
ers)-204(t)-8(ha
t)-203(do)-204(n
o)8(t)-204(e)21(
x)24(ceed)]TJ./T
1_5 1 Tf.0 Tc 17
.752 0 Td.(\017)
Tj./T1_4 1 Tf.-0
.0002 Tc 0.7 0 T
d.[(is)-203(g)-1
0(r)2(eater)-204
(t)-8(han)]TJ./T
1_7 1 Tf.0 Tc -1
8.451 -1.491 Td.
(log\(log)Tj./T1
_5 1 Tf.3.056 0 
Td.(\017)Tj./T1_
7 1 Tf.0.0002 Tc
 [(\)\))-222(\21
2)-222(1\0072)]T
J./T1_4 1 Tf.-0.
0003 Tc 3.815 0 
Td.[(.)-250(Use)
-251(t)-8(his)-2
50(to)-250(sho)2
2(w)-251(t)-8(ha
t)]TJ./T1_8 1 Tf
.0 Tc 9.515 0.91
1 Td.(\023)Tj./T
1_5 1 Tf.5.9776 
0 0 5.9776 534.0
959 654.078 Tm.(
\037)Tj./T1_4 1 
Tf.0.0002 Tc 0.7
39 0 Td.[(pr)-19
(ime)]TJ./T1_7 1
 Tf.0 Tc 8.9664 
0 0 8.9664 555.2
64 668.946 Tm.(1
)Tj.ET.555.264 6
65.688 4.491 0.5
94 re.f.BT./T1_5
 1 Tf.8.9664 0 0
 8.9664 555.309 
657.462 Tm.(\037
)Tj./T1_4 1 Tf.0
.878 0.701 Td.[(
div)24(er)16(g)1
5(es.)]TJ./T1_6 
1 Tf.-0.0001 Tc 
-19.274 -2.905 T
d.(9.4.31)Tj./T1
_4 1 Tf.-0.0004 
Tc 3.056 0 Td.[(
Fix)-285(a)-285(
positiv)24(e)-28
5(integ)15(er)]T
J./T1_5 1 Tf.0 T
c 8.817 0 Td.(\0
17)Tj./T1_4 1 Tf
.0.285 Tc [(.L)2
85(e)294(t)]TJ./
T1_5 1 Tf.0 Tc (
\037)Tj./T1_7 1 
Tf.5.9776 0 0 5.
9776 524.88 635.
457 Tm.(1)Tj./T1
_5 1 Tf.8.9664 0
 0 8.9664 528.37
2 637.6981 Tm.(,
)Tj./T1_7 1 Tf.0
.417 0 Td.(\203)
Tj./T1_5 1 Tf.0.
1666 Tc 1.166 0 
Td.(,\037)Tj.0 T
c 5.9776 0 0 5.9
776 550.683 635.
457 Tm.(")Tj./T1
_4 1 Tf.-0.0002 
Tc 8.9664 0 0 8.
9664 556.983 637
.6981 Tm.[(be)-2
85(t)-8(he)-285(
pr)-19(imes)]TJ.
-0.0001 Tc -18.5
54 -1.229 Td.[(l
ess)-312(t)-8(ha
n)-313(or)-312(e
q)13(ual)-313(t)
2(o)]TJ./T1_8 1 
Tf.0 Tc 8.553 0.
84 Td.(\005)Tj.E
T.475.632 634.21
5 4.464 0.594 re
.f.BT./T1_5 1 Tf
.8.9664 0 0 8.96
64 475.6323 626.
6821 Tm.(\017)Tj
./T1_4 1 Tf.0.31
21 Tc [(.L)312(e
)322(t)]TJ./T1_5
 1 Tf.0 Tc (/)Tj
.5.9776 0 0 5.97
76 506.799 624.4
41 Tm.(\017)Tj./
T1_7 1 Tf.-0.000
1 Tc 8.9664 0 0 
8.9664 512.757 6
26.6821 Tm.(\004
=)Tj./T1_5 1 Tf.
0 Tc 1.474 0 Td.
(\037)Tj./T1_7 1
 Tf.5.9776 0 0 5
.9776 530.361 62
4.441 Tm.(1)Tj./
T1_10 1 Tf.8.966
4 0 0 8.9664 535
.842 626.6821 Tm
.(\002)Tj./T1_5 
1 Tf.0.508 0 Td.
(\037)Tj./T1_7 1
 Tf.5.9776 0 0 5
.9776 544.779 62
4.441 Tm.(2)Tj.0
.2223 Tc 8.9664 
0 0 8.9664 549.7
65 626.6821 Tm.(
\267\267\267)Tj.
/T1_5 1 Tf.0 Tc 
1.361 0 Td.(\037
)Tj.5.9776 0 0 5
.9776 566.3519 6
24.441 Tm.(")Tj.
/T1_4 1 Tf.0.312
1 Tc 8.9664 0 0 
8.9664 570.087 6
26.6821 Tm.[(.L)
312(e)322(t)]TJ.
/T1_5 1 Tf.0 Tc 
2.199 0 Td.(\034
)Tj./T1_7 1 Tf.0
.608 0 Td.(\()Tj
./T1_5 1 Tf.(\00
7)Tj./T1_7 1 Tf.
(\))Tj./T1_4 1 T
f.-0.0003 Tc -22
.823 -1.223 Td.[
(deno)8(te)-574(
t)-8(he)-573(num
ber)-574(of)-574
(pr)-20(imes)-57
4(less)-573(t)-8
(han)-573(or)-57
4(eq)13(ual)-574
(to)]TJ./T1_5 1 
Tf.0 Tc 23.239 0
 Td.(\007)Tj./T1
_4 1 Tf.(.)Tj.-0
.0002 Tc -23.239
 -1.223 Td.[(Sho
)22(w)-250(t)-8(
hat)]TJ./T1_5 1 
Tf.0 Tc 4.449 -1
.779 Td.(\034)Tj
./T1_7 1 Tf.0.60
8 0 Td.(\()Tj./T
1_5 1 Tf.(\017)T
j./T1_7 1 Tf.0.2
78 Tc [(\)=\212)
278(1)55(+)]TJ./
T1_5 1 Tf.0 Tc 4
.718 0 Td.(\034)
Tj./T1_7 1 Tf.0.
608 0 Td.(\()Tj.
/T1_8 1 Tf.0.333
 0.888 Td.(\005)
Tj.ET.495.018 59
6.775 4.464 0.59
4 re.f.BT./T1_5 
1 Tf.8.9664 0 0 
8.9664 495.018 5
88.8101 Tm.(\017
)Tj./T1_7 1 Tf.0
.2221 Tc 0.498 0
 Td.(\)+)Tj./T1_
8 1 Tf.0 Tc 1.54
6 0.912 Td.(\023
)Tj./T1_5 1 Tf.5
.9776 0 0 5.9776
 512.595 579.063
 Tm.(\b)Tj./T1_8
 1 Tf.0.592 0 Td
.(\004)Tj./T1_5 
1 Tf.0.321 0 Td.
(/)Tj.4.9813 0 0
 4.9813 522.72 5
77.569 Tm.(\017)
Tj.8.9664 0 0 8.
9664 527.175 588
.8101 Tm.(3)Tj./
T1_7 1 Tf.0.609 
0 Td.(\()Tj./T1_
5 1 Tf.(\b)Tj./T
1_7 1 Tf.0.925 0
 Td.(\))Tj./T1_8
 1 Tf.0.5 1.109 
Td.(\027)Tj./T1_
5 1 Tf.0.705 -0.
529 Td.(\017)Tj.
ET.551.304 590.7
54 5.31 0.594 re
.f.BT./T1_5 1 Tf
.8.9664 0 0 8.96
64 551.304 582.5
37 Tm.(\b)Tj./T1
_8 1 Tf.0.726 1.
809 Td.(\030)Tj.
/T1_5 1 Tf.0.693
 -1.109 Td.(.)Tj
./T1_6 1 Tf.-0.0
001 Tc -19.367 -
3.05 Td.(9.4.32)
Tj./T1_4 1 Tf.-0
.0025 Tc 3.056 0
 Td.(For)Tj./T1_
5 1 Tf.0 Tc 1.57
2 0 Td.(\017)Tj.
/T1_7 1 Tf.0.775
 0 Td.(\b)Tj./T1
_5 1 Tf.0.0905 T
c 0.963 0 Td.[(\
022,)-76(\007)]T
J./T1_7 1 Tf.0 T
c 2.186 0 Td.(\b
)Tj./T1_5 1 Tf.0
.963 0 Td.(+)Tj.
/T1_4 1 Tf.0.188
6 Tc [(,d)189(e)
189(\223)189(n)1
89(e)]TJ./T1_5 1
 Tf.0 Tc (2)Tj./
T1_7 1 Tf.(\()Tj
./T1_5 1 Tf.-0.0
001 Tc [(\017,)-
166(\007)]TJ./T1
_7 1 Tf.0 Tc (\)
)Tj./T1_4 1 Tf.-
0.0005 Tc 6.776 
0 Td.[(to)-188(e
q)13(ual)-189(t)
-9(he)-189(numbe
r)]TJ.-0.0002 Tc
 -16.261 -1.223 
Td.[(of)-264(pos
itiv)24(e)-265(i
nteg)15(ers)-267
(less)-265(t)-8(
han)-265(or)-265
(eq)13(ual)-266(
to)]TJ./T1_5 1 T
f.0 Tc 16.237 0 
Td.(\007)Tj./T1_
4 1 Tf.-0.0003 T
c 0.815 0 Td.[(t
)-8(hat)-265(are
)-266(r)1(elativ
)24(el)21(y)]TJ.
-0.0001 Tc -17.0
52 -1.223 Td.[(p
r)-19(ime)-229(t
)2(o)]TJ./T1_5 1
 Tf.0 Tc 3.584 0
 Td.(\017)Tj./T1
_4 1 Tf.-0.0005 
Tc [(.)-229(F)4(
or)-230(e)21(x)1
1(ample,)]TJ./T1
_5 1 Tf.0 Tc 6.4
2 0 Td.(2)Tj./T1
_7 1 Tf.(\()Tj./
T1_5 1 Tf.-0.000
1 Tc [(\017,)-16
7(\017)]TJ./T1_7
 1 Tf.0 Tc (\))T
j./T1_4 1 Tf.2.9
5 0 Td.[(is)-228
(jus)8(t)-229(pl
ain)-229(old)]TJ
./T1_5 1 Tf.6.29
7 0 Td.(2)Tj./T1
_7 1 Tf.(\()Tj./
T1_5 1 Tf.(\017)
Tj./T1_7 1 Tf.(\
))Tj./T1_4 1 Tf.
0.2278 Tc [(.F)2
33(i)228(n)228(d
a)]TJ.-0.0003 Tc
 -19.251 -1.222 
Td.[(f)32(or)-21
(mula)-250(f)32(
or)-250(computin
g)]TJ./T1_5 1 Tf
.0 Tc 9.313 0 Td
.(2)Tj./T1_7 1 T
f.(\()Tj./T1_5 1
 Tf.-0.0001 Tc [
(\017,)-166(\007
)]TJ./T1_7 1 Tf.
0 Tc (\))Tj./T1_
4 1 Tf.(.)Tj./T1
_6 1 Tf.-0.0001 
Tc -9.341 -2.114
 Td.(9.4.33)Tj./
T1_4 1 Tf.3.056 
0 Td.[(Sho)22(w)
-288(t)-8(hat)-2
88(t)-8(he)-288(
number)-288(of)-
287(pairs)]TJ./T
1_7 1 Tf.0 Tc 12
.552 0 Td.(\()Tj
./T1_5 1 Tf.0.00
01 Tc [(\007,)-1
65(\n)]TJ./T1_7 
1 Tf.0 Tc (\))Tj
./T1_4 1 Tf.0.28
8 Tc [(,w)288(h)
288(e)288(r)290(
e)]TJ./T1_5 1 Tf
.0 Tc (\007)Tj./
T1_4 1 Tf.-0.000
2 Tc 6.233 0 Td.
(and)Tj./T1_5 1 
Tf.0 Tc 1.732 0 
Td.(\n)Tj./T1_4 
1 Tf.-0.0002 Tc 
-23.544 -1.223 T
d.[(are)-250(r)2
(elativ)24(el)21
(y)-251(pr)-19(i
me)-251(integ)15
(ers)-251(be)9(t
w)18(een)-252(1)
-250(and)]TJ./T1
_5 1 Tf.0 Tc 17.
451 0 Td.(\017)T
j./T1_4 1 Tf.0.7
48 0 Td.[(inclus
iv)24(e,)-250(is
)]TJ./T1_8 1 Tf.
-9.143 -1.25 Td.
(\023)Tj./T1_7 1
 Tf.5.9776 0 0 5
.9776 469.314 46
9.5151 Tm.(1)Tj.
/T1_11 1 Tf.(\00
4)Tj./T1_5 1 Tf.
($)Tj./T1_11 1 T
f.(\004)Tj./T1_5
 1 Tf.(\017)Tj.8
.9664 0 0 8.9664
 487.395 479.289
1 Tm.(3)Tj./T1_7
 1 Tf.0.609 0 Td
.(\()Tj./T1_5 1 
Tf.($)Tj./T1_7 1
 Tf.0.741 0 Td.(
\))Tj./T1_8 1 Tf
.0.499 1.109 Td.
(\027)Tj./T1_5 1
 Tf.0.657 -0.529
 Td.(\017)Tj.ET.
509.868 481.233 
4.464 0.594 re.f
.BT./T1_5 1 Tf.8
.9664 0 0 8.9664
 510.264 473.007
 Tm.($)Tj./T1_8 
1 Tf.0.586 1.81 
Td.(\030)Tj./T1_
7 1 Tf.5.9776 0 
0 5.9776 520.236
 487.5781 Tm.(2)
Tj./T1_5 1 Tf.8.
9664 0 0 8.9664 
525.222 479.2891
 Tm.(.)Tj./T1_6 
1 Tf.-0.0001 Tc 
-15.04 -2.946 Td
.(9.4.34)Tj./T1_
4 1 Tf.-0.0002 T
c 3.056 0 Td.[(S
ho)22(w)-298(t)-
8(hat)-297(t)-8(
he)-298(pr)6(oba
bility)-298(t)-8
(hat)-297(tw)26(
o)-298(randoml)2
1(y)-298(c)16(ho
sen)]TJ.-0.0003 
Tc -3.027 -1.491
 Td.[(positiv)24
(e)-250(integ)15
(ers)-251(are)-2
51(relativ)24(el
)21(y)-251(pr)-2
0(ime)-250(is)]T
J./T1_7 1 Tf.0 T
c 16.143 0.579 T
d.(6)Tj.ET.533.1
42 441.453 8.946
 0.594 re.f.BT./
T1_5 1 Tf.8.9664
 0 0 8.9664 533.
142 433.0651 Tm.
(\034)Tj./T1_7 1
 Tf.5.9776 0 0 5
.9776 538.5959 4
35.5311 Tm.(2)Tj
./T1_4 1 Tf.8.96
64 0 0 8.9664 54
3.276 439.5091 T
m.(.)Tj./T1_6 1 
Tf.-0.0001 Tc -1
7.054 -2.312 Td.
(9.4.35)Tj./T1_4
 1 Tf.-0.0003 Tc
 3.056 0 Td.[(An
alogous)-418(to)
-417(t)-8(he)-41
6(concept)-418(o
f)-417(per)-20(f
)34(ect)-418(num
bers)-417(\(see)
]TJ.-0.0001 Tc -
3.027 -1.223 Td.
[(Pr)6(oblems)-2
16(7.5.28\2057.5
.30\))-218(are)-
217(t)-8(he)-216
(abundant)-218(n
umbers.)-217(The
)-217(nat-)]TJ.-
0.0003 Tc T*.[(u
ral)-250(number)
]TJ./T1_5 1 Tf.0
 Tc 5.108 0 Td.(
\017)Tj./T1_4 1 
Tf.-0.0002 Tc 0.
747 0 Td.[(is)-2
50(considered)]T
J./T1_12 1 Tf.-0
.0001 Tc 5.497 0
 Td.(abundant)Tj
./T1_4 1 Tf.0 Tc
 4.03 0 Td.(if)T
j./T1_5 1 Tf.0.8
61 0 Td.(4)Tj./T
1_7 1 Tf.0.587 0
 Td.(\()Tj./T1_5
 1 Tf.(\017)Tj./
T1_7 1 Tf.(\))Tj
./T1_5 1 Tf.1.44
 0 Td.(>)Tj./T1_
7 1 Tf.0.963 0 T
d.(2)Tj./T1_5 1 
Tf.(\017)Tj./T1_
4 1 Tf.(.)Tj.-0.
0002 Tc -18.454 
-2.012 Td.[(\(a\
))-555(Ho)22(w)-
221(abundant)-22
1(can)-221(a)-22
1(number)-220(g)
15(e)9(t?)-221(I
n)-220(o)8(t)-8(
her)-221(w)26(or
ds,)-220(what)]T
J.-0.0001 Tc 1.6
65 -1.223 Td.[(i
s)-250(t)-8(he)-
250(lar)16(g)15(
es)8(t)-250(poss
ible)-250(v)20(a
lue)-251(f)32(or
)-250(t)-8(he)-2
50(ratio)]TJ./T1
_5 1 Tf.0 Tc 16.
144 0 Td.(4)Tj./
T1_7 1 Tf.0.587 
0 Td.(\()Tj./T1_
5 1 Tf.(\017)Tj.
/T1_7 1 Tf.0.000
3 Tc (\)\007)Tj.
/T1_5 1 Tf.0 Tc 
(\017)Tj./T1_4 1
 Tf.(?)Tj.-0.000
1 Tc -18.452 -1.
789 Td.[(\(b\))-
555(What)-372(is
)-371(t)-8(he)-3
72(e)21(xpected)
-372(v)20(alue)-
372(of)-372(t)-8
(his)-371(\215ab
undancy)-374(q)1
3(uo-)]TJ.1.721 
-1.222 Td.(tient
\216)Tj./T1_5 1 
Tf.0 Tc 2.505 0 
Td.(4)Tj./T1_7 1
 Tf.0.587 0 Td.(
\()Tj./T1_5 1 Tf
.(\017)Tj./T1_7 
1 Tf.0.0003 Tc (
\)\007)Tj./T1_5 
1 Tf.0 Tc (\017)
Tj./T1_4 1 Tf.-0
.0001 Tc [(?)-28
2(\(See)-284(Pr)
6(oblem)-283(6.4
.22)-283(on)-284
(pag)15(e)-284(2
22)-283(f)32(or)
-282(a)]TJ.-3.09
3 -1.223 Td.[(de
\223nition)-189(
and)-190(some)-1
88(w)28(ar)-20(m
-up)-189(pr)6(ob
lems)-189(about)
-189(e)21(xpecte
d)]TJ.0 -1.223 T
D.[(v)20(alue.\)
)]TJ.-1.665 -1.7
89 Td.[(\(c\))-5
55(What)-207(r)2
(elativ)24(e)-20
7(fraction)-207(
of)-206(positiv)
24(e)-206(integ)
15(ers)-206(is)-
206(abundant?)]T
J.0 Tc 1.665 -1.
223 Td.[(Does)-2
50(\(b\))-250(ab
o)22(v)24(e)-251
(giv)24(e)-251(y
)18(ou)-251(an)2
4(y)-250(insight
?)]TJ./T1_6 1 Tf
.-0.0001 Tc -2.4
72 -1.797 Td.(9.
4.36)Tj./T1_4 1 
Tf.0 Tc 3.056 0 
Td.[(Can)-853(y)
18(ou)-854(sa)27
(y)-854(an)24(yt
)-8(hing)-854(me
aningful)-854(ab
out)-854(t)-8(he
)]TJ.-0.0002 Tc 
-3.027 -1.223 Td
.[(\215e)21(xpec
ted)-665(v)20(al
ue\216)-663(of)]
TJ./T1_5 1 Tf.0 
Tc 9.387 0 Td.(\
b)Tj./T1_7 1 Tf.
0.592 0 Td.(\()T
j./T1_5 1 Tf.(\0
17)Tj./T1_7 1 Tf
.(\))Tj./T1_4 1 
Tf.-0.0001 Tc [(
?)-662(What)-664
(about)-664(o)8(
t)-8(her)-663(nu
mber)29(-)]TJ.-0
.0002 Tc -9.979 
-1.223 Td.[(t)-8
(heore)9(tic)-21
3(functions,)-21
2(s)-1(uc)16(h)-
212(as)]TJ./T1_5
 1 Tf.0 Tc 10.96
6 0 Td.(3)Tj./T1
_7 1 Tf.0.609 0 
Td.(\()Tj./T1_5 
1 Tf.(\017)Tj./T
1_7 1 Tf.(\))Tj.
/T1_5 1 Tf.0.165
6 Tc (,2)Tj./T1_
7 1 Tf.0 Tc 2.22
5 0 Td.(\()Tj./T
1_5 1 Tf.(\017)T
j./T1_7 1 Tf.(\)
)Tj./T1_5 1 Tf.0
.1656 Tc (,\034)
Tj./T1_7 1 Tf.0 
Tc 2.187 0 Td.(\
()Tj./T1_5 1 Tf.
(\017)Tj./T1_7 1
 Tf.(\))Tj./T1_4
 1 Tf.-0.0002 Tc
 [(?)-212(Or)-21
2(does)-213(it)-
212(mak)13(e)]TJ
.-15.987 -1.222 
Td.[(sense)-381(
t)2(o)-382(es)7(
timate)-382(\215
relativ)24(e\216
)-383(e)21(xpect
ed)-383(v)20(alu
e)-382(\()]TJ./T
1_5 1 Tf.0 Tc 18
.431 0 Td.(3)Tj.
/T1_7 1 Tf.0.609
 0 Td.(\()Tj./T1
_5 1 Tf.(\017)Tj
./T1_7 1 Tf.0.00
03 Tc (\)\007)Tj
./T1_5 1 Tf.0 Tc
 (\017)Tj./T1_4 
1 Tf.0.3814 Tc [
(,e)391(t)381(c)
382(.)382(\))381
(?)]TJ.-0.0001 T
c -19.041 -1.223
 Td.[(The)-226(s
)-1(hor)-23(t)-2
27(answ)18(er)-2
27(is)-226(t)-8(
hat)-227(y)23(es
,)-226(t)-8(hese
)-227(t)-8(hings
)-227(are)-227(a
ll)-227(w)26(or)
-23(t)-8(h)-227(
t)-8(hink)49(-)]
TJ.-0.0002 Tc T*
.[(ing)-406(abou
t)-408(and)-407(
y)18(ou)-407(can
)-407(conjecture
)-407(and)-408(p
r)6(o)22(v)24(e)
-406(a)-406(numb
er)-407(of)]TJ.0
 -1.222 TD.[(int
eres)7(ting)-276
(t)-8(hings)-277
(wit)-8(h)-276(f
)34(e)19(w)-277(
tec)16(hnical)-2
77(tools.)-276(T
he)-276(long)-27
6(answ)18(er)]TJ
.0 -1.223 TD.[(i
s)-214(t)-8(hat)
-216(some)-215(o
f)-215(t)-8(hese
)-216(q)13(ues)7
(tions)-215(g)15
(e)9(t)-216(incr
edibl)21(y)-216(
hard)-215(and)-2
16(hit)-215(t)-8
(he)]TJ.T*.[(cur
)-27(r)2(ent)-17
0(r)2(esearc)16(
h)-171(fr)6(onti
er)-169(of)-170(
anal)21(ytic)-17
0(number)-171(t)
-8(heor)-21(y)71
(.)-171(S)11(t)-
10(ar)-23(t)-170
(y)18(our)]TJ.-0
.0001 Tc 0 -1.22
2 TD.[(jour)-21(
ne)21(y)-250(b)2
0(y)-251(per)-24
(using)-250(t)-8
(he)-250(lo)22(v
)24(el)21(y)-251
(and)-251(f)26(a
ir)7(l)21(y)-250
(element)-10(ar)
-21(y)-251([33].
).TJ.ET.EMC..