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3(a)-250(ne)19(w
)50(,)-251(s)-1(
maller)-251(leas
)8(t)-251(elemen
t.)]TJ./T1_4 1 T
f.0 Tc 13.9477 0
 0 13.9477 155.7
9 666.6691 Tm.(\
002)Tj./T1_5 1 T
f.-0.0003 Tc 9.9
626 0 0 9.9626 1
65.6448 666.6691
 Tm.[(W)59(e)-23
1(erase)-232(tw)
26(o)-232(elemen
ts,)-233(neit)-9
(her)-232(of)-23
3(whic)16(h)-232
(w)28(as)-233(eq
)13(ual)-233(to)
]TJ./T1_6 1 Tf.0
 Tc 21.474 0 Td.
(\003)Tj./T1_5 1
 Tf.-0.0001 Tc [
(.)-231(In)-232(
t)-8(his)-231(ca
se,)-232(t)-8(he
)-231(smaller)-2
32(of)-232(t)-8(
he)-232(tw)26(o)
-232(ne)19(w)]TJ
.-0.0002 Tc -21.
474 -1.2 Td.[(el
ements)-214(crea
ted)-213(is)-212
(eit)-9(her)-213
(smaller)-213(t)
-9(han)]TJ./T1_6
 1 Tf.0 Tc 15.33
8 0 Td.(\003)Tj.
/T1_5 1 Tf.-0.00
03 Tc [(,)-212(p
r)6(oducing)-215
(a)-212(ne)19(w)
-213(leas)8(t)-2
12(element,)-214
(or)-213(g)-10(r
eater)-213(t)-9(
han)-213(or)-212
(eq)13(ual)]TJ.-
0.0016 Tc -15.33
8 -1.201 Td.(to)
Tj./T1_6 1 Tf.0 
Tc 1.026 0 Td.(\
003)Tj./T1_5 1 T
f.-0.0001 Tc [(,
)-250(in)-250(wh
ic)17(h)-252(cas
e)]TJ./T1_6 1 Tf
.0 Tc 6.727 0 Td
.(\003)Tj./T1_5 
1 Tf.-0.0001 Tc 
0.799 0 Td.[(is)
-250(s)8(till)-2
50(t)-8(he)-250(
leas)8(t)-251(el
ement.)]TJ.-0.00
04 Tc -9.553 -1.
995 Td.[(A)-195(
comple)9(t)-1(el
)20(y)-196(analo
gous)-199(ar)16(
gument)-197(w)26
(or)7(k)-5(s)-19
6(f)31(or)-195(t
)-9(he)-195(g)-1
0(reates)7(t)-19
6(element,)-197(
but)-196(f)31(or
)-195(no)22(w)50
(,)-196(l)-1(e)9
(t)29(\220)48(s)
-194(jus)7(t)-19
5(concentrate)]T
J.-1.5 -1.2 Td.[
(on)-268(t)-9(he
)-267(leas)8(t)-
267(element.)-26
9(W)59(e)-267(kn
o)22(w)-268(t)-9
(hat)-268(t)-9(h
e)-267(leas)8(t)
-268(element)-26
9(eit)-9(her)-26
8(s)8(t)-10(a)27
(y)13(s)-267(t)-
9(he)-267(same)-
268(or)-267(decr
eases)-269(eac)1
6(h)-269(time)-2
67(w)18(e)]TJ.0 
-1.201 TD.[(eras
e)-245(and)-246(
replace.)-246(Ev
)25(entuall)20(y
)53(,)-248(it)-2
44(will)-244(hit
)-245(r)6(oc)22(
k)-246(bo)8(ttom
.)-246(Wh)20(y?)
-246(The)-246(ma
ximum)-246(possi
ble)-246(v)20(al
ue)-246(t)-9(hat
)-246(w)18(e)-24
5(can)]TJ.0 -1.2
 TD.[(e)19(v)25(
er)-278(encounte
r)-279(is)-275(t
)-9(he)-276(leas
)8(t)-277(common
)-277(multiple)-
276(of)-276(t)-9
(he)-276(or)-20(
iginal)-277(elem
ents,)-277(so)-2
76(t)-9(here)-27
5(are)-276(onl)2
0(y)-276(\223)-1
(nitel)20(y)-276
(man)25(y)]TJ.T*
.[(possible)-224
(v)20(alues)-226
(f)31(or)-224(ou
r)-226(seq)13(ue
nce)-226(at)-225
(eac)16(h)-226(s
)8(t)-10(ag)16(e
.)-225(Eit)-9(he
r)-225(e)19(v)25
(entuall)20(y)-2
26(t)-9(he)-225(
s)-1(eq)13(uence
)-226(canno)8(t)
-226(c)16(hang)1
6(e,)-227(in)-22
4(whic)16(h)]TJ.
0 -1.201 TD.[(ca
se)-289(w)18(e)2
0(\220)37(re)-28
8(done\204t)-9(h
is)-290(is)-289(
what)-290(w)18(e
)-288(w)28(anted
)-290(to)-288(pr
)6(o)22(v)25(e\2
04or)-291(e)19(v
)25(entuall)20(y
)-291(t)-9(he)-2
88(s)-1(eq)13(ue
nce)-291(will)-2
88(repeat.)-290(
Thus)-290(w)18(e
)]TJ.-0.0001 Tc 
0 -1.2 TD.[(can)
-338(dis)8(tingu
ish)-338(a)]TJ./
T1_7 1 Tf.0.0001
 Tc 7.228 0 Td.[
(smalles)6(t)]TJ
./T1_5 1 Tf.-0.0
001 Tc 3.629 0 T
d.[(leas)8(t)-33
8(element,)-339(
i.e.,)-338(t)-8(
he)-337(smalles)
8(t)-338(possibl
e)-338(leas)8(t)
-338(element)]TJ
./T1_8 1 Tf.0 Tc
 22.185 0 Td.(\0
04)Tj./T1_5 1 Tf
.-0.0003 Tc 0.95
7 0 Td.[(t)-9(ha
t)-338(e)19(v)25
(er)-340(occurs)
]TJ.-0.0002 Tc -
33.999 -1.201 Td
.[(as)-295(our)-
295(seq)13(uence
)-296(e)19(v)27(
ol)20(v)25(es.)-
296(W)59(e)-293(
claim)-294(t)-9(
hat)]TJ./T1_8 1 
Tf.0 Tc 16.148 0
 Td.(\004)Tj./T1
_5 1 Tf.-0.0002 
Tc 0.913 0 Td.[(
mus)8(t)-294(div
ide)-295(all)-29
5(o)8(t)-9(her)-
295(elements)-29
6(in)-293(t)-9(h
e)-294(seq)13(ue
nce)-296(in)-294
(whic)17(h)-295(
it)]TJ.-17.061 -
1.2 Td.[(appears
.)-260(F)6(or)-2
60(if)-259(no)8(
t,)-259(t)-9(hen
)-259(w)18(e)-25
9(w)26(ould)-260
(ha)32(v)25(e)]T
J./T1_8 1 Tf.0 T
c 16.07 0 Td.(\0
04)Tj./T1_4 1 Tf
.0.397 0 Td.(\t)
Tj./T1_9 1 Tf.0.
278 0 Td.(\r)Tj.
/T1_6 1 Tf.(\003
)Tj./T1_5 1 Tf.-
0.0003 Tc 1.128 
0 Td.[(f)31(or)-
258(s)-1(ome)-25
9(element)]TJ./T
1_6 1 Tf.0 Tc 7.
185 0 Td.(\003)T
j./T1_5 1 Tf.-0.
0004 Tc [(,)-259
(and)-259(t)-9(h
en)-259(if)-259(
w)18(e)-259(eras
e)-258(and)-260(
replace)-259(t)-
9(he)]TJ.-0.0002
 Tc -25.059 -1.2
 Td.(pair)Tj./T1
_8 1 Tf.0 Tc 1.8
05 0 Td.(\004)Tj
./T1_6 1 Tf.0.16
65 Tc 0.619 0 Td
.(,\003)Tj./T1_5
 1 Tf.-0.0004 Tc
 0.967 0 Td.[(,)
-251(t)-9(he)-25
0(replaced)-252(
element)-252(GCD
)]TJ./T1_4 1 Tf.
0 Tc 11.142 0 Td
.(\()Tj./T1_8 1 
Tf.(\004)Tj./T1_
6 1 Tf.0.1665 Tc
 0.952 0 Td.(,\0
03)Tj./T1_4 1 Tf
.0 Tc 0.967 0 Td
.(\))Tj./T1_6 1 
Tf.0.611 0 Td.(<
)Tj./T1_8 1 Tf.0
.963 0 Td.(\004)
Tj./T1_5 1 Tf.-0
.0002 Tc 0.619 0
 Td.[(,)-251(con
tradicting)-251(
t)-9(he)-251(min
imality)-250(of)
]TJ./T1_8 1 Tf.0
 Tc 13.228 0 Td.
(\004)Tj./T1_5 1
 Tf.0.619 0 Td.(
.)Tj.-0.0003 Tc 
-30.992 -1.201 T
d.[(Wh)20(y)-351
(is)-350(t)-9(hi
s)-350(good?)-35
2(Because)-353(o
nce)-351(t)-9(he
)-351(minimal)-3
51(element)]TJ./
T1_8 1 Tf.0 Tc 2
2.591 0 Td.(\004
)Tj./T1_5 1 Tf.-
0.0002 Tc 0.969 
0 Td.[(is)-350(a
tt)-10(ained,)-3
53(it)-350(can)-
351(be)-351(igno
red,)-352(since)
]TJ./T1_8 1 Tf.0
 Tc 14.791 0 Td.
(\004)Tj./T1_5 1
 Tf.-0.0004 Tc -
39.851 -1.2 Td.[
(divides)-302(al
l)-301(t)-9(he)-
301(o)8(t)-9(her
)-302(elements)-
302(and)-303(hen
ce)-303(t)-9(he)
-301(s)-1(eq)13(
uence)-303(will)
-301(no)8(t)-301
(c)16(hang)15(e)
-303(i)-1(f)-301
(w)18(e)-302(t)-
1(r)-21(y)-300(t
o)-301(erase)-30
1(and)-302(repla
ce)]TJ.-0.0001 T
c T*.[(tw)26(o)-
384(elements,)-3
83(one)-384(of)-
383(whic)17(h)-3
84(is)]TJ./T1_8 
1 Tf.0 Tc 12.948
 0 Td.(\004)Tj./
T1_5 1 Tf.-0.000
3 Tc 0.619 0 Td.
[(.)-384(Hence)-
385(t)-9(he)-383
(\215activ)25(e\
216)-386(par)-23
(t)-384(of)-384(
t)-9(he)-383(seq
)13(uence)-386(h
as)-384(been)-38
5(shor)-23(tened
)-385(b)20(y)]TJ
.-13.567 -1.201 
Td.[(one)-251(el
ement.)]TJ.1.5 -
1.2 Td.[(This)-3
21(is)-319(jus)8
(t)-320(enough)-
322(le)19(v)25(e
rag)16(e)-322(to
)-320(push)-321(
t)-9(hr)6(ough)-
321(an)-321(indu
ction)-321(pr)6(
oof!)-320(Le)9(t
)-321(us)-320(co
nclude)-322(wit)
-9(h)-320(a)-321
(f)31(or)-20(mal
)]TJ.-1.5 -1.2 T
d.[(ar)16(gument
.)]TJ./T1_7 1 Tf
.-0.0001 Tc 1.5 
-2.392 Td.[(F)65
(or)-18(mal)-344
(Solution:)]TJ./
T1_5 1 Tf.-0.000
2 Tc 7.307 0 Td.
[(W)59(e)-344(wi
ll)-343(pr)6(o)2
2(v)25(e)-346(t)
-9(he)-343(asser
)-23(tion)-344(b
)20(y)-345(induc
tion)-345(on)-34
4(t)-9(he)-344(n
umber)-346(of)-3
45(elements)]TJ.
/T1_6 1 Tf.0 Tc 
28.471 0 Td.(\02
0)Tj./T1_5 1 Tf.
0.0002 Tc 0.841 
0 Td.[(in)-343(t
)-8(h)1(e)]TJ.-0
.0003 Tc -38.119
 -1.2 Td.[(seq)1
3(uence.)-253(Th
e)-251(base)-251
(case)-251(f)31(
or)]TJ./T1_6 1 T
f.0 Tc 11.339 0 
Td.(\020)Tj./T1_
4 1 Tf.0.278 Tc 
0.774 0 Td.(=2)T
j./T1_5 1 Tf.-0.
0001 Tc 1.713 0 
Td.[(is)-251(ob)
18(vious:)]TJ./T
1_6 1 Tf.0.0003 
Tc 4.595 0 Td.[(
\025,)-166(\026)
]TJ./T1_5 1 Tf.-
0.0004 Tc 1.639 
0 Td.(becomes)Tj
.-4.226 -2.189 T
d.(GCD)Tj./T1_4 
1 Tf.0 Tc 2.111 
0 Td.(\()Tj./T1_
6 1 Tf.0.0003 Tc
 [(\025,)-166(\0
26)]TJ./T1_4 1 T
f.0 Tc 1.722 0 T
d.(\))Tj./T1_6 1
 Tf.(,)Tj./T1_5 
1 Tf.-0.0008 Tc 
0.75 0 Td.(LCM)T
j./T1_4 1 Tf.0 T
c 2.165 0 Td.(\(
)Tj./T1_6 1 Tf.0
.0003 Tc [(\025,
)-166(\026)]TJ./
T1_4 1 Tf.0 Tc 1
.722 0 Td.(\))Tj
./T1_5 1 Tf.-0.0
003 Tc -24.304 -
2.19 Td.[(whic)1
6(h)-251(t)-9(he
n)-251(no)-251(l
ong)16(er)-252(c
)16(hang)16(es.)
]TJ.-0.0002 Tc 1
.5 -1.2 Td.[(N)1
3(o)22(w)-444(as
sume)-445(t)-9(h
e)-445(inductiv)
25(e)-446(h)20(y
po)8(t)-9(hesis)
-446(t)-9(hat)-4
45(all)-445(s)-1
(eq)13(uences)-4
47(of)-445(lengt
)-9(h)]TJ./T1_6 
1 Tf.0 Tc 28.373
 0 Td.(\020)Tj./
T1_5 1 Tf.-0.000
2 Tc 0.941 0 Td.
[(will)-444(e)19
(v)25(entuall)20
(y)-447(become)]
TJ.-0.0003 Tc -3
0.814 -1.2 Td.[(
unc)16(hanging.)
-254(Consider)-2
52(an)]TJ./T1_4 
1 Tf.0 Tc 10.206
 0 Td.(\()Tj./T1
_6 1 Tf.(\020)Tj
./T1_4 1 Tf.0.22
29 Tc 1.052 0 Td
.[(+1)223(\))]TJ
./T1_5 1 Tf.-0.0
002 Tc 1.741 0 T
d.[(-element)-25
2(seq)13(uence)]
TJ./T1_6 1 Tf.0 
Tc 3.455 -2.19 T
d.(\023)Tj./T1_4
 1 Tf.7.472 0 0 
7.472 309.384 31
5.9391 Tm.(1)Tj.
/T1_6 1 Tf.0.166
5 Tc 9.9626 0 0 
9.9626 313.614 3
18.4321 Tm.(,\02
3)Tj./T1_4 1 Tf.
0 Tc 7.472 0 0 7
.472 322.488 315
.9391 Tm.(2)Tj./
T1_6 1 Tf.9.9626
 0 0 9.9626 326.
727 318.4321 Tm.
(,)Tj./T1_4 1 Tf
.0.416 0 Td.(\20
3)Tj./T1_6 1 Tf.
0.1665 Tc 1.166 
0 Td.(,\023)Tj.0
 Tc 7.472 0 0 7.
472 351.369 315.
9391 Tm.(\020)Tj
.0.1665 Tc 9.962
6 0 0 9.9626 355
.581 318.4321 Tm
.(,\023)Tj.0 Tc 
7.472 0 0 7.472 
364.455 315.9391
 Tm.(\020)Tj./T1
_4 1 Tf.0.0004 T
c (+1)Tj./T1_6 1
 Tf.0 Tc 9.9626 
0 0 9.9626 377.5
23 318.4321 Tm.(
.)Tj./T1_5 1 Tf.
-0.0003 Tc -23.7
67 -2.189 Td.[(W
)59(e)-260(will)
-261(per)-20(f)3
1(or)-20(m)-261(
t)-9(he)-260(era
se-and-replace)-
263(operation)-2
62(r)1(epeatedl)
20(y)-263(on)-26
1(t)-9(his)-261(
s)-1(eq)13(uence
,)-262(wit)-9(h)
-261(t)-9(he)-26
0(unders)8(t)-10
(anding)]TJ.0 -1
.201 TD.[(t)-9(h
at)-274(w)18(e)-
275(per)-20(f)31
(or)-21(m)-275(o
nl)20(y)-275(ope
rations)-276(t)-
9(hat)-274(pr)6(
oduce)-276(c)16(
hang)15(e,)-278(
and)-275(at)-275
(eac)16(h)-275(s
)7(t)-11(ag)15(e
,)-275(w)18(e)-2
75(will)-274(ar)
-27(rang)15(e)-2
75(t)-9(he)-274(
ter)-21(ms)-274(
i)-1(n)]TJ.0 -1.
2 TD.[(increasin
g)-251(order)47(
.)-251(W)59(e)-2
50(mak)13(e)-251
(s)-1(ome)-250(s
)-1(imple)-250(o
bser)-21(v)20(at
ions:)]TJ.1.25 -
1.995 Td.[(1.)-5
00(The)-255(leas
)8(t)-254(elemen
t)-256(in)-255(t
)-9(he)-255(s)-1
(eq)13(uence)-25
5(at)-255(an)25(
y)-255(possible)
-255(s)8(t)-10(a
g)16(e)-255(is)-
254(at)-254(leas
)8(t)-255(eq)13(
ual)-255(to)-255
(t)-9(he)-254(g)
-10(reates)8(t)-
255(common)]TJ.-
0.0001 Tc 1.249 
-1.201 Td.[(divi
sor)-251(of)-251
(all)-251(of)-25
1(t)-8(he)-250(o
r)-19(iginal)-25
1(elements.)]TJ.
-0.0003 Tc -1.24
9 -1.996 Td.[(2.
)-500(The)-249(g
)-10(reates)8(t)
-248(element)-25
0(in)-247(t)-9(h
e)-248(s)-1(eq)1
3(uence)-249(at)
-248(an)25(y)-24
9(possible)-248(
s)8(t)-10(ag)16(
e)-248(is)-247(a
t)-248(mos)8(t)-
249(eq)13(ual)-2
49(to)-247(t)-9(
he)-247(leas)8(t
)-248(common)]TJ
.-0.0001 Tc 1.24
9 -1.2 Td.[(mult
iple)-251(of)-25
1(all)-250(of)-2
51(t)-8(he)-250(
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.-0.0004 Tc -1.2
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.)-500(The)-363(
l)-1(eas)7(t)-36
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363(giv)24(en)-3
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-1(ess)-362(t)-9
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-363(at)-362(t)-
9(he)]TJ.-0.0005
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)-252(s)7(t)-11(
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EMC..